因式分解的多种方法
编者按:很多同学在做因式分解的题目时,会觉得无从入手。而面临竞赛题目时,更加摸不着头脑。在此介绍几种因式分解的方法。其实,因式分解没有想象中的那么难。
1】提取公因式
这种方法比较常规、简单,必须掌握。
常用的公式有:完全平方公式、平方差公式等
例一:2x^2-3x=0
解:x(2x-3)=0
x1=0,x2=3/2
这是一类利用因式分解的方程。
总结:要发现一个规律就是:当一个方程有一个解x=a时,该式分解后必有一个(x-a)因式
这对我们后面的学习有帮助。
2】公式法
将式子利用公式来分解,也是比较简单的方法。
常用的公式有:完全平方公式、平方差公式等
注意:使用公式法前,建议先提取公因式。
例二:x^2-4分解因式
分析:此题较为简单,可以看出4=22,适用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)2
解:原式=(x+2)(x-2)
3】十字相乘法
是做竞赛题的基本方法,做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意:它不难。
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1?a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1?c2,并使a1c2+a2c1正好是一次项b,那么可以直接写成结果例把2x^2-7x+3分解因式.
分析:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数):
2=1×2=2×1;
分解常数项:
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况:
11
23
1×3+2×1
=5
13
21
1×1+2×3
=7
1-1
2-3
1×(-3)+2×(-1)
=-5
1-3
2-1
1×(-1)+2×(-3)
=-7
经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数-7.解(x-3)(2x-1).
总结:对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2,排列如下:
a1c1
a2c2
a1c2+a2c1
按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积,即
ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).因式分解16y+2x^2(y+1)^2+(y-1)^2x^4
分析:本题尚且属于简单例用,只是稍加难度,以y为主元会使原式极其烦琐,而以x为主元的话,原式的难度就大大降低了。
原式=(y-1)^2x^4+2(y+1)^2x^2+16y---------------------【主元法】
=(x^2y^2-2x^2y+x^2+8y)(x^2+2)---------------------【十字相乘法】分解形如ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f的二次六项式
在草稿纸上,将a分解成mn乘积作为一列,c分解成pq乘积作为第二列,f分解成jk乘积作为第三列,如果mq+np=b,pk+qj=e,mk+nj=d,即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。则原式=(mx+py+j)(nx+qy+k)要诀:把缺少的一项当作系数为0,0乘任何数得0,
例:ab+b^2+a-b-2
=0×1×a^2+ab+b^2+a-b-2
=(0×a+b+1)(a+b-2)
=(b+1)(a+b-2)
(ab+b)^2?(a+b)^2
(a^2?x^2)^2?4ax(x?a)^2
3a^3b^2c-6a2b^2c^2+9ab2c^3
xy+6-2x-3y(3a-b)2-4(3a-b)(a+3b)+4(a+3b)2
(x+2)(x-3)+(x+2)(x+4)12x^2-29x+15x(y+2)-x-y-14x^2+4xy+y2-4x-2y-32x^4+13x^3+20x^2+11x+22x^2-7xy-22y^2-5x+35y-3
4m^2+8mn+3n^2
4n^2+4n-15x^2+2x-8
x^2+3x-10
.x^2+x-6
2x^2+5x-3
x^2+4x-2
x^2-2x-3
5ax+5bx+3ay+3by
x^3-x^2+x-118a^2-32b^2-18a+24b
希望同学们能掌握因式分解,把因式分解看成一种乐趣~
|
|