专题2函数、导数及其应用
第4讲导数及其应用
一、选择题
1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝()
A．－1B．－2
C．2D．0
[答案]B
[解析]f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(1)＝4a＋2b＝2，
f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)＝－2
要善于观察，故选B.
2．(2011·江西文，4)曲线y＝ex在点A(0,1)处得切线斜率为()
A．1B.2
C．eD.
[答案]A
[解析]y′＝(ex)′＝ex，所以k＝e0＝1.
3．(2011·重庆文，3)曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为()
A．y＝3x－1B．y＝－3x＋5
C．y＝3x＋5D．y＝2x
[答案]A
[解析]y′＝－3x2＋6x在(1,2)处的切线的斜率k＝－3＋6＝3，
切线方程为y－2＝3(x－1)．即y＝3x－1.
4．(2010·山东文，8)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为()
A．13万件B．11万件
C．9万件D．7万件
[答案]C
[解析]本题考查了导数的应用及求导运算，x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，令y′＝0得x＝9，x(0,9)时，y′>0，x(0，＋∞)时，y′<0，y先增后减，x＝9时函数取最大值，选C，属导数法求最值问题．
5．(文)(2011·湖南文，7)曲线y＝－在点M(，0)处的切线的斜率为()
A．－B.
C．－D.
[答案]B
[解析]y′＝
＝，y′|x＝＝.
(理)(2011·湖南理，6)由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为()
A.B．1
C.D.
[答案]D
[解析]S＝∫－cosxdx＝sinx
＝sin－sin＝.
6．(2011·山东淄博)若函数y＝f(x)在R上可导，且满足不等式xf′(x)>－f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是()
A．af(a)>bf(b)B．af(a)
C．af(b)bf(a)
[答案]A
[解析]令F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝xf′(x)＋f(x)，
由xf′(x)>－f(x)，
得：xf′(x)＋f(x)>0，即F′(x)>0，
所以F(x)在R上为递增函数．
因为a>b，所以af(a)>bf(b)．故选A.
7．(2011·江苏盐城)函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是()
A．0≤a<1B．－1
C．0
[答案]D
[解析]f′(x)＝3x2－3a，
由于f(x)在(0,1)内有最小值，故a>0，
令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝－.
则(0,1)，0
8．(文)(2011·浙江文，10)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，cR)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图像不可能为y＝f(x)的图像是()[答案]D
[解析]由F(x)＝f(x)·ex得，
F′(x)＝f′(x)ex＋f(x)·(ex)′
＝ex[ax2＋(2a＋b)x＋b＋c]
x＝－1是F(x)的极值点，F′(－1)＝0，得c＝a.
f(x)＝ax2＋bx＋af′(x)＝2ax＋b
f′(－1)＝－2a＋b，f(－1)＝2a－b
由f′(－1)＝0，则b＝2a，f(－1)＝0，b＝2a，故A，B选项可能成立；
由f′(－1)>0，－2a＋b>0，f(－1)<0，故C选项也成立；
所以，答案选D.
(理)(2011·湖北理，10)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln2(太贝克/年)，则M(60)＝()
A．5太贝克B．75ln2太贝克
C．150ln2太贝克D．150太贝克
[答案]D
[解析]M′(t)＝－ln2·2－，
M′(30)＝－ln2＝－10ln2，M0＝600，
M(t)＝600·2－，M(60)＝600·2－2＝150.
二、填空题
9．直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b＝________.
[答案]ln2－1
[解析](lnx)′＝，令＝，得x＝2，切点(2，ln2)代入切线方程，得b＝ln2－1.
10．(2011·山东烟台)曲线y＝2x4上的点到直线y＝－x－1的距离的最小值为________．
[答案]
[解析]设直线l平行于直线y＝－x－1，且与曲线y＝2x4相切于点P(x0，y0)，则所求最小值d即为点P到直线y＝－x－1的距离，对于y＝2x4，y′＝8x3，
则y′|x＝x0＝8x＝－1.
x0＝－，y0＝，
d＝＝.
11．(苏北四市联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)＝0，>0(x>0)，则不等式x2f(x)>0的解集是________________．
[答案](－1,0)(1，＋∞)
[解析]设F(x)＝，则当x>0时，
F′(x)＝>0，
F(x)在(0，＋∞)上为增函数，且F(1)＝f(1)＝0.
当x>1时，F(x)>0，则有f(x)>0，
当0
又f(x)是R上的奇函数，
当－10，
当x<－1时有f(x)<0.
x2f(x)>0的解集是(－1,0)(1，＋∞)．
12．(文)(2011·银川二模)已知函数y＝f(x)的图像在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.
[答案]3
[解析]由题可知f(1)＝×1＋2＝，f′(1)＝k＝，所以f(1)＋f′(1)＝3.
(理)(2011·浙江五校联考)已知函数f(x)的导函数f′(x)＝2x－9，且f(0)的值为整数，当x[n，n＋1](nN)时，f(x)所有可能取的整数值有且只有1个，则n＝________.
[答案]4
[解析]由题可设f(x)＝x2－9x＋c(cR)，又f(0)的值为整数即c为整数，f(n)＝n2－9n＋c为整数，f(n＋1)＝(n＋1)2－9(n＋1)＋c＝n2－7n＋c－8为整数，又x[n，n＋1](nN)时，f(x)所有可能取的整数值有且只有1个，n2－7n＋c－8＝n2－9n＋c，即n＝4.
三、解答题
13．已知曲线y＝x3.
(1)求曲线在点(1,1)处的切线方程；
(2)求过点(1,0)与曲线相切的直线方程；
(3)求过点(1,1)与曲线相切的直线方程．
[解析](1)y＝x3，y′＝f′(x)＝3x2，且点(1,1)在曲线上，
f′(1)＝3×12＝3，即所求切线的斜率k＝3.
切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
(2)曲线y＝x3，y′＝f′(x)＝3x2.
显然点(1,0)不在曲线y＝x3上，
设切点坐标为(x0，x)，
所求直线的斜率k＝f′(x0)＝3x故所求直线方程为y－x＝3x(x－x0)．
又因为该直线过点(1,0)，代入得，
0－x＝3x(1－x0)，
x(2x0－3)＝0，x0＝0，或x0＝.
当x0＝0时，k＝3x＝0，
此时所求直线方程为y＝0；
当x0＝时，k＝3x＝，
此时所求直线方程为y＝(x－1)，
即27x－4y－27＝0.
所求直线方程为y＝0，或27x－4y－27＝0.
(3)由(2)知，所求直线方程为y－x＝3x(x－x0)．
又直线过点(1,1)，1－x＝3x(1－x0)，
整理得(x0－1)2(2x0＋1)＝0，
x0＝1，或x0＝－.
当x0＝1时，k＝3，
此时所求直线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0；
当x0＝－时，k＝，
此时所求直线方程为y－1＝(x－1)，
即3x－4y＋1＝0.
所求直线的方程为3x－y－2＝0，或3x－4y＋1＝0.
14．(文)(2011·重庆文，19)设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图像关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)的极值．
[解析](1)f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1
f′(x)＝6x2＋2ax＋b
由题意知－＝－，a＝3.
又f′(1)＝0，6×12＋2a＋b＝0，
6＋6＋b＝0，b＝－12.
a＝3，b＝－12.
(2)由(1)知a＝3，b＝－12.
f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x2＋x－2)＝6(x＋2)(x－1)
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝1.
f′(x)、f(x)随x变化如下表
x (－∞，－2) －2 (－2,1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 极大值 极小值 当x＝－2时，f(x)取得极大值f(－2)＝21，在x＝1处取得极小值f(1)＝－6.
(理)(2011·重庆理，18)设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，bR.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)设g(x)＝f′(x)e－x，求函数g(x)的极值．
[解析](1)因f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，
故f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，由已知f′(1)＝2a，
因此3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.
又令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，由已知f′(2)＝－b，因此12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.
因此f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.
又因为f′(1)＝2×(－)＝－3，故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(－)＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.
(2)由(1)知g(x)＝(3x2－3x－3)e－x，
从而有g′(x)＝(－3x2＋9x)e－x.
令g′(x)＝0，得－3x2＋9x＝0，解得x1＝0，x2＝3.
当x(－∞，0)时，g′(x)<0，故g(x)在(－∞，0)上为减函数；
当x(0,3)时，g′(x)>0，故g(x)在(0,3)上为增函数；
当x(3，＋∞)时，g′(x)<0，故g(x)在(3，＋∞)上为减函数；
从而函数g(x)在x1＝0处取得极小值g(0)＝－3，在x2＝3处取得极大值g(3)＝15e－3.
15．(2011·江苏，17)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．
(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
[解析]设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，由已知得
a＝x，h＝＝(30－x)，0
(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，
所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2(－x2＋30x2)，V′＝6x(20－x)．
由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20.
当x(0,20)时，V′>0；当x(20,30)时，V′<0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝.即包装盒的高与底面边长的比值为.
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