基于普通物理方法的高中物理问题解决模式

qqpp1819 2014-07-01

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　　摘要：我们通过研究普通物理解决问题的特点，从方法论的角度提出了“普适规律 + 特殊规律 + 约束条件”这个普通物理解决问题的完备性模式，并且在具体分析了高中物理与普通物理的关系之后，结合唯象理论的特点，提出高中物理问题解决的操作型模式“模型 + 条件 + 算法”。并结合具体实例，对我们提出的方法从实践层面进行了阐释和说明。

　　关键词：普通物理；高中物理；方法论；问题解决；完备性；操作性

　　一、引言

　　重力，是物理学中最重要的概念之一。从高中物理开始，经历普通物理，再到理论物理，重力概念经历了如下的演变：

　　高中物理：，重点在于突出是重力加速度，旨在强调“力”的观点──这是牛顿力学的基础；普通物理：，重点在于是重力场场强，旨在强调“场”的观点，将“力”的概念建立在“场”的基础之上，给出了力的物质基础；理论物理：（重力是势能的负梯度），其中是梯度算符，在直角坐标系中可以写成，重点在于理论力学中放弃了“力”的观点，旨在强调“能量—动量”的观点，站在了更高的水平上认识力，符合近现代物理学的发展。

　　从数学的角度看重力概念的演化过程，是数学工具越来越具有普适性；从物理学角度出发，则是人类对客观世界的认识越来越深刻。对于中学物理教师而言，要尽可能的站在普通物理，甚至理论物理的高度把握高中物理中的物理概念和规律，因为只有这样做，才能游刃有余地开展物理教学。然而仅从知识的角度考虑还不够，还应当从思想方法的角度考虑。

　　日本数学教育家米山国藏有一段很有名的话：“我搞了多年的数学教育，发现学生们在初中、高中接受的数学知识因毕业进入社会后，几乎没有什么机会应用这些作为知识的数学，所以通常是出校门不到一两年就很快忘掉了。然而，不管他们从事什么业务工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学精神、数学的思维方法、研究方法和着眼点等，都随时随地的发生作用，使他们受益终生。”

　　这句话对于物理教育也同样适用。我们知道，物理学是探讨物质结构和运动基本规律的学科，是一门理论与实验相结合的自然科学正因如此，决定了物理学研究问题的基础性，决定了物理学是上游科学。就知识层面来讲，物理学对其他的自然科学的发展具有奠基意义；就理论模式而言，大量的运用数学与近乎公理化的理论体系，使物理学的理论模式成为自然科学中的一种范式，并且在一定意义上说，也促进了数学的发展。物理学在形成上述知识体系和理论模式的过程中，同时建立了一套方法论，它“代表着一整套获得知识、管理知识、应用知识的有效步骤与方法。”时代在变化，社会在发展，科学也在进步，我们不可能教给学生今后可能用到的全部知识。而我们可以做到的是，通过有限的知识作为载体，在有限的时间内，将物理学处理问题的方法教给学生。这样，无论这些学生将来从事什么样的工作，这工作是否与物理学相关，可能他学过的那些物理知识早就被淡忘了，但是物理学处理问题的方法却深深地印在他的心中，当他遇到问题的时候，可以运用这套方法，结合问题所涉及到的具体知识，进行处理。

　　二、物理学的五个教学阶段

　　物理学的教学可以分为以下几个阶段：

　　初中物理是从定性的角度对物理现象进行描述，必要时配以简单的数学，但没有上升到用现代物理学的语言来建立物理概念，表述物理规律，因此，严格来讲，初中阶段的物理是物理学习的启蒙阶段。

　　从高中开始，物理学从教学上进入了现代物理学的导论阶段，其标志为：从物理上看，力学、热学、电磁学、光学和原子物理学（或近代物理学）五个物理学门类的正式形成和确立，明确了物理学的学科范围；从数学上看，物理开始走向定量化或半定量化；从理论性质上，开始建立起一套唯象理论（唯象，即唯现象）。而且，从高中物理开始，以后的普通物理、理论物理等都是按照上述三个标志循环上升。

　　普通物理主要是为高等院校理工科专业的本科生开设的基础物理类课程，是高中物理的深化和拓展普通物理学的核心任务就是建立一套完整的经典物理的唯象理论（包括实验），并且将这套唯象理论用微积分和矢量代数定量的表述出来。普通物理唯象理论的建立有三个意义，一个是较为严格的定量化使得物理学脱离了哲学，另一个是在理论建构过程中，形成了一套完善的方法论，再一个是为物理学进入理论架构阶段的理论物理奠定了基础。

　　理论物理是为高等院校物理类专业的本科生以及部分研究生开设的高级物理课程。通常来讲，大学本科阶段的理论物理称为基础理论物理，因为它是今后学习、研究物理学各个分支的基础。基础理论物理只包括传统的四大力学（理论力学、电动力学、统计力学和量子力学），理论物理就是从几个基本假设（公理）出发，通过分析、演绎（包括数学）、推理、归纳等方法，对物理现象进行解释，对物理实验进行预期，对物理规律进行整合。理论物理是人类试图对物理学仿照数学那样进行公理化的产物。

　　在基础理论物理完成之后，物理学的教学发生了分化，一部分人将继续学习理论物理，我们称之为广义的理论物理，比如非线性物理、高等量子论（如二次量子化、路径积分、相对论性量子力学等）、广义相对论、数学物理（围道积分、格林函数、勒让德函数、贝塞尔函数、积分变换、重整化群）、数值计算等。一部分人开始学习实验物理，物理学一整套的实验理论和技术是实验物理课程的主流。

　　上述前四个教学阶段划分的原则是：一个是学生的认知水平，这决定了所选择讲授的知识的深度；再一个是课程的任务，这决定了所选择讲授的知识的广度。总之，上述五个教学阶段，我们可以看出物理学理论的风貌和内涵经过了三次变化，初中物理是描述性的物理，高中物理和普通物理是唯象的物理，理论物理理论架构的物理（用数学架构物理，用公理架构定理）。也是一个认识不断深入，从具体到抽象，从感性到理性的过程。

　　三、高中物理与普通物理的关系

　　高中物理和普通物理的关系应当从知识、方法和数学等三个维度来考虑。普通物理是在微积分和矢量代数（数学维度）的辅助下，采取与高中物理相同的建立理论的方法（方法论维度）对物理知识（知识维度）进行扩充。具体说来：

　　知识维度，在广度上，普通物理系统性的将物理知识进行了扩展，主要包括牛顿力学、经典电磁学、热学、经典光学和旧量子论。但知识扩展的方式是按照经典牛顿力学的“范式结构”进行的，所谓牛顿的范式结构是指将从大量实验中得出的普适规律作为基本公理或假设，运用分析、演绎（包括数学）、推理、归纳等等方式得出定理、推论。在深度上，普通物理利用更为精密的数学工具（如微积分、微分方程、矢量代数等），对唯象的物理规律进行严谨的表述或证明。这种证明仍是建立在 “普适规律”上的，而不是基于更深层次的基本假设或基本原理（例如第一原理）。

　　数学维度：就表面上来看，从高中物理到普通物理，数学上实现了从初等数学向高等数学的转变，即从以初等代数、欧几里德几何学、解析几何和三角函数为代表的常量数学向以微积分、级数、常微分方程、线性代数和矢量代数为代表的变量数学的转变。运算的复杂性大大增加，数学的思想性表现的越来越浓郁。

　　方法维度：高中物理和普通物理在方法维度上是一致的，主要表现为以下三个方面^[2]：

　　1．物理规律的数学表述

　　高中物理与普通物理在数学表述上是一致的。

　　普通物理表述物理规律的数学被严格限制在微积分和矢量代数。

　　高中物理，在微积分方面不出现极限符号、微分号（包括导数）和积分号或，也不涉及具体的微分、积分运算，或者可以这样说，高中物理中，极限只是渗透思想，并不涉及极限的运算和重要极限；导数（变化率）的表达用，但其实质是一样的（函数的变化率、图像的斜率）；积分的计算都是可以把被积函数整体拿到积分号外面来的情况，于是积分就变成了一个“形式积分”，或者是直接利用定积分的几何意义（曲线与坐标轴所围面积），这都大大简化了计算，但却依然能够突出物理的本质，不失物理的深刻。也就是说，高中物理更侧重于微积分的思想性与几何意义（这也正是为什么物理图像在高中物理中占有举足轻重地位的原因），普通物理则兼顾了另一面──微积分的具体计算。

　　在矢量代数方面，高中物理没有明确提出矢量点乘的概念，但这个概念已经在高中数学课中完整建立起来了（包括坐标运算）。高中物理不涉及矢量的叉乘运算，但是几个涉及矢量叉乘的物理规律（如洛伦兹力），高中物理用“手的定则”来表述其矢量运算的方向性，虽不具普适性，但却不失科学性。

　　高中物理用简单的数学，讲授尽可能深刻的物理，但这并不代表高中物理就要回避数学。普通物理则是在高中物理的基础上，在对物理进行深化和拓展的同时，利用较为复杂的数学，一方面使得物理规律的建立过程更加严谨、一般，另一方面也为具体问题的解决提供了具体的计算方法。

　　2．物理规律的构建模式

　　从真实的物理实验或者思想实验，以及物理现象出发，建立物理模型或者物理图像。而不是从基本公理、第一原理或数学实验出发。

　　这一点恰恰就是唯象理论的特点。唯象理论是物理学作为一门自然科学在其学科发展过程中必须要经历的一个过程。唯象理论的建立和完善，是为物理学走向公理化、理论架构阶段的前提和基础。在唯象理论阶段的物理学，其实也已经显示出一定的公理化特征：通过实验获得的普适物理定律作为基本公理（如牛顿运动定律、热力学定律、库仑定律等），在此基础上通过外加一定的特殊条件，以及相应的数学演绎得出其他的物理规律。

　　高中物理与普通物理除了在知识层面上存在多与少的差异之外，就物理规律的构建模式而言，是一致的。

　　3．物理规律的推广操作

　　从数学上较为简单的特例出发，然后直接指明或者通过例子指明结论的普适性，而在数学和逻辑上不一定非常严格。

　　得到物理规律之后，必须要指明的是物理规律的适用范围。根据物理规律适用范围的不同，可以说物理规律是有层次性的。有些物理规律是统领整个物理学的规律（比如基于对称性原理的守恒定律），有些规律只是统领物理学某一个领域的规律（比如牛顿运动定律），有些规律只是某一类物理现象的规律（比如匀变速直线运动的规律、欧姆定律、胡克定律、焦耳定律）。由于数学和唯象理论的限制，高中物理和普通物理不可能对物理规律的普适性做最一般性的讨论（比如从变分原理出发），此外，毕竟是教学，因此可以从若干个有代表性的特例出发，运用一种类似于不完全归纳法的方法得出物理规律的普适性，而这种普适性的一般证明，就留到理论物理中再给出。

　　四、高中物理的问题解决模式

　　（一）问题解决的指导思想

　　问题解决的指导思想就是唯象阶段的物理学解决问题的一般方法论，上文已有说明，此处不再赘述；

　　（二）问题解决的基础

　　解决物理问题必须要依靠物理知识。但是就高中物理而言，无论是现行教材，还是过去以往的诸多版本教材，甚至是国外的教材，高中物理所涉及的物理知识都是很多的，这就涉及一个问题：如何利用这么多的物理知识来解决遇到的问题？

　　我们完全可以做这样一个类比：我们将这些物理知识看作一个封闭的热力学系统（因为高中物理的知识毕竟是有限的），那么问题解决就相当于这个系统对外做功──有效功的能力或大小。通过热力学第二定律我们知道，系统对外输出有效功的能力取决于系统的有序程序，即熵的大小。熵越低，系统可以输出的有用功就越大，同时，系统的有序度也就越高。回到我们的问题上，也就是说，要想问题解决的好，一个前提就是知识体系的有序度高。因此，学生头脑中的知识应当是具有有序、低熵结构的。

　　知识结构由两部分组成：一部分是构成知识结构的“成分”──物理概念，另一部分是“成分”间的关联，即物理概念间的关系──物理规律。概念间的关联的排布方式，就形成了知识的结构，知识结构不是唯一的，因此必须要有一个标准来衡量某种“结构”。又知道，不同的物理概念间的关联（物理规律）是不等位的（见下文），因此如何安排这些地位不同的物理规律，使得知识体系能够做到有序、低熵，这个就是衡量知识结构的标准。此处，笔者以高中力学为例，给出一个笔者认为满足有序、低熵条件的知识结构图，以供参考，如图1所示。

图1 高中力学知识结构图

　　（三）普通物理“问题解决”的完备性模式：普适规律 + 特殊规律 + 约束条件

　　1．普适规律

　　普适规律是指物理学中处于较高层次的物理规律。一种是统领整个物理学的规律（比如守恒定律），另一种是物理学某一范畴内普遍成立的规律（如牛顿运动定律、拉格朗日方程、麦克斯韦方程、薛定谔方程等）。普适规律决定了问题的大方向，也正是由于这种普适性，导致规律中的物理量具有高度的抽象性。

　　2．特殊规律

　　特殊规律是指物理学中处于较低层次的物理规律。在一定条件下、某一类特定物理现象所满足的物理规律。特殊规律在原则上不能违反普适规律。比如，在弹性限度内，弹力与弹簧形变量满足胡克定律，超过弹性限度，胡克定律失效，但是牛顿定律依旧成立。在气体导电时，欧姆定律失效，但是麦克斯韦方程依旧成立。特殊规律则是将普适规律中抽象性的物理量具体化。比如牛顿定律给出了最一般系统所受力与系统获得的加速度之间的关系，但是究竟是什么力，这种力与哪些因素有关，这种力的表达式是什么，这些都是牛顿运动定律无法回答的，必须诉诸于实验或者更基本的原因。

　　3．约束条件

　　约束条件，包括物理上的约束和数学上的约束。从物理上讲，是从运动学（包含其动力学背景）和几何学角度给出问题的细节描写；从数学上讲，是为普适规律和特殊规律所组成的方程（特别是具有微分方程性质的方程）定解。

　　上述三者的关系，我们可以套用量子力学的语言来说：“普适规律、特殊规律、约束条件”就好像三个彼此线性独立的“基矢”，建起一个“希尔伯特（Hilbert）空间”，物理问题可以看作是这个空间中的“矢量”，都可以用这三个基矢来表达。

　　（四）高中物理“问题解决”的操作性模式：模型+ 条件+ 算法

　　1．模型

　　（1）模型的定义

　　本文中，模型是物理模型一词的简称。笔者采用首都师范大学乔际平先生给出的定义：“从狭义上讲，只有那些反映特定物理现象和物理问题的理想化实体、理想化过程、理想化状态、理想化结构才称作物理模型^[3]。”乔先生的定义同时指出了物理模型的本质──把实际问题理想化。“所谓理想化就是略去一些次要因素，突出其主要因素。”

　　（2）模型的作用

　　钱学森先生在《科学通报》中的一段话指出了模型的作用：“通过对问题现象的分解，利用我们考虑得来的原理吸收一切主要因素，略去一切不主要的因素，所创造出来的一幅图画。”这个图画的创造过程，恰恰是一个形象思维的过程，即将抽象事物具体化的过程。这种形象思维在教学中是非常重要的，一方面它可以使学生留下思考的痕迹，另一方面也便于教师从上述“痕迹”中寻找学生思维上的问题，此外，只有通过形象思维，才能把教师的思维展示给学生看，以供学生进行模仿。

　　（3）模型的目的

　　东南大学吴宗汉先生指出：“物理模型（物质模型和理想模型）是由科学研究的需要用物质形式或思想形式对原型客体本质关系的再现，通过对模型的研究获得关于原型客体的知识，是现代科学中常用的思想方法。物理模型是为了便于研究而建立的高度抽象的反映事物本质特征的理想物体，人们运用物理模型便于计算、推理、探索物质运动的规律，建立物理方程。在构造物理模型时，要对复杂事物加以抽象化，突出研究对象的主要特征，在具体的过程中还要不断与实际比较，加以修正，最后达到物理模型与现实原型中的物理世界基本符合^[7]。”从而达到解决问题的最终目的。

　　（4）模型的分类

　　物理模型包括：对象模型、结构模型、过程模型和环境模型；对象模型是对研究对象的抽象和理想化，比如质点（单质点、多质点）、刚体、直流电等。结构模型是指研究对象的内部结构的理想化处理，比如原子模型（道尔顿、J． J．汤姆逊、卢瑟福等人的原子模型）；过程模型是对运动过程的理想化，比如匀变速直线运动、圆周运动等；环境模型是指对研究对象所处的外部环境的理想化，比如重力场、匀强电场等。

　　（5）模型对应规律

　　模型直接对应普适规律；在考虑了约束条件的影响之后，模型还同时间接对应特殊规律。而这个特殊规律可以是普适规律的一个推论（比如电功率和），也可以是独立于普适规律之外的（比如牛顿第二定律和胡克定律），只要其不违背普适规律即可。此处需要说的一点是，普适规律不是通过哪一类实验得到的，它是建立在人类大量实践基础上的产物，并且已经被认为是公理，因此在建模的同时就已经给出了模型所遵循的普适规律。

　　2．条件

　　包括时间条件、空间条件、临界条件和边界条件；从物理上看，“条件”给出了物理问题的更加细致的描述，也构成问题的“个性”；从数学上看，“条件”为由物理规律构成的方程（组）定解。

　　时间条件是指时间上的关系；空间条件是指空间上的关系；临界条件是指两个不同的运动过程或者运动状态之间的连接条件；边界条件是指在某一特定时刻，或者某一特定位置处某一物理量的取值，边界条件包括时间边界（比如初速度等）和空间边界（出射点速度）。

　　3．算法

　　完整的解决一个物理问题，光靠分析还不行，最终都必须落实到具体的计算上。

　　算法是基于数学的“问题解决的最后操作”，既包括常规的推导、演算，也包括求解中的特殊方法与技巧。就高中物理而言，这里的数学应当限定于初等数学。初等数学在内容上包括算术、代数、欧几里得几何、三角学和解析几何。这些内容同时也就反映出数学是空间形式和数量关系的学科。空间形式对应着视觉思维和逻辑推理，数量关系对应着有序思维和符号运算。因此数形结合是初等数学中一个很重要的观点，反映到物理中就是物理图像的观点^[5]。初等数学的任务^[6]有4个：（1）发展符号意识；（2）实现从直观描述到严格证明的转变；（3）实现从具体化数学到概念化数学的转变；（4）实现从常量数学到变量数学的转变。正是伴随着上述数学的任务的完成，使得初等数学可以很好的嵌入到高中物理中。

　　（五）问题解决的两种模式的关系

　　“普适规律 + 特殊规律 + 约束条件”的完备性模式是根据唯象阶段的普通物理学解决问题的一般方法归纳出来的，“模型 + 条件 + 算法”的操作性模式则是其在高中物理中的体现。“普适规律 + 特殊规律 + 约束条件”模式是“模型 + 条件 + 算法”模式的理论基础，“模型+条件+算法”模式则是在高中物理的框架内逐渐逼近“普适规律 + 特殊规律 + 约束条件”模式。

　　其中，模型对应着规律，包括普适规律和特殊规律；条件则对应着约束条件。但是却找不到算法的对应。这是由于高中物理和普通物理在规律表述上的差异造成的。普通物理在给出物理规律的同时就把它的算法给出了，而高中物理的规律中凡涉及到矢量的规律与其相应的算法是分离的，往往是给出一个规律之后，再给它附加一个算法（一维的问题规定正方向化矢量运算为标量运算，二维的问题建立直角坐标系分解）。造成这种差异的原因是因为刚刚进入唯象阶段的高中物理，首先保证了物理思想的到位，而没有同时保证数学到位。这正是从初中物理经过高中物理向大学物理过渡阶段的特点。

　　五、应用：具体实例

　　纵观高中物理习题，从功能上分都包括了“模型 + 条件 + 算法”三个有机的组成部分。因此高中物理解题的操作流程应该是：

图2 “模型 + 条件 + 算法”问题解决模式的操作步骤流程图

　　图2中的点线框是“模型 + 条件 + 算法”问题解决模式的核心部分。

　　图2中的黑色实线箭头表示“模型 + 条件 + 算法”问题解决模式的连续性思维过程。从文字出发，利用示意图，可以定性的给出问题所描绘的物理情境。再结合判据（也就是模型成立的条件）确定模型。再利用知识结构图，再现或者挑选出模型所遵循的规律（普适规律与特殊规律）。此外，结合文字和情境图分析条件，结合挑选出的规律进行关联决策，从而确定算法，经过一定的数学运算之后，再从物理的角度对结果进行讨论，用文字语言表述出来。图2中的虚线箭头表示“模型 + 条件 + 算法”问题解决模式的瞬时思维过程。当学生的物理基础和物理直觉达到一定程度，就会直接从文字快速进入运算操作步骤。

　　瞬时性思维过程和连续性思维过程在解决问题的过程中是交替出现的，而并不是彼此排斥的。教师在教学过程中，要善于运用这两种思维过程。

　　我们按照上述操作步骤，从文字出发，描绘出物理情景，进而建立物理模型、分析条件，通过对模型和条件的关联决策确定算法。

　　例1：2011年高考，理科综合24，北京卷

　　我静电场方向平行于轴，其电势随的分布可简化为如图所示的折线，图中和为已知量。一个带负电的粒子在电场中以为中心、沿方向做周期性运动。已知该粒子质量为、电量为，其动能和电势能之和为。忽略重力。求

　　（1）粒子所受电场力的大小；

　　（2）粒子的运动区间；

　　（3）粒子的运动周期；

　　模型分析：

　　环境模型：因为忽略重力，且“静电场方向平行于轴”，所以该电场是一个匀强电场。逐个分析图像的坐标轴、坐标点、曲线、面积、斜率和截距的物理意义，找出环境模型。

　　坐标轴：横轴为距离，纵轴为电势；

　　坐标点：当粒子位置为时，其电势为；

　　曲线：图像为一折线，根据一次函数的解析式，可以写出的表达式：

　　面积：无对应物理量；

　　斜率：图像中，曲线斜率的绝对值表征匀强电场场强的大小：

　　其方向要根据“电场强度方向沿电势降低最快的的方向”来确定。

　　截距：当粒子位置为平衡位置时，其电势为。

　　根据图像物理意义分析，可知本题的环境模型为匀强电场。可以画出本题的电场分布，如图3（a）所示：在的区域，电势随着的增大而下降，因此电场方向为轴正方向，同理，在的区域，电场方向为轴负方向。

　　对象模型：将带负电的粒子作为质点处理。

　　过程模型：质点在电场中受恒力作用（如图3（b）所示），以为中心、沿轴作振幅为的周期性运动。加速度与初速度决定物体的运动形式。质点从O到做匀减速直线运动，从到O做匀加速直线运动，从O到做匀减速直线运动，从到O做匀加速直线运动……如图（c）所示。注意：粒子所受电场力不与位移成正比，因此粒子所作振动并不是简谐振动。

　　模型对应规律：

　　普适规律：牛顿运动定律、动量定理、动能定理、能量转化与守恒定律；

　　特殊规律：匀变速直线运动的规律、静电场的规律（、等）。

　　条件分析：

　　约束条件：已知“粒子的动能和电势能之和”，因为运动过程中，只有电场力做功，根据能量转化与守恒定律，因此为一恒量。由于动能没有负值，则电势能取负值。

　　边界条件：在振幅处，应有速度，即动量，动能，如图3（d）所示。

　　解：

　　第（1）问：根据匀强电场的电场强度在数值上等于沿电场线方向单位距离内的电势的降低量以及对图像中斜率的分析可知电场强度和粒子所受电场力的大小：

　　第（2）问：求粒子振动的振幅，粒子在时，质点动能为零。

　　第（3）问：

　　设周期为，粒子从到O处用的时间，如图3（d）所示，由于涉及时间问题，因此可以选择“动量定理”或者“牛顿运动定律 + 匀变速直线运动公式”。

　　解法①：动量定理

　　O点的动量与动能关系式，又因为能量守恒，有

　　粒子在位于振幅的动量

　　根据动量定理从O到（）有

　　解法②：牛顿运动定律 + 匀变速直线运动公式

　　牛顿第二定律

　　匀变速直线运动公式

　　例2：2008年高考，理科综合24，北京卷^[9]

　　有两个完全相同的小滑块A和B，A沿光滑水平面以速度与静止在平面边缘O点的B发生正碰，碰撞中无机械能损失。碰后B运动的轨迹为OD曲线，如图所示：

　　（1）已知滑块质量为，碰撞时间为，求碰撞过程中A对B平均冲力的大小；

　　（2）为了研究物体从光滑抛物线轨道顶端无初速下滑的运动，特制做一个与B平抛轨道完全相同的光滑轨道，并将该轨道固定在与OD曲线重合的位置，让A沿该轨道无初速下滑（经分析，A下滑过程中不会脱离轨道）：

　　a．分析A沿轨道下滑到任意一点的动量与B平抛经过该点的动量的大小关系；

　　b．在OD曲线上有一M点，O和M两点连线与竖直方向的夹角为45°，求A通过M点时的水平分速度和竖直分速度。

　　第一句“有两个完全相同的小滑块A和B，A沿光滑水平面以速度与静止在平面边缘O点的B发生正碰，碰撞中无机械能损失。”，给出对象模型──小球，可以看作质点，并且是两个小球，所以研究对象是一个系统，对于质点系统来说，普适规律有动量守恒定律、能量守恒定律（机械能守恒定律）。A与B发生碰撞，这是本题的第一个过程模型──碰撞，因此动量守恒，有：

　　题中又说道“碰撞中无机械能损失”，说明该碰撞是弹性碰撞，因此满足机械能守恒，有：

　　由于碰撞后，A不能穿过B到达B的前面, 所以A的速度必须小于B的速度。联立上述两个方程，舍去不合理的解，得：

　　回答第（1）问，由于给出了碰撞的作用时间，因此碰撞中的平均作用力可以用动量定理计算：

　　第二句“碰后B运动的轨迹为OD曲线”，对象模型为一个质点，碰后物体从桌边飞出，做曲线运动，这是本题的又一个过程模型。

　　由第（2）问a中题设可知，该过程模型包含两种运动模式：一种是物体沿着抛物线轨道，无初速下滑的曲线运动（A情况）；另一种是物体只在重力作用下，以一定的初速度水平抛出的平抛运动（B情况），画出这两种运动模式的情境图，见图4-1和图4-2：

　　对于A情况。对象模型为单质点，因此可以选择的普适规律有牛顿运动定律、动能定理和动量定理。从A的受力情况来看，质点A受到竖直向下的重力和垂直轨道切线方向向上的支持力。但是，支持力的大小和方向时刻在发生变化，因此给牛顿运动定律的求解带来了困难。并且，题目中说道“沿轨道下滑到任意一点”，这是一个明显的空间信息，因此动量定理就不再考虑。所以，我们只得选用动能定理。进一步分析发现，物体在任意位置时速度方向都沿抛物线在该点的切线方向，总与支持力垂直，所以支持力不做功，因此使用动能定理处理A情况的运动就比较容易了。