摘麥穗問題 (第 2 頁)

問題之四

摘麥穗問題還可以用到交男女朋友上去。實際上．這個問題在許多數學或統計雜誌上就是以「選美問題」或「婚姻問題」發表的。 我們借用童話裏的白馬王子與森林公主來討論此問題的另一發展。

森林公主住在巫婆家裹，巫婆有三個女兒。有一天王子到巫婆家門前來帶公主走。他不認得誰是公主誰是巫婆的女兒； 但他知道公主是最漂亮的。(巫婆女兒也不太醜，否則就太容易猜了。)猜的方式與問題一樣，女孩子一個個出來， 前門出來後門進去，王子得立刻下決心帶不帶她走，不准回頭帶。王子的目的是認出公主。到目前為止與問題之一完全一樣。 現在另加的條件是，巫婆有權安排公主出場的次序，她不希望王子認出公主。

假定王子足智多謀，而巫婆卻也鬼計多端，二個都是絕頂聰明的人。現在看：照問題之一的解法， 王子最好的選擇法就是越過第一位出場的女孩子，從第二位開始比較，帶比第一位漂亮的回家。 但巫婆她也知道問題之一的辦法，她把公主放在第一位，王子不就失敗了嗎?但王子的智力不弱．他也會想到這點， 猜第一位不就準成功了嗎?但巫婆亦非無能之輩，她把公主換到第二位就是了…。如此勾心鬥角，到了認人的時刻， 王子當怎樣認，巫婆當怎樣排，才可以造成自己最有利的戰略呢?

首先很明顯的一點是雙方好的戰略都不是固定的而是或然的。換言之，若巫婆最好的方法是把公主放在第幾位出場， 王子亦可同樣推出這個位置，結果一猜即中，可見巫婆無固定排法。另方面，如果王子最好的方法是 1.帶走第一位，或惟一其他的選擇 2.不帶第一位，巫婆都可以使他失敗。因此他的猜法也不是固定的。 或然的戰略是這樣的:巫婆以或然率 p₁ 把公主排在第一位，p₂,p₃,p₄，把公主放在第二、三、四的位置。 到時候臨時抽籤或丟骰子(以上述的或然率)安排公主的位置。王子可以算出巫婆的分配法 p₁, p₂, p₃, p₄， 但卻無法確定籤或骰子的決定。如果我們用 s_i 表示王子越過前面 i 個女孩子的猜法，則王子好的戰略也是以 p₁, p₂, p₃, p₄(不一定與巫婆的相同)的或然率採取s_O, s₁, s₂ 與 s₃ 的方法。

我們以x表示王子的戰略，y表示巫婆的戰略，p(x,y)表示在此兩戰略下，王子猜出公主的或然率。 王子希望p(x,y)愈大愈好，而巫婆希望p(x,y)愈小愈好。因王子與巫婆都極聰明， 假定他們都找到了他們的最佳戰略x^*與y^*。那麼x^*與y^*該有下面的性質⁴ ：

1. 如果王子不用最佳戰略x^*，而巫婆用她的最佳戰略y^*．那麼王子成功的機會必然比他用最佳戰略時小，也就是說．對任何王子的數略 x， 。 item2. 同理，如果巫婆不用她最佳戰略 y^*，而王子用他最佳戰略 x^*，那麼王子成功的機會會比巫婆用 y^* 時大， 也就是，對任何巫婆的戰略 y， 。

如果兩個都不用最佳戰略說?那麼兩個笨蛋在一起，什麼怪事都可能發生，我們不必為他們傷腦筋。

如何求出滿足1式與2式的x^*與y^*是遊戲論 (Game Theory) 中的基本問顧，往往要用電子計算機硬找。但問題本身的答案並不複雜。

假定巫婆可以隨意安排這四個女孩的位置。巫婆最佳的方法是同以1/4的或然率安排下面任何一種出場序：

式中1,2,3,4分別表示女孩子漂亮的程度，4代表公主。王子最佳的猜法是隨便猜．他成功的或然率是0.25 ⁵ 。

假定巫婆只可以安排公主的次序，三個女兒不受指揮爭先恐後的亂排，那麼巫婆最佳戰略y^*是： 以6/17,3/17,2/17,6/17的或然率把公主排在第一、二、三、四位置上。

而王子的最佳戰略x^*是：以 6/17,6/17,3/17,2/17 的或然率用 s₀, s₁, s₂ 與 s₃ 的猜法。 (s_i 在前面定義過，即先越過 i 個女孩的方法。)

在這種情形下，王子猜對的或然率是 0.353，比 0.25(王子不用心計隨便猜)大，但比 0.458(巫婆不用心計隨便排)小。 雙方用計，皆有所獲，巫婆以較大的或然率把公主放在頭尾，很合乎我們的直覺。

對一般 N 而言，如果某人可以安排全部的出場序，他可以使猜者猜對的或然率減至 1/N。 但如果他只有權安排最好的(或最好的只有權決定自己隱藏的位置)，那麼當雙方都用最佳戰略時， 猜者猜對的或然率約為 。由此可見，若有人(聰明人)在出場次序上用計， 當 N 很大的時候幾乎無法猜到最好的。