第二章极限与连续
习题2.1
（1）C（局部保号性）（2）B（）
（1）5（2）（3）3（4）0（5）0（6）2
（1）因为是摆动数列，所以极限不存在。
（2）因为，所以极限不存在。
（3）因为，所以当时，无限趋于0，故
（4）因为所以当时，无限趋于0，故
（1）因为当且无限趋于0时，无限趋于0，所以又因为当且无限趋于0时，无限趋于1，所以因为，所以不存在。
（2）因为当且无限趋于0时，无限趋于1，所以又因为当且无限趋于0时，无限趋于1，所以因为，所以。
（3）因为，所以当且无限趋于0时，-1无限趋于-1，所以当且无限趋于0时，1无限趋于1，所以因为，所以不存在。
（4）根据的性质，易知：当且无限趋于0时，无限趋于，所以当且无限趋于0时，无限趋于，所以因为，所以不存在。
习题2.2
（1）C
B
D
D
A
B
2、（1）
（2）
（5）
（6）
（7）
（8）
3、解：
4、（1）
（2）
（1）
（6）
方法一：
方法二：
（8）
解：
习题2.3
(1)D的定义域为，
A
B
C
B
D
（1）（2）
（4）
所以与、是等价无穷小量。
习题2.4
（1）A在处连续一定在处有定义，但在处有定义在处不一定连续.
A
(3)B
B
所以点x=0是函数的跳跃间断点。
C
求出下列函数的间断点，并指明其类型。
，
设函数在处连续，试求常数k.
解：
求a的值，使得函数在x=1处连续。
证明方程在区间（1,2）内至少存在一个实根。
证明：
导数与微分
习题3.1
（1）D根据导数的定义,函数在处可导，即存在，或者。
C
C
B
A根据导数的定义。
A
D
（1）
（1）
(2)
8、
(1)
习题3.2
单选题
D
B
A
C（5）D
B
习题3.3
单项选择
C
D
（3）B
2、
7、
第四章微分中值定理和导数的应用
习题4.1
选择题
B
C
B
D根据课本94页推论2.
（1）
（2）
4、
5、
习题4.2
单项选择题
B
A
（3）
（4）D
用洛必达法则求下列极限.
用洛必达法则求下列极限.
习题4.3
单项选择题
B根据定理4.5，若，则函数在内单调增加。但函数在内单调增加，若导数不存在，则无法得到，所以是函数在内单调增加的充分不必要条件。
A（3）C
求下列函数的单调区间.
- 0 +
- 0 +
3、证明下列不等式：
- 0 +
- 0 +
习题4.4
单项选择题
C根据课本92页，驻点的定义：导数等于零的点成为函数的驻点.
D则可能是极值点,还需要满足在的邻域内，另一方面,若是极值点，得满足在处可导，才有。
B
C（5）D
求下列函数的极值。
极大值 极小值
- 0 + 极小值
+ 0 - 极大值
- 0 + 0 - 极小值 极大值
- 0 + 0 - 0 + 极小值 极大值 极小值
+ 0 - 0 + 极大值 极小值
- 0 + 极小值
- 0 + 0 - 极小值 极大值
- 0 + 极小值
3、
习题4.5
单项选择题
DA.有可能是极大值;B.有可能在该点处的导数不存在.C.不一定是区间端点.
B
求下列函数的最大值和最小值:
解:由于,令,得均在区间[-2,2]内,列表如下:
x (-∞,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞) y - 0 + 0 - 0 + y'' ↓ 极小值 ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 所以
x -2 -1 0 1 2 y 13 4 5 4 13 所以
x -1 0 2 y ln2 0 ln5
解:由于,令,得,列表如下
所以
x 0 4 y 0
解:由于,令,得,列表如下
所以
x 0 5 y -1
解:由于,令,得无实数根,列表如下
所以
解:由于,令,得,列表如下
x -1 -ln2 1 y 4
所以
x -5 1 y 1
解:由于,令,得,列表如下
所以
x 0 1 y 0
解:由于,令,得,列表如下
所以
x (-∞,-3) -3 (-3,0) y'' - 0 + y ↓ 27 ↑
解:由于,令,得列表如下
所以
要造一圆柱形油罐,体积为V,问底面半径r和高h取何值时能是表面积最小?此时底面半径与高的比为多少?
解：因为圆柱体积,所以表面积,
由,,又,故时,S(r)取得最小值,此时
,,此时.
某产品的总成本函数为,其中是产量,当产量为何水平时,其单位平均成本最小?
解:设平均成本函数为,则,
由,得驻点(舍去),因为,所以当x=40时,平均成本取得最小值,最小值为.
设某产品的需求函数为,其中为价格,Q为需求量,且平均成本.问当产品的需求量多少时,可使利润最大?并求最大利润.
解：设产品需求量为Q的利润函数为,则
由,得唯一驻点,因为,所以当时,利润取得最大值,最大值为
某工厂生产某产品,日总成本为c元,其中固定成本为50元,每天多生产一个单位产品,成本增加10元,该产品的需求函数为,求当Q为多少时,工厂日总利润最大?
解：设需求量为Q的总收益函数为,总利润函数为,
则,
由,得唯一驻点,因为,所以当时,利润取得最大值,最大值为
某工厂生产某商品,其年产量为100万件,每批生产需增加准备费1000元,而每件的年库存费为0.05元.如果均匀销售,且上批销售完后,立即生产下一批（此时商品库存数为批量的一半）,试问应分几批生产,能是生产准备费与库存之和最小?
解:设分x批生产的准备费为,库存费为,则,,x
所以,由于,得驻点(舍去),
因为,所以当时,生产准备费与库存费之和最小,为
习题4.6
单项选择题
A
D
C
B
确定下列曲线的凹凸区间,并求拐点:
；
解：曲线对应函数的定义域为，且,令,得,列表如下:
+ 0 - ∪ 拐点 ∩ 所以曲线在内是凹的,在内是凸的;曲线的拐点是.
解：曲线对应函数的定义域为，且,不存在的点为,列表如下:
- 不存在 + ∩ 非拐点 ∪ 所以曲线在内是凸的,在内是凹的;曲线无拐点.
解：曲线对应函数的定义域为，且,令得点,列表如下:
- 0 + ∩ 拐点 ∪ 所以曲线在内是凸的,在内是凹的;曲线的拐点为.
解：曲线对应函数的定义域为,且令得点,列表如下:
- 0 + 0 - ∩ 拐点 ∪ 拐点 ∩ 所以曲线在,
内是凸的,在内是凹的;曲线的拐点为,.
(5)
解：曲线对应函数的定义域为,且令得点,列表如下:
+ 0 - 0 + ∪ 拐点 ∩ 拐点 ∪ 所以曲线在内是凸的,在,内是凹的;曲线的拐点为,.
解：曲线对应函数的定义域为，且,不存在的点为,列表如下:
不存在 + 非拐点 ∪ 所以曲线在内是凹的,曲线不存在拐点.
问a、b为何值时,点(1,3)为曲线的拐点.
解：点(1,3)为曲线的拐点,
,即
确定a,b,c,使曲线有一个拐点(1,-1),且在x=0处有极大值1.
解：由题可知,
因为曲线有一个拐点(1,-1),所以,即,
又因为曲线在x=0处有极大值1,所以,即
综上,
习题4.7
单项选择题
B
C
C
D
有垂直渐近线
,有水平渐近线
求下列曲线的渐近线:
解:
(2)
解:
(3)
解:
(4)
解:
解：
解：
习题4.8
1、设生产某件商品x个单位的总成本函数为,试求：
（1）生产900个单位产品时的总成本和平均成本；
（2）生产900个单位到1000个单位产品时的的成本平均变化率；
(3)生产900个单位和1000个单位产品时的边际成本.
解：（1）生产900个单位产品时的总成本为
平均成本为
（2）生产1000个单位产品时的总成本为
所以生产900个单位到1000个单位产品时的的成本平均变化率为
（3）边际成本函数为，
所以生产900个单位产品时的边际成本为,
生产1000个单位产品时的边际成本为
设某产品生产x个单位的总收入R为x的函数,,求生产50个单位产品时的总收入及平均单位收入和边际收入.
解：生产50个单位产品时的总收入为，
平均单位收入为
边际收入函数为,所以生产50个单位产品时的边际收入为3、设某商品的需求函数为,p表示某商品的价格,Q表示某商品的需求量。试求：（1）总收益函数；（2）边际收益函数。
解：（1）总收益函数为
（2）边际收益函数为
求下列函数的弹性:
解：
解：
解：
解：
设某商品的需求量y是价格x的函数,.求当价格x为8时的需求弹性,并解释其经济意义.
解：需求弹性函数为,
所以当价格x为8时的需求弹性为
当p=8时,价格p从8上涨1%，需求量Q相应减少4%
设某商品的需求函数为,求需求弹性函数和收益弹性函数,并求当p=3,p=4,p=5时的需求弹性和收益弹性，并解释其经济意义。
解：需求弹性函数为
收益函数为，收益弹性函数为，
当p=3时,需求弹性为，表示价格p从3上升（或下降）1%，需求量Q相应减少（或增加）.
收益弹性为，表示价格p从3上升（或下降）1%，收益R相应增加(或减少).
当p=4时,需求弹性为，表示价格p从4上升（或下降）1%，需求量Q相应减少（或增加）.
收益弹性为，表示价格p从4上升（或下降）1%，收益R相应增加(或减少).
当p=5时,需求弹性为，表示价格p从5上升（或下降）1%，需求量Q相应减少（或增加）.
收益弹性为，表示价格p从5上升（或下降）1%，收益R相应减少（或增加）.
设某商品的供给函数，求供给弹性函数及当p=3时的供给弹性,并解释其经济意义。
解：供给弹性函数为，
所以当p=3时的供给弹性为，表示价格p从3上升（或下降）1%，供给量Q相应增加（或减少）.
设某商品的需求函数为.
求当p=4时的边际需求，并说明其经济意义；
求当p=4时的需求弹性，并说明其经济意义；
当p=4及p=6时,若价格p上涨1%，总收益将分别变化百分之几？是增加还是减少？
当p为何值时，总收益最大？
解：（1）边际需求函数为,所以当p=4时的边际需求为,表示价格p从4上升（或下降）1个单位，需求量Q相应减少（或增加）8个单位；
需求弹性函数为，所以当p=4时的需求弹性为，表示价格p从4上升（或下降）1个单位，需求量Q相应减少（或增加）；
总收益函数为，
所以收益弹性函数为，
当p=4时收益弹性为，所以当p=4时,若价格p上涨1%，总收益将增加百分之0.46.
当p=6时收益弹性为，所以当p=4时,若价格p上涨1%，总收益将减少百分之0.85.
（4）总收益函数为，边际收益为，当时,总收益最大为
第五章习题答案
习题5.1
单项选择题
B
C
D
A
C
（1）
（2）
解：设曲线的方程为,由题设和导数的意义知,，
由于曲线过点,所以,即
习题5.2
单项选择题
B
A
C令则,所以,
所以
求下列不定积分
（5）
求下列不定积分
（4）
设某商品的边际成本,且固定成本为235,求总成本函数.
解：,又因为固定成本为235,所以,即,
所以,.
设生产某产品的固定成本为4万元,每多生产1百台,成本增加2万元,已知边际收益（万元/百台）.（1）求总成本函数和总收益函数；（2）当销售量Q为多少时,才能获得最大利润？最大利润是多少？
解：（1）总成本=固定成本+可变成本
总收益函数
（2）利润=总收益-总成本。
所以当时,才能获得最大利润
习题5.3
单项选择题
D
D
A
B
D
求下列不定积分
（1）
（2）
求下列不定积分
(6)
求下列不定积分
(4)6、求下列不定积分
解:设,则故
解:设,则故
解:设,则故
解:设,则,故
习题5.4
单项选择题
C
A
用分部积分法求下列不定积分
(11)
,,
求下列不定积分
解：设，则故
解：设，则故
解：设,则，故
4、设为的一个原函数，求。
解：为的一个原函数，
5、设是的一个原函数，求。
解：
习题5.5
1、单项选择题
B（2）C（3）D（4）B
指出下列微分方程的阶数。
1阶（2）2阶
（3）1阶（4）3阶
验证下列各题中的函数是否是所给微分方程的解，若是，指出是特解还是通解。
解：这是一个恒等式，且函数中含有任意常数的个数等于方程的阶数,故为方程的通解.
解：这是一个恒等式，且函数中不含任意常数，故是方程的特解。
解：，
所以不是方程的解。
解：这是一个恒等式，且函数中含有任意常数的个数等于方程的阶数,故为方程的通解。
求下列各微分方程的通解或在给定初始条件下的特解。
解：分离变量，得，两边不定积分，得，故通解为。
解:分离变量,得,两边不定积分,得,故通解为
解:分离变量,得,两边不定积分,得,故通解为
解:分离变量,得,两边不定积分,得,故通解为
解:分离变量,得,两边不定积分,得
解:分离变量,得,两边不定积分，得,故通解为
解:分离变量,得,两边不定积分,得,又,故.
即,所以特解为.
解:分离变量,得,两边不定积分,
得,又,故,即,
所以特解为
求下列各微分方程的通解或在给定初始条件下的特解：
解：这是一阶非齐次线性微分方程,,由通解公式得
解：这是一阶非齐次线性微分方程,,由通解公式得
解：这是一阶非齐次线性微分方程,整理得故,由通解公式得
解:这是一阶非齐次线性微分方程,整理得故,
由通解公式得
解:这是一阶非齐次线性微分方程,整理得,故,由通解公式得
因为,即所以,因此满足初始条件的特解为.
解:这是一阶非齐次线性微分方程,故,由通解公式得
,
因为即,所以,因此满足初始条件的特解为
某商品的需求量Q对价格p的弹性为-pln3,已知该商品的最大需求量为1200（即当p=0时,Q=1200),求需求量Q与价格p的关系式.
解：由商品的需求量Q对价格p的弹性为-pln3知,,整理得,这是一阶齐次线性微分方程,由通解公式得,又因为该商品的最大需求量为1200,所以
,故需求量Q与价格p的关系式为.
已知生产某产品的固定成本为a(a>0),生产x个单位的边际成本与平均成本之差为,且当产量的数值等于a时,相应的总成本为2a,求总成本C与产量x的函数关系式.
解：由题可得,,这是非齐次线性微分方程,,由通解公式得
,
又因为当产量的数值等于a时,相应的总成本为2a,所以,即
所以总成本C与产量x的函数关系式为
习题5.6
单项选择题
C根据课本148页注意点（1）
DA:表示与x轴,x=0,x=π/2围成的图形面积的代数和,故由图象知,
B:表示与x轴,x=0,x=π/2围成的图形面积的代数和,故由图象知,
C:表示与x轴,x=0,x=π围成的图形面积的代数和,故由图象知,
D:表示与x轴,x=0,x=π围成的图形面积的代数和,故由图象知,
A因为函数尽在区间[0,4]上可积,所以只有积分区间是落在[0,4]上的定积分才成立.
B因为在区间[1,2]上,,由定积分的性质4得,
C
利用定积分性质确定下列各组值的大小:
解:在区间(1,2)上有,故由定积分的性质4得,
（2）
解:在区间(3,4)上有,故由定积分的性质4得,,
,
利用定积分性质估计下列积分的值。
解：在区间[0,2]内,单调增大,故其最大、小值分别为,
故由定积分性质5,得
解：在区间[0,3]内,单调增大,故其最大、小值分别为,故由定积分性质5,得
习题5.7
（1）D定积分是一个常数。
A定积分是一个常数。
A
B
C
（1）由于,所以
由于,所以.
由于,所以
（1）
利用积分可加性得,,
所以
由于,
所以
（1）
（2）
5、解：因为,列表如下：
x (-∞,1) 1 (1,3) 3 (3,+∞) F''(x) - 0 + 0 + F(x) ↓ ↑ ↑ 所以F(x)在区间(-∞,1)上单调递减,在区间(1,3)和(3,+∞)内单调递增.
（1）
解：因为,列表如下：
x (-∞,0) 0 (0,+∞) F''(x) - 0 + F(x) ↓ 极小值 ↑ 所以F(x)的极小值是F(0)=0
解：由于定积分的值是一常数,设,则对上式两边从0到1求定积分得,
,即所以,故
习题5.8
（1）C
D
A令,则,当时,,当时,,
C因为积分区间[-1,1]关于原点对称,为奇函数,
根据课本160页例题3结论,.
（1）
（1）
解：设,则,当时,;当时,,且在[0,4]上单调,
解：设,则,当时,;当时,,且在[0,3]上单调,
解:设,则,当时,;当时,,且在上单调,
解:设,则,当时,;当时,,且在上单调,
(5)
解：设,则,当时,;当时,,且在[1,4]上单调,
设,计算.
解：令,则,当时,;当时,,且在[0,4]上单调,
设,计算.
解：令,则,当时,;当时,,
设求常数a的值.
解：令,则,当时,;当时,,
设为连续函数,证明.
证明：令,则,当时,;当时,,
（1）
（6）
已知计算.
解：
习题5.9
单项选择题
A由课本例题1,当a=1时。
B由课本例题1，当时,即时,反常积分发散.
DA例题3（1）B.发散C.发散
DA.B.
C.D.
计算下列反常积分：
，
习题5.10
求由下列给定曲线所围成的平面图形的面积：
解：解方程组得曲线与直线的交点是,所以所求平面图形的面积为
(2)
解：解方程组得曲线与直线的交点是,所以所求平面图形的面积为
解：解方程组得曲线与直线的交点是,所以所求平面图形的面积为
解：解方程组得曲线与直线的交点是,所以所求平面图形的面积为
解：解方程组得曲线与直线的交点是,所以所求平面图形的面积为
解：解方程组得曲线与直线的交点是,所以所求平面图形的面积为
解：解方程组得曲线与曲线的交点是,所以所求平面图形的面积为
解：解方程组得曲线与直线的交点是,解方程组得曲线与直线的交点是,画草图可得所以所求平面图形的面积为
求由曲线及其在点处的切线和x轴所围成的平面图形的面积.
解：在点处的切线方程为,即，
选择y作为积分变量,则所求平面面积为
求由下列平面图形分别绕x轴和y轴旋转所得旋转体的体积:
解：解方程组得曲线与直线的交点是,所以
解：解方程组得曲线与直线的交点是解方程组得曲线与直线的交点是所以
解：解方程组得曲线与直线的交点是解方程组得曲线与直线的交点是所以
解：解方程组得曲线与直线的交点是解方程组得曲线与直线的交点是所以
设平面图形由曲线及直线所围成,求：
该平面图形的面积A；（2）该平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积V。
解：（1）解：解方程组得曲线与直线的交点是解方程组得曲线与直线的交点是所以
5、设平面图形由曲线及直线所围成,求：
（1）该平面图形的面积A；（2）该平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积V。
解：（1）解：解方程组得曲线与直线的交点是解方程组得曲线与直线的交点是所以
（2）
6、设平面图形由直线及曲线所围成,求：
（1）该平面图形的面积A；（2）该平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积V。
解：（1）解：解方程组得曲线与直线的交点是解方程组得曲线与直线的交点是所以画草图得，
（2）
7、设平面图形由曲线及直线所围成,求：
（1）该平面图形的面积A；（2）该平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积V。
解：（1）解：解方程组得曲线与直线的交点是解方程组得曲线与直线的交点是所以画草图得，
该平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积为
设某企业生产某商品x个单位的边际收益为，求总收益函数.
解：总收益函数为
某产品的边际成本为（万元/百台），固定成本为万元，边际收益为（万元/百台），求：（1）总成本函数和总收益函数；（2）获得最大利润时的产量；（3）从最大利润时的生产量又生产了4百台，总利润的变化。
解：（1）总成本函数为
总收益函数为
总利润函数为
当百台时，利润最大，此时利润为
从最大利润时的生产量又生产了4百台时，总利润的变化量为，则
一个食品公司正在增设网点。若经营费用增加率为（百万元/年），而收入增加率为（百万元/年），其中x表示增设的网点。试问，欲使增设网点后利润最大，应增设多少家店？
解：总成本函数为，
总收益函数为
总利润函数为.当时，利润最大
，此时利润为
第六章
习题6.1
单项选择题
A要使二元函数有意义,则,即
D
A
求下列二元函数的定义域:
；
解：要得函数有意义,则,所以定义域为．
；
解：要得函数有意义,则,所以定义域为．
；
解：要得函数有意义,则,所以定义域为．
（4）；解：要得函数有意义,则,所以定义域为．
；
解：要得函数有意义,则,所以定义域为．
.
解：要得函数有意义,则,所以定义域为．
已知函数,求
解：
已知函数，求.
解：
求下列二重极限：
；
解：
（2）
解：
设，试判断函数在点处是否连续。
解：
所以函数在点处是否连续。
习题6.2
单项选择题
C关于x的偏导数就是将y看做是常数，根据定义即可得.
B
求下列函数的一阶偏导数：
解：把看成常数,对求导,得把看成常数,对求导,得
（2）
解：把看成常数,对求导,得把看成常数,对求导,得
解：把看成常数,对求导,得把看成常数,对求导,得
解：把看成常数,对求导,得
把看成常数,对求导,得
解：把看成常数,对求导,得
把看成常数,对求导,得
解：把看成常数,对求导,得
把看成常数,对求导,得
解：把看成常数,对求导,得
把看成常数,对求导,得
解：把看成常数,对求导,得
把看成常数,两边取对数得,,两边同时对求导,得
求下列函数的一阶偏导数：
（1）在点；
解：把看成常数,对求导,得
把看成常数,对求导,得
在点.
解：把看成常数,对求导,得
把看成常数,对求导,得
求下列函数的二阶偏导数：
解：一阶偏导数为
二阶偏导数为
解：一阶偏导数为
二阶偏导数为
解：一阶偏导数为
二阶偏导数为
（4）
解：一阶偏导数为
二阶偏导数为
求下列成本函数对产量和的边际成本：
解：
解：
设两种相关商品的需求函数分别为求边际需求函数，并说明这两种商品是互相补充的商品还是互相替代的商品。
解：因为所以根据指这两种商品是互相补充的商品。
习题6.3
单项选择题
C根据定理6.2
C根据定理6.2
B根据定理6.2
求函数当时的增量和全微分。
解：增量，
全微分
求下列函数的全微分:
解：
解：
解：
解：
解：
解：
解：
解：
设函数，求。
解：
已知一个长为6m，宽为8m的矩形，当长增加2cm,宽减少10cm,求矩形面积变化的近似值。
解：长方形面积
习题6.4
求下列复合函数的偏导数或全导数：
设求
解：
设求
解：
设求
解：
设求
解：
设求
解：
设求
解：
设求
设求
设证明：
解：
设，且可微，证明：
解：
设，且可微，证明：
解：令则
,
习题6.5
单项选择题
C方法一
方法二：
（2）A
2、设是由下列方程确定的隐函数，求
（1）
解：设，则
解：
解：设，则
解：设，则
解：设，则
解：设，则
设是由方程确定，求
解：设，则
4、设是由下列方程确定的隐函数，求
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
5、求由下列方程所确定的隐函数的微分或全微分：
（1），求
（2），求
（3），求
（4），求
（5），求
（6），求
（7），求
（8），求
6、设，其中有连续偏导数，求
7、设，证明：
yx
x
1
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