下面介绍一种时间复杂度是O(logn)的方法。在介绍这种方法之前,先介绍一个数学公式: {f(n), f(n-1), f(n-1), f(n-2)} ={1, 1, 1,0}n-1 (注:{f(n+1), f(n), f(n), f(n-1)}表示一个矩阵。在矩阵中第一行第一列是f(n+1),第一行第二列是f(n),第二行第一列是f(n),第二行第二列是f(n-1)。) 有了这个公式,要求得f(n),我们只需要求得矩阵{1, 1, 1,0}的n-1次方,因为矩阵{1, 1, 1,0}的n-1次方的结果的第一行第一列就是f(n)。这个数学公式用数学归纳法不难证明。感兴趣的朋友不妨自己证明一下。 现在的问题转换为求矩阵{1, 1, 1, 0}的乘方。如果简单第从0开始循环,n次方将需要n次运算,并不比前面的方法要快。但我们可以考虑乘方的如下性质: / an/2*an/2 n为偶数时 要求得n次方,我们先求得n/2次方,再把n/2的结果平方一下。如果把求n次方的问题看成一个大问题,把求n/2看成一个较小的问题。这种把大问题分解成一个或多个小问题的思路我们称之为分治法。这样求n次方就只需要logn次运算了。 实现这种方式时,首先需要定义一个2×2的矩阵,并且定义好矩阵的乘法以及乘方运算。当这些运算定义好了之后,剩下的事情就变得非常简单。完整的实现代码如下所示。 struct Matrix2By2
{ Matrix2By2 ( long long m00 = 0, long long m01 = 0, long long m10 = 0, long long m11 = 0 ) :m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11) { } long long m_00; long long m_01; long long m_10; long long m_11; }; /////////////////////////////////////////////////////////////////////// // Multiply two matrices // Input: matrix1 - the first matrix // matrix2 - the second matrix //Output: the production of two matrices /////////////////////////////////////////////////////////////////////// Matrix2By2 MatrixMultiply ( const Matrix2By2& matrix1, const Matrix2By2& matrix2 ) { return Matrix2By2( matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10, matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11, matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10, matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11); } /////////////////////////////////////////////////////////////////////// // The nth power of matrix // 1 1 // 1 0 /////////////////////////////////////////////////////////////////////// Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n) { assert(n > 0); Matrix2By2 matrix; if(n == 1) { matrix = Matrix2By2(1, 1, 1, 0); } else if(n % 2 == 0) { matrix = MatrixPower(n / 2); matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix); } else if(n % 2 == 1) { matrix = MatrixPower((n - 1) / 2); matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix); matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0)); } return matrix; } /////////////////////////////////////////////////////////////////////// // Calculate the nth item of Fibonacci Series using devide and conquer /////////////////////////////////////////////////////////////////////// long long Fibonacci_Solution3(unsigned int n) { int result[2] = {0, 1}; if(n < 2) return result[n]; Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n - 1); return PowerNMinus2.m_00; } |
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