特殊三角形
◆考点链接
1．等腰（等边）三角形的判定定理与性质定理．
2．直角三角形的判定与性质．
3．勾股定理的应用．
◆典例精析
【例题1】判断题：（正确的画“∨”，错误的画“×”）
（1）若三角形中最大的内角是60°，那么这个三角形是等边三角形；（）
（2）等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形分成两个等腰三角形；（）
（3）等腰三角形两腰上的高相等；（）
（4）等边三角形的三条高相等；（）
（5）等腰三角形的角平分线垂直且平分对边；（）
（6）顶角相等的两个等腰三角形全等．（）
评析：本题主要考查等腰三角形的性质与判定．（1）三角形有一角为60°时，另两角和是120°，若其中之一小于60°，必有另一个大于60°，与最大角为60°相矛盾．（2）等腰三角形一腰上的中线不一定等于腰长的一半．（3）（4）应用等腰（等边）三角形的性质，通过三角形面积的不同表示方法可证明．（5）当等腰三角形腰和底不相等时，底角的平分线不垂直平分对边．（6）和等腰三角形底边平行的直线截得的等腰三角形与原三角形顶角相等，但不全等．
答案：（1）∨（2）×（3）∨（4）∨（5）×（6）×
评析：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，等腰三角形的“三线合一”在等边三角形中就都成立，这是因为在等边三角形中，每个顶点都可以视作等腰三角形的顶点．
【例题2】（1）已知：a、b、c为△ABC三边，且满足a2+b2+c2+50=60a+8b+10c，试判断△ABC的形状．
（2）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂中为D点，且CD2=AD·BD，求证：△ABC为直角三角形．
解题思路：由三角形的三边的数量关系来判断三角形是否是直角三角形，或用于构造直角三角形证明两直线垂直，一般与勾股定理和代数式、方程相结合，综合运用．特别是由一个等式求三角形的三边长时，往往把等式化为A2+B2+C2=0的形式，再由A=0，B=0，C=0，求得三角形三边的长，再用于计算或判断．
（1）解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，
∴a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0，
∴（a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0，
∴a-3=0，b-4=0，c-5=0，
∴a=3，b=4，c=5，∴a2+b2=c2，
∴△ABC为直角三角形．
（2）证明：∵CD⊥AB，
∴AD2+DC2=AC2，DB2+DC2=BC2．
∴AC2+BC2=AD2+DB2+2DC2，∵DC2=AD·DB，
∴AC2+BC2=AD2+DB2+2AD·DB=（AD+DB）2=AB2．
评析：（1）对于原等式关键处是化为A2+B2+C2=0的形式，对常数项拆项的依据是一次项系数的一半的平方．（2）本题的解答在于反复应用勾股定理及其逆定理，先分别在Rt△ACD和Rt△BCD中使用勾股定理，再依据已知条件，进而求得AC2+BC2=AB2，此时，S△AOB=AB·h=×2a·a=a2．
所以△AOB的面积最大值为a2．
2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．
（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．
解题思路：（1）用根与系数的关系、勾股定理建立方程求解，再用判别式和根与系数的关系检验．（2）用求根公式和等腰三角形的性质求解．
解：（1）根据一元二次方程根与系数的关系和勾股定理，可列方程组：
∵AC2+AB2=（AC+AB）2-2AC·AB．
∴25=（2k+3）2-2（k2+3k+2），
∴k1=-5，k2=2．
（2）∵△=（2k+3）2-4（k2+3k+2）=1>0，方程有两个不相等的实数根，∴AC≠AB．
当AB=BC或AC=BC时，将x=5代入方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0，k=3，k=4．
k=3时，方程为x2-9x+20=0，x1=4，x2=5．△ABC的周长为14．
k=4时，方程为x2-11x+30=0，x1=5，x2=6．△ABC的周长为16．
解题思路：由所给出的三个图形拼成直角梯形，抓住面积来证明勾股定理．
解：（1）如上右图是所拼的图形，它是直角梯形．
（2）∵S梯形=（a+b）（a+b）=（a+b）2，
又∵S梯形=ab×2+c2=ab+c2，
∴（a+b）2=ab+c2，整理得a2+b2=c2．
(1)(2)(3)
3．等腰三角形的两外角之比为5：2，则该等腰三角形的底角为________．
二、选择题
1．如图2，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）．
A．30°B．36°C．45°D．70°
2．下列命题中，错误的是（）．
A．等边三角形的各边相等，各角相等B．等边三角形是一个轴对称图形
C．等边三角形是一个中心对称图形D．等边三角形有一个内切圆和一个外接圆
3．如图3，在△ABD中，∠D=90°，C为AD上一点，则x可能是（）．
A．10°B．20°C．30°D．40°
三、解答题
1．如图，已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB中点，E、F分别在AC、BC上，且ED⊥FD，求证：S四边形EDFC=S△ABC．
◆实战模拟
一、填空题
1．底角为15°，腰长为a的等腰三角形的面积是_______．
2．等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角度数为______．
3．如图，D为等边三角形ABC内一点，DB=DA，BP=AB，∠DBP=∠DBC，则∠BPD的度数是______．
二、选择题
1．（宿迁）如图6的三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（）．
A．（1）（2）（3）B．（1）（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（3）（4）
2．如图，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（）．
A．45°B．55°C．60°D．75°
3．三角形两边的长为6和8，第三边长为方程x2-16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（）．
A．24B．24或8C．48D．8
三、解答题
1．（兰州）如图所示，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于O点，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．
（1）上述四个条件中，哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形．（用序号数写出所有情况）
（2）选择（1）中的一种情况，证明△ABC是等腰三角形．
2．（吉林）如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ABC=90°，AB=4，BC=6，∠DEF=90°，DF=EF=4．
（1）移动△DEF，使边DE与AB重合（如图①）．再将△DEF沿AB所在直线向左平移，使点F落在AC上（如图②），求BE的长．
（2）将图②中的△DEF绕点A顺时针旋转，使点F落在BC上，连接AF（如图③）．请找出图中的全等三角形，并说明它们全等的理由．（不再添加辅助线，不再标注其他字母）
答案:
中考演练
一、1．122．40°3．30°
二、1．B2．C3．B
三、1．连结CD，证△ADE≌△CDF
2．（1）证△AEC≌△CDB（2）6cm
实战模拟
一、1．a22．30°或150°3．30°
二、1．D2．C3．B
三、1．①③，①④，②③，②④（2）略
2．（1）BE=AB-AE=4-=，Rt△AEF≌△FBA，证略．
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