【2001-2011】历届福州市中考数学压轴题
【1】（2001年福州）如图，已知：正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在轴上，点C在轴上，点B在函数的图象上，点是函数的图象上的任意一点，过点P分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S。
（1）求B点坐标和的值；
（2）当时，求点P的坐标；
（3）写出S关于的函数关系式。
【2】：（2001年福州）如图，已知：中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P点在AC上（与点A、C不重合），Q点在BC上。
（1）当的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；
（2）当的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；
（3）试问：在AB上是否存在点M，使得为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长。
【3】（2002年福州）如图：已知△ABC中，AB＝4，D在AB边上移动(不与A、B重合)，DE∥BC交AC于E，连结CD．设S△ABC＝S，S△DEC＝S1
（1）当D为AB中点时，求Sl：S的值；
（2）若AD＝x，=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，
（3）是否存在点D，使得Sl>S成立?若存在，求出D点位置；若不存在，请说明理由．
【4】（2002年福州）已知：矩形ABCD在平面直角坐标系中，顶点A、B、D的坐标分别为A0，0，Bm，0，D0，4，其中m≠0．
1）写出顶点C的坐标和矩形ABCD的中心P点的坐标(用含m的代数式表示)；
2）若一次函数y=kx－1的图像J把矩形ABCD分成面积相等的两部分，求此一次函数的解析式用含m的代数式表示；
3）在2）的前提下，l又与半径为1的⊙M相切，且点M0，1，求此时矩形ABCD的中心P点的坐标.
【5】（2003年福州）已知：如图8，等边三角形ABC中，AB＝2，点P是AB边上的任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E；过点E作EF⊥AC，垂足为F；过点F作FQ⊥AB，垂足为Q．设BP＝x，AQ＝y．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）当BP的长等于多少时，点P与点Q重合；
（3）当线段PE、FQ相交时，写出线段PE、EF、FQ所围成三角形的周长的取值范围（不必写出解题过程）．【6】（2003年福州）已知：如图9，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．直线x＝m（m＞1）与x轴交于点D．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）在直线x＝m（m＞1）上有一点P（点P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求P点坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，试问：抛物线上是否存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形？如果存在这样的点Q，请求出m的值；如果不存在，请简要说明理由．【7】（2004年福州）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是DC中点，点F在BC边上，且，在中作正方形，使边在AF上，其余两个顶点、分别在EF和AE上。
（1）请直接写出图中两直角边之比等于1：2的三个直角三角形（不另添加字母及辅助线）；
（2）求AF的长及正方形的边长；
（3）在（2）的条件下，取出，将沿直线、沿直线分别向正方形内折叠，求小正方形未被两个折叠三角覆盖的四边形面积。
【8】（2004年福州）的顶点为A，直线：与轴的交点为B，其中。
（1）写出抛物线对称轴及顶点A的坐标（用含的代数式表示）；
（2）证明点A在直线上，并求出的度数；
（3）动点Q在抛物线对称轴上，问抛物线上是否存在点P，使以P、Q、A为顶点的三角形与全等？若存在，求出的值，并写出所有符合上述条件的P点坐标；若不存在，说明理由。
【9】（200年福州）【10】（200年福州）【11】（200年福州）移动.设OC=x,OA=3
(1)当x=1时，正方形与扇形不重合的面积是；
此时直线CD对应的函数关系式是；
(2)当直线CD与扇形OAB相切时．求直线CD对应的
函数关系式；
(3)当正方形有顶点恰好落在AB上时．求正方形与扇形
不重合的面积.
【12】（200年福州）y1=a1x2+b1x+c1,y2=a2x2+b2x+c2,(a1a2≠0),当|a1|=|a2|ABM,A(-l,O)，B(1,0)．记过三点的二次函数抛物线为“C□□□”(“□□□”中填写相应三个点的字母)
(1)若已知M(0,1)，△ABM≌△ABN(10-l)．请通过计算判断CABM与CABN是否为全等抛物线；
(2)在图10-2中，以A、B、M三点为顶点，画出平行四边形．
①若已知M(0,л)，求抛物线CABM的解析式，并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的抛物线解析式．
②若已知M(m,n),当m,n满足什么条件时，存在抛物线CABM?根据以上的探究结果，判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的抛物线，若存在，请列出所有满足条件的抛物线“C□□□”；若不存在，请说明理由，
【13】（200年福州）的顶点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．点的坐标为，点的坐标为，点在对角线上运动（点不与点重合），过点分别作轴、轴的垂线，垂足为．设四边形的面积为，四边形的面积为，的面积为．
（1）试判断，的关系，并加以证明；
（2）当时，求点的坐标；
（3）如图11，在（2）的条件下，把沿对角线所在直线平移，得到，且两点始终在直线上，是否存在这样的点，使点到轴的距离与到轴的距离比是．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【14】（200年福州）与双曲线交于两点，且点的横坐标为．
（1）求的值；
（2）若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积；
（3）过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第一象限），若由点为顶点组成的四边形面积为，求点的坐标．
【15】（200年福州）ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？
【16】（2008年福州）如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
【17】（200年福州）边长为4，是边上动点，于H，过作∥，交线段于点，在线段上取点，使。设。
（1）请直接写出图中与线段相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；
（2）是线段上的动点，当四边形是平行四边形时,求□EFPQ的面积（用含的代数式表示）；
（3）当（2）中□EFPQ的面积最大值时，以E为圆心，为半径作圆，根据⊙E与此时□EFPQ四条边交点的总个数，求相应的的取值范围。
【18】（200年福州），过点M且以B为顶点的抛物线为，过点P且以M为顶点的抛物线为.
（1）如图10，当m=6时，①直接写出点M、F的坐标，②求、的函数解析式；
（2）当m发生变化时，①在的每一支上，y随x的增大如何变化？请说明理由。
②若、中的y都随着x的增大而减小,写出x的取值范围。
【19】（2010年福州）
如图，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H。
（1）求证：;
（2）设EF=，当为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值；
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式。
【20】（2010年福州）
如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线上，过点B作轴的垂线，垂足为A，OA=5。若抛物线过点O、A两点。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若A点关于直线的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆。过原点O作O1的切线OP，P为切点（P与点C不重合），抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O1相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由。
【21】（2011年福州）
【22】（2011年福州）
1
E
C
B
D
A
F
C
E
B
P
Q
A
x
y
x=m
D
C
B
A
O
A1
B1
C1
D1
E
F
A
A1
B1
C1
D1
E
F
D
C
B
A
O
A
x
y
（
图10
图11
F
E
N
·
M
O
A
C
x
y
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