九年级数学(上)第二章二次函数二次函数的应用何时面积最大何时面积最大何时面积最大何时面积最大何时窗户通过的光
线最多“二次函数应用”的思路知识的升华练习2：如图，在ΔABC中，∠B＝90°，点P从点A开始沿AB边向
点B以1厘米／秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米／秒的速度移动，如果P,Q分别从A,B同时出发，几秒后ΔAB
C的面积最大？最大面积是多少？ABCPQ练习3：某人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，
每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货是的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问他将售价定为
多少元时，才能使每天所赚利润最大？并求最大利润。思考题：某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市
场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，
请解答以下问题：①当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；②设销售单价为每千克x元,月销售利润为y
元，求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）；③商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利
润达到8000元，销售单价应为多少？练习2、已知：用长为12cm的铁丝围成一个矩形，一边长为xcm.,面积为ycm2,问何时矩形
的面积最大？解：∵周长为12cm,一边长为xcm,∴另一边为（6－x）cm解:由韦达定理得：x
1＋x2＝2k，x1?x2＝2k－1=(x1＋x2)2－2x1?x2＝4k2－2(2k－1)＝4k2－4k＋2＝
4(k－)2＋1∴当k＝时，有最小值，最小值为１∴y＝x（6－x
）＝－x2＋6x（0∵a＝－1<0,∴y有最大值当x＝3cm时，y最大值＝9cm2，此时矩形的另一边也为3cm答
：矩形的两边都是3cm，即为正方形时，矩形的面积最大。练习3、已知x1、x2是一元二次方程x2－2kx＋2k－1＝0的两根，求
的最小值。next例1:如图，在一面靠墙
的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。(1)求S与x的函数关系式及
自变量的取值范围；(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积
。ABCD解：(1)∵AB为x米、篱笆长为24米∴花圃宽为（24－4x）米(3)
∵墙的可用长度为8米(2)当x＝时，S最大值＝＝36（平方米）
∴S＝x（24－4x）＝－4x2＋24x（06∴当x＝4cm时，S最大值＝32平方米例2：某高科技发展公司投资500万元,成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品,
羡慕投入资金1500万元进行批量生产,已知行产每件产品的成本为40元,在销售过程中发现:当销售单价定为100元时,一年的销售量为2
0万件;销售单价每增加10元,年销售量就减少1万件.设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利（年获利=处销售额－生产成本
－投资）为z（万元）。（4）公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价，进行销售；第二年年获利不低于1130万元，请你借助函数
的大致图像说明，第二年的销售单价x（元），应确定在什么范围。（3）计算销售单价为160元时的年获利，并说明同样的年获利，销售单价
还可以定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？例心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，
讲课开始时，学生的注意力初步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的
注意力y随时间t的变化规律有如下关系（04黄冈）（1）讲课开始后第5分钟与讲课开始第25分钟比较，何时学生的注意力更集中？（2
）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？（3）一道数学题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力达到
180，那么经过适当安排，老师能否在注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存
活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去。假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变。现有一经销商，按市场价
收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时的市场价为每千克30元。据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需各
种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。（1）设x天后每千克活蟹的市
场价为P元，写出P关于x的函数关系式；（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额为Q元，写出Q与x的函
数关系式；（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润＝销售总额－收购成本－费用）？增大利润是多少？
驶向胜利的彼岸3、请写出如图所示的抛物线的解析式：课内练习
（0，1）（2，4）xyO一座拱桥的示意图如图，当水面宽12m时，桥洞顶部离水面4
m。已知桥洞的拱形是抛物线，要求该抛物线的函数解析式，你认为首先要做的工作是什么?如果以水平方向为x轴，取以下三个不同的点为坐
标原点：1、点A2、点B3、抛物线的顶点C所得的函数解析式相同吗？请试一试。哪一种取法求得的函数解析式最简单
？探究活动:ABC4m12m已知二次函数y=ax2＋bx+c的图象如图所示，且OA=OC，由抛物线的特征请
尽量多地写出一些含有a、b、c三个字母的等式或不等式：xyoAB-11-1C1、在平面直角坐标系中，有
一个二次函数的图象交x轴于（-4，0），（2，0）两点，现将此二次函数图象向右移动h个单位，再向上移动k个单位，发现
新的二次函数图象与x轴相交于（-1，0），（3，0）两点，则h的值为（）（A）0（B）1
（C）2（D）4C2、如图,直线y=x+2与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,AB
⊥BC,且点C在x轴上,若抛物线y=ax+bx+c以C为顶点，且经过点B，则抛物线的解析式为
2ABCxyOy=（x-2）122二次函数y=ax+bx+c的图象的一部分如图所
示，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）。（04杭州）（1）请判断实数a的取值范围，并说明理由；2
xy1B1AO54（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面
积为△ABC的倍时，求a的值。-1＜a＜0某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，在对历
年市场行情和生产情况进行了调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，提供了两个方面的信息。如图甲、图乙（注
：两图中的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本，生产成本6月份最低，图甲的图象是线段，图乙的图象是抛物线）。请你根
据图象提供的信息说明：（1）在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少元？（收益=售价—成本）（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的
收益最大？请说明理由。1234567月每千克售价（元）53O1
234567月每千克成本（元）53O1246●●●●甲乙
(1).设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?如图,
在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.想一想P621MN40m30mABC
D┐(1).设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.想一想P621ABCD┐MN
40m30mxmbm(1).如果设矩形的一边AD=xm,那么AB边的长度如何表示？(2).设矩形的面积为ym2,当x取何
值时,y的最大值是多少?如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.想一想P622驶向
胜利的彼岸ABCD┐MN40m30mbmxm(1).设矩形的一边BC=xm,那么AB边的长度如何表示？(
2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其顶点A和点D分别在
两直角边上,BC在斜边上.想一想P633驶向胜利的彼岸ABCD┐MNP40m30mxmbmHG
┛┛某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少
时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?做一做P625xxy1.理解问题;回顾上一节
“最大利润”和本节“最大面积”解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流.议一议P6342.分析问题中
的变量和常量,以及它们之间的关系;3.用数学的方式表示出它们之间的关系;4.做数学求解;5.检验结果的合理性,拓展等.例题
：如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈
抛物线状。一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离。ABCD0
.71.62.20.4EFOxy例题：如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将
一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状。一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部刚好触上绳子，
求绳子最低点到地面的距离。ABCD0.71.62.20.4EFOxy例题：如
图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状。一身高0.7
米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离。ABCD0.71.62.2
0.4EFOxyABCD0.71.62.20.4EF解：如图，所以，绳子最低点到地面
的距离为0.2米.Oxy以CD所在的直线为X轴，CD的中垂线为Y轴建
立直角坐标系，则B（0.8,2.2），F（-0
.4,0.7）设y=ax+k,从而有0.64a+k=2.20.
16a+k=0.72解得：a=K=0.2258所以，y=x+0.2
顶点E（0,0.2）2258独立作业P63习题2.81,2题.祝你成功！驶向胜利的彼
岸例1.如图，一位运动员在距篮下4m处起跳投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离是2.5m时，球达到最大高度3.
5m,已知篮筐中心到地面的距离3.05m,问球出手时离地面多高时才能中？球的出手点A的横坐标为-2.5，将x=-2.5
代入抛物线表达式得y=2.25,即当出手高度为2.25m时，才能投中。xy2.5m4m3.05ABCO3.5
解：建立如图所示的直角坐标系，则球的最高点和球篮的坐标分别为B(0,3.5),C(1.5,3.05).3.5=c
3.05=1.52a+c设所求的二次函数的表达式为y=ax2+c.将点B和点C的坐标代入，得
解得a=-02c=3.5∴该抛物线的表达式为y=-0.2x2+3.5例2启明公司生
产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量是10万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金
做广告，根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y=﹣x2+x+
,如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费：⑴试写出年利润s(万元)与广告费x(万元)的函数关系
式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大及最大年利润是多少万元。解：⑴S=10×(
）×（4-3）-x=-x2+6x+7当x=
=3时，S最大==
==16∴当广告费是3万元时，公司获得的最大年利益是16万元。⑵把①中的最大利润留出3万元做广
告，其余资金投资新项目，现有六个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：FEDCB
A项目864625每股（万元）10.90.50.60.4
0.55收益（万元）如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不低于1.6万元，问有几种符合要求的投资方式。写出每种
投资方式所选的项目。解：（2）用于再投资的资金是16-3=13（万元），经分析，有两种投资方式符合要求。一种是取A,B,E各一
股，投入资金为5+2+6=13（万元），收益为0.55+0.4+0.9=1.85（万元）>1.6（万元）；另一种是取B,D,E各一
股，投入资金为2+4+6=12（万元）<13(万元），收益为0.4+0.5+0.9=1.8（万元）>（万元）。例3.小明的家门前
有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作
为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）。花圃的宽
AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？解：设AD=x,则AB=32-4x+3=35-4x从而S=x(35-4x
)-x=-4x2+34x∵AB≤10∴6.25≤xS=-4x2+34x，对称轴x=4.25,开口
朝下∴当x≥4.25时S随x的增大而减小故当x=6.25时，S取最大值56.25
BDAHEGFC二次函数与拱桥问题练习市植物园人工湖上有抛物线
型拱桥，正常水位时桥下水面宽20米，拱高4米，根据此条件建立如图所示坐标系，得知此时抛物线的解析式为y=－
x2+4①在正常水位基础上水位上升h米时，桥下水面宽为d米，求d与h函数
关系式。②正常水位时，桥下水深2米，为了保证游船顺利通过，桥下水面宽不得小于18求水深超过多少会影响过往游船在桥下顺
利航行？yx(0,4)(10,0)(-10,0)OA(,h)例3小明的家门前有一块空地，空地外有一面
长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和
赏花的方便，准备在花圃的中间在围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（如图所示）。花圃的宽AD究竟应为多少米才
能使花圃的面积最大？DAHEGFCB解：设AD=x,则AB=32-4x+3=35-4x从而S=x
(35-4x)-x=-4x2+34x∵AB≤10,∴6.25≤xS=-4x2+34x，对称轴x
=4.25,开口朝下∴当x≥4.25时S随x的增大而减小故当x=6.25时，S取最大值56.25
正确练习：如图所示，公园要建造圆形喷水池，在水池中
央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA＝1.25米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛
物线落下，为使水流形状较为美观，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度为2.25米,如果不计其他因素,
那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？AO水面CByxAO水面C
Byx解：以水面OC所的直线为x轴，柱子OA所在的直线为y轴，O为原点建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为：y=a(x–h)+k,则有1.2
5=a(0–1)+2.2522解得：a=-1所以，y=-(x–1
)+2.252则A、B两点
的坐标分别为A(o,1.25)B(1,2.25)，令y=0,则-(x–1)+2.25=02解得：x=2.5或x=-0.5(舍去)所以，水池半径至少需要2.5米。思考题：在上面的练习题中，若水池喷出抛物线形状不变，水池的半径为3.5米，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0.1米）AO水面CByx解：依题意，A(0，1.25),C(3.5,0)设y=-(x-h)+k，则有-(0-h)+k=1.25-(3.5-h)+K=0解得h=—，k≈3.7.所以，此时水流最大高度应达3.7米.222117练习1：一男生推铅球,铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是:y=-―x2+―x+―.(1)画出函数图象;(2)观察图象,说出铅球推出的距离;铅球出手时的高度;铅球行进过程中的最高高度.1212335yx0YX |
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