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分数的意义教学研究报告 平江县钟愧傲数学名师工作室 潇湘数学教育工作室 一、问题 对于分数，五年级学生已不感陌生。在人教版数学教材三年级上册中就已涉及，他们知道如把一块月饼平均分成两份，每份就是这块月饼的一半，也就是二分之一，写作，但为什么这样，也只知其然而不知其所以然。要让学生从根本上理解问题，掌握重点，突破难点，实现知识迁移，这还需要智慧的课堂来完成。 （一）教之困 1、在分数意义的教学中就如何来传授'平均分’这个知识点，学生因个性差异，对'平均分’这个问题缺乏经验，抓不住要点，反而容易出现随意乱分甚至想当然的浮躁心理。这些问题的产生，原因何在？具体与什么因素有关，教师能不能想到最好的办法破解，都需周密考虑，这也是首先遇到的教育困惑。 2、将一个物体看作一个整体单位容易，但将多个物体也看成一个整体单位，学生的抽象联想就大打折扣了，如何帮助学生建立好知识联系的桥梁，真正理解单位'1’的实质内涵，进而区分整体单位'1’与自然数'1’的异同，实现从个性知识到共性知识的传授，完成知识迁移。其中思想的突破，观念的转换，这些都是需要考虑的难点。 3、分数的意义这个抽象知识与实际应用建立不起认知的联系，如何用分数表示具体物体容易理解，平行进行比较容易犯迷糊，不能形成简单的一一对应关系。特别是单位'1’不确定时，在此情境中分数与对应的物体会存在混淆，区分不清，不利于对学生渗透用数学知识解决实际问题的思想。 （二）学之难 1、学生对分数意义的理解因概念抽象而难以接受和理解，特别是为什么要'平均分’的问题。如何来平均分这个知识点，不着重强调，学生极易滋生思考问题的随意性，存在任意分也行的假象，从而带来抽象知识不好理解、难形成经验等不给力的表面特征。 2、对于标准量认识存在误区，学生对整体单位相关知识涉及不多，因此一时难以接受。一个物体看作单位'1’好理解，多个物体也能看作单位'1’，显得比较突然，缺乏过渡，没有铺垫，难实现知识迁移。模式建构如何拓展，知识怎样切入，研究教法，科学传授，这样学生接受知识才能减少难度。单位“1”与自然数“1”，同样都是“1”，为什么表示的意思不同，学生弄不清，分不明，关键是缺乏数学经验等知识的积累。 3、抽象知识与现实生活建构存在差距，学生机械照搬理论知识，容易造成分数值与具体物体的错误对应关系，不能用分数知识正确描述现实生活，在现场情景中不能灵活应用分数解决实际问题。 （三）问题的分析 1、为什么学生会对分数的意义难理解，出现对'平均分’的纠结心理，甚至有任意分这样也可的不切实际想法，造成对知识理解的混乱。关键还是受学生生活经验不足，理解能力、抽象能力、逻辑思维能力不强等因素制约。 教者设想通过现实生活矛盾来创设具体情景，用实物演示，用情境冲突来突破任意分与平均分这些难点，让生活矛盾来激发他们的智慧，从而在碰撞中形成经验，化抽象为具体，力求从根本上解决所遇到的疑难问题。 2、对于标准量的认识不好掌握，学生难区分自然数'1’与整体单位'1’的不同含义，说明学生生活积累太少，需要加强数学与生活的联系。学生对单个物体看作整体单位'1’容易，但对一些物体也能看作单位'1’缺乏经验意识，认识难以迁移，这符合他们接受知识的认知习惯。关键是教育者要完成建模，强调自然数'1’只代表一个具体的数目，而分数的整体单位却意义不同，这个单位“1”不但可以指一个物体，还可以指许多物体，清楚阐述整体'1’的含义，强化他们对分数的认识和理解，完成个性知识向共性知识的经验建立。可见离开了生活这个最直接的基础，不通过实例展示，没有丰富的生活经验作支撑，学生掌握分数的意义，区分整体单位与计数单位的个体意义还是有难度的。 3、对于分数值与具体物体的对应认识，学生思想容易游离。学生为什么会产生对不同物体所表示的同一个分数是否相等这样的疑问？不采用实例进行比对，抽象讲解只会使学生更加模糊。看来需要建模突破，采用具体的数学环境，用现实冲突来解决，才能从思想上消除学生对分数值与具体事物数量间容易混淆的疑虑。 针对这些问题，我们主要通过两种策略来突破。一是采用动手操作来完成知识的积累，体验知识的产生；二是完成建模，用生活矛盾加深对知识的理解和掌握，形成知识经验。如此通过预设来理清思路扫除知识障碍，多辟途径来传授知识，让现实冲突来化解矛盾，使他们学会跳起来摘桃子，效果颇佳。 二、实践 一是采用动手操作来完成知识的积累，体验知识的产生。 师：庄子 说:“ 一尺之锤 日取其半 万世不竭 ”。 《左传》中也有 “大都不过叁国之一，中五之一，小九之一。”在这样的描述中多次提到“其半、叁国之一、五之一、九之一”这些数目，它们表示什么意思呢？ 生：这是分数的运用，它们分别表示、、、 师：说得对，刚才所说的就是散见于古书典籍中先人们对分数的表示方法，由此可知在很早以前人们就已在使用分数，在日常生活中，为了分配一些东西，常常会遇到不能用整数表示的情况。在此情况下就要用到分数来表示。 师：要表示一个分数，怎样来表示？有哪些条件，随便表示行不行？ 生：不行，要看将物体怎样分？ 师：好，我们先来认识一个分数，如表示什么意思？（用纸折出，平均分为两份，取其中的一份） 生：表示把一个物体平均分成两份，取其中的一份，就是二分之一。 师：对，现在大家再看老师折纸表示，这样折行不行？（老师作好任意折纸的多种演示，请学生作判断） 生：不行，要平均分才对。 师：怎样才符合要求？请同学们自己来折纸练习，看看你们折的分数是否符合要求？ 生：好！（学生实践折纸，将折出的不同分数，向大家说明这样折的原因） 师：做得好，刚才看了大家的折纸，看来分数必须要记住哪个重要条件。 生：平均分。 学生动手操作，折出各种不同的分数，并向大家介绍折出分数的过程，从而理解平均分的重要性，对分数的意义有比较鲜明的感知。如此反复演练，布好跳板，参透知识点的精要内容，学生就容易掌握分数的意义了。如此通过不同的方式折纸，懂得知识的产生，明白平均分是产生分数最重要的条件，再取其中的一份就可表示你创造的新分数，学生往往容易接受这样的知识传授。 师：通过学习，大家知道了分数的意义，请同学们想一下，这个“若干份”是分数中的什么？ 生：分母，表示平均分成的份数。 师：这样的一份或几份是分数中的什么？ 生：分子，表示取的份数 师：接下来我来考考大家，我想把这个文具盒里的铅笔平均分给2个同学，每个同学得到这盒铅笔的几分之几？ 生： 师：为什么可以用来表示？ 生：因为是平均分给2个同学，分母为2，得到铅笔的一半，用分数表示就是。 师：如果把这盒铅笔平均分给5个同学，每个同学得到这盒铅笔的几分之几呢？ 如果把这盒铅笔平均分给10个同学，每个同学得到这盒铅笔的几分之几呢？ 如果把这盒铅笔平均分给50个同学，每个同学得到这盒铅笔的几分之几呢？ 如此不断进行数据变换，创造不同的分数，如此实践操作、巩固练习，让学生知道要掌握分数的意义就是要明确将物体平均分，再取其中的一份或几份，就能得到自己想要的分数，实现从具体事物到抽象概念的升华，完成对数学知识的积累，最终形成对知识理解和运用的宝贵经验。 师：把一张长方形纸平均分，我们可以称之为把一个物体平均分（板书：一个物体）。 把一米长的绳子平均分，我们可以称之为把一个计量单位平均分（板书：一个计量单位）。 把6个小方块、4支铅笔平均分，我们又可以称之为把一些物体平均分（板书：一些物体）。这是生活中我们会碰到的事物，你会按老师的要求分吗？ 生：会。 师：很好，生活中分数可说是无处不在，一个物体、一个计量单位、一个整体这些都可以把它们叫做单位'1’。同学们能不能再举几个单位'1’的例子? 生：一个西瓜。 生：一个蛋糕。 生：一个苹果。 师：刚才，同学们举的都是一个物体，都能看作单位'1’，很好。再看第一次旅游，第一次获奖，这些能不能看作单位'1’。 生：不能，第一次都是自然数，它们只表示数的顺序。 师：对，单位'1’与自然数'1’是不同的两个数学概念，只要明白就能懂的，你还能举出另一些表示单位'1’的例子吗? 生：10个人。 生：20本书。 生：18支铅笔。 生：45瓶啤酒。 生：3块橡皮。 师：学会联系实际了，能将多个物体也能看作一个整体了，看来同学们已经理解单位'1’所表示的具体意义了。下面请同学们用自己的话说说分数的意义。 生1：把一个物体平均分成几份，取其中的几份，就是几分之几。 生2：把一个物体平均分成若干份，取其中的几份，就是若干份之几。 师：对，刚才都是说分一个物体，还有没有别的方法? 生3：把几个同样的物体平均分成若干份，取其中的几份，也是若干份之几。 生4：把物体平均分成几份，取其中的一份或几份的数，就叫做分数。 师：归纳得好，真不错。 如此步步推进，引导学生用自己的话归纳分数的意义，这也是一种有益的探究学习模式，容易形成自己的知识经验。通过实践，铺展理解与掌握分数意义的重要过程：象这样的一个物体、一个计量单位、一个整体，我们都可以用“1”来表示，通常把它叫做单位“1”，明白把什么平均分，就应把什么看做单位“1”。自然数'1’只是一个数，仅表示一个具体事物，它只是自然数的计数单位。而单位“1”不仅可以表示某一个具体事物，还可以表示一堆、一群……它表示被平均分的整体。这样环环相扣，主动参与，激活兴趣，使学生既能轻松掌握所学的知识，又能形成严密的数学思维。 二是完成建模，用生活矛盾加深对分数知识的理解与掌握，形成知识经验。 师：下面我们来做个数学游戏，拿走9块糖的，拿走几块?为什么? 生：3块，将9块糖平均分成3份，每份是3块，取其中的1份就是3块。 师：拿走剩下的是几块? 生：2块。 师：再拿所剩糖的呢? 生：1块。 师：回答得非常好，看来大家对分数的意义已经理解，掌握了它的重点。其实分数是无处不在的，有时就在我们身边，有时就在我们眼前，说不定就装在你口袋，老师的口袋里就有一些分数，并且是能吃的分数，大家看看我有多少块奶糖（出示9块奶糖）。 师：我想把这9块奶糖奖给同学们，但得到糖是有条件的，我说一个分数，拿对了糖带走，掌声鼓励；拿错了糖留下，学习带走，谁想来？ 师：男同学先拿走这些糖的，好不好？ 生：好！ 师：是多少？ 生：3块。 师：女同学再拿走这些糖剩下的，这样男同学的就等于女同学的了，老师是非常公平的！ 生：老师，这样做不公平。 师；为什么？ 生：男同学拿走有3块糖，女同学拿的却只有2块糖，块数不相同，3不等于2，因此不公平。 师：这不可能，同样是，为什么会出现这样的结果呢？ 生：因整体单位'1’表示的数量不同，首先代表9个，后面只代表剩下的6个。 师：你们真是精明的小数学家，可见整体单位“1”不同，即使分数值相同，但实际数额还是会有所不同。 师：现在怎么办？拿走男同学的用分数表示，是多少？ 生：。 师：女同学要拿走相同的数目，要拿走其中的几分之几，才与男同学拿走的糖果块数相同？ 生：，即剩下的6块，取其中的，一样可以得到3块。 师：对吗？咦，又有点奇怪了，男同学拿的是，而女同学拿的是，为什么结果都是3块糖，是不是可以列式= 呢？ 生：尽管结果是对的，也不能列等式，因为单位“1”不同。 师：除了单位“1”不同，还有什么不同？ 生：平均分成的份数不同。 通过生活矛盾演示，可以明白被看作整体单位'1’的数，数目不同即使分成相同的份数，所得的具体结果数据就会不同；按分数得出最后结果，就是数目相同，但分数表示的意义不同，分数间也不能划等号。这些难以处理的实际应用，只有用生活矛盾预演，让冲突来解决，学习往往容易凑效。如此不但可以加强理论知识与现实生活的直接沟通，形成知识的积累，还可让分数与生活息息相关，体验解决疑难，进入互动环节，实现数学与生活的沟通。 师：现在还剩几块糖？（3块）谁还想来拿，咱们换一种拿法，你说一个分数，按照你说的分数来拿它，如果要把所有的都拿走，用分数怎么来表示？ 生：。 师：对了，这糖先奖给你。不过老师口袋里还有好多糖呢，现在我再拿出2块，我告诉你，这2块糖只是我口袋里糖的，谁能猜中，我口袋里有多少块糖？我也要奖励他糖果。 生：应该有10块。 师：真神，一猜就对。 学生通过与教师的双边互动，从而明白掌握分数要先确定好单位'1’，还要明确平均分成多少份，其中整体单位'1’所代表的物体数目不确定，那么所分成的份数也就不同，从几个方面对这些难点问题进行对比练习，学生就能轻松弄懂分数的意义，学会运用分数的知识来解决实际问题，完成教学目标。同时做好知识的拓展与延伸，由其中的一份是多少反推总数的多少，使学生能举一反三，加深对单位'1’的理解和掌握，有利于开发智力，形成严密的数学逻辑思维。 三、思考与讨论 1、课堂与思考 要想完成分数意义这个知识点的教学目标，老师需采用动手操作，互动参与的方法来完成知识的迁移和积累，体验知识产生；完成建模，用生活矛盾加深对分数知识的理解与掌握，形成实践型的探索课堂，这是行之有效的两种策略。 （1）、积极营造交流情境，培养学生学习兴趣，突出动手动脑能力培养。本组老师不断创新，想出了许多改进课堂教学的方法，如通过折纸创造分数让学生对分数有比较直观的认识，加深了对分数意义的理解，降低了对分数理解的难度。在群体中交流多种折法，既尊重了学生解决问题的个人策略，又让学生体验解决问题的多种方法，使学生的创新能力得到发展，而放手让学生自主创造分数，顺应学生好表现的心理特点，彰显了学生个性，进一步加深了对分数意义的理解与运用，培养了学生的创新意识和学习的自信心。同时通过实践、探究与知识建构，并对实践过程进行分析，最终形成比较系统的知识网络，掌握所学知识，效果比较令人满意。 （2）、加强了学法的引导，使学生由被动学习转变为主动摄取知识，环节处理操作流程比较合理。最大的改变来自教师的态度，而培养自我获取知识能力的课堂应是学生主动参与，动手实践，探究交流，构建科学学习数学理念的最佳平台。如此才可把学生推向学习的前沿，从配角推上主演的重要地位，从而把学习的主动权还给学生，把反思的空间和时间留给学生，把发现的权利交给学生，全面展现学生的个性，发展他们的数学思维。本次研究做得最多的是放手，课前鼓励学生查阅资料，了解分数产生的背景，自觉体验分数的意义，掌握分数的性质及实际应用，开发了智力，拓宽了视野，实现了培养学生良好的学习习惯和自我获取知识的能力目标，这些新教学方法的渗透，把课堂教学向课前延伸，向课后拓展，从而完成了知识的巩固与迁移任务。 （3）、对教学模式问题进行了有益的探讨，确立实践探究与点拨式的教学模式，有利于促成师生的互动。由于分数意义比较抽象，一时难以接受，对于理解中的重点词如“一个物体”、“一些物体”、“一个整体”、“平均分”、“若干份”、“一份”、“几份”作了强调与点拨，从而形成比较牢固的经验性知识。同时在教学中注意从学生的认知特点和心理角度出发，多联系实际，举实例论证，结合学生已有的知识基础和生活经验，通过丰富的操作活动，双向合作，互动探究，让学生亲身体验，积极探索，构建新旧知识的联系，为学生掌握分数意义由感性认识上升到理性认识打好基础。 2、提出新问题 分数的意义作为一个比较抽象的教学内容，学生的探索精神不强，往往只有三分钟热情，因此教师要创新教学模式，引入新的教学方法，才能实现旧瓶装新酒的目的，突破教学难点。特别是现在许多学生难亲历实践，不愿走出生活的小圈子，不愿多动脑筋，使教者很多的好构想，好想法，好点子，难以付诸实践。如一盒铅笔（如6只、12只、20只）平均分成两份每份是多少？但学生会回答一样多，因为都是，他们不知这个的具体含义会随着总数的改变而有不同，看来数学也不能流行快餐式教学，千万不能误导，要强调经历实践以形成经验，要是引导不力会引发学生对分数的意义产生忌义和怀疑，认为分数是不确定的，从而形成认知误区。 数学学习往往是他们自己生活经验对数学现象的一种解读，现在的学生生活是丰富多彩的，他们接触到的世界也是五彩缤纷的，他们能够用不同的生活实践来感悟书本知识，让学生亲身体验生活与数学的联系，让学生“学生活中的数学、在活动中学数学、灵活地学数学”。实现数学与生活真正的回归，这样可能会对学生获取知识大有益处。 经验积淀，需要时间，解决问题困惑依然不少，但农村的孩子动手能力差，创新能力不强，很难做到处处与教师的美丽构想同步；另外充满活力的互动课堂不多，成功课例稀少，真正能发挥教者智慧，展现教育梦想和教育才华的教师缺乏，加之因缺乏稳定而值得推广的教育模式，没有固定的操作规程，相反带来了教研工作的滞后，这也是数学教研最大的困惑，而希望得到专家的指导，多加强多向的沟通与交流，不断提升自身的专业素养，或许数学教研才会更加美好。 （执笔：钟愧傲、李俊俊、何艳芳、李静、邱效文、彭坚） 湖南省平江县钟愧傲数学名师工作室由平江县多所学校的数学教师联合组成，其中有湖南省骨干教师邹顶高参与，由市县骨干教师陈怀瑞、邹示军、徐透辉、邹敬辉、王英姿、方怡谋、欧院辉等30多位老师组成，他们虽分布在多所学校，自发组成最强大的草根教育阵营，适时进行数学教学交流与探讨，共同支撑平江的教育发展。本课题的研究还得到了《湖南教育》的张新春、李闯等几位编辑老师的大力支持与精心指导，在此一并感谢。 （此文刊于2013年《湖南教育》7月号） |
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