专题3三角函数与平面向量
第1讲三角函数的图象与性质
一、选择题
1.(2011·北京海淀)函数f(x)=sin的图像的对称轴方程可以是()
A.x=B.x=π
C.x=D.x=
[答案]A
[解析]令2x+=kπ+,kZ,可得x=π+,kZ,取k=0可得函数f(x)的一条对称轴方程为x=,故选A.
2.(2011·山东济南)函数f(x)=tanx+,x{x|- [解析]据已知易知函数为奇函数,故其图像关于原点对称,排除B,C选项.又当00,排除D,故选A.
3.(2011·长沙二模)若将函数y=sin(ω>0)的图像向右平移个单位长度后,与函数y=sin的图像重合,则ω的最小值为()
A.1B.2
C.D.
[答案]D
[解析]y=sin
y=sin=sin,
-ω+2kπ=,ω=8k-(kZ),
又ω>0,ωmin=.
4.(2011·湖北理,3)已知函数f(x)=sinx-cosx,xR,若f(x)≥1,则x的取值范围为()
A.{x|kπ+≤x≤kπ+π,kZ} B.{x|2kπ+≤x≤2kπ+π,kZ}
C.{x|kπ+≤x≤kπ+,kZ} D.{x|2kπ+≤x≤2kπ+,kZ}
[答案]B
[解析]f(x)=sinx-cosx=2sin(x-),
f(x)≥1即sin(x-)≥.
2kπ+≤x-≤2kπ+,
2kπ+≤x≤2kπ+π,kZ.
5.(2011·陕西文,6)方程|x|=cosx在(-∞,+∞)内()
A.没有根B.有且仅有一个根
C.有且仅有两个根D.有无穷多个根
[答案]C
[解析]画出函数图像,易知有两个交点,即|x|=cosx有两个根.6.(2010·四川)将函数y=sinx的图像上所有的点向右平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是()
A.y=sinB.y=sin
C.y=sinD.y=sinx-
[答案]C
[解析]y=sin.
7.(2011·郑州4月考)已知函数f(x)的部分图像如图所示,则f(x)的解析式可能为()A.f(x)=2cos(-)B.f(x)=cos(4x+)
C.f(x)=2sin(-)D.f(x)=2sin(4x+)
[答案]A
[解析]由图像A=1,=π-π=π,
T=4π,ω=.排除B、D.
又f(x)过B(0,1),代入验证知选A.
8.(2011·沈阳模拟)下列命题中正确的是()
A.设f(x)=sin,则x∈,必有f(x) B.x0∈R,使得sinx0+cosx0>1
C.设f(x)=cos,则函数y=f是奇函数
D.设f(x)=2sin2x,则f=2sin
[答案]C
[解析]f(x)=sin在上有增有减,因此A不正确;sinx0+cosx0=sin≤1,故B不正确;y=f=cos=-sinx,为奇函数,故C正确;f=2sin=2sin,故D不正确.
二、填空题
9.(文)(2011·重庆文,12)若cosα=-,且α(π,),则tanα=________.
[答案]
[解析]cosα=-,α(π,),
sinα=-,tanα=.
(理)(2011·重庆理,14)已知sinα=+cosα,且α(0,),则的值为________.
[答案]-
[解析]由得,
2cos2α+cosα-=0,
cosα=-+(α(0,)),sinα=+,
=
=-(sinα+cosα)=-.
10.(2011·江苏,9)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0)的部分图像如图所示,则f(0)的值是________.[答案]
[解析]由图像可知,A=,=,
T=π,ω=2,则y=sin(2x+φ),
将(π,-)代入,解之得φ=,
从而y=sin(2x+),f(0)=.
11.(2011·济南三模)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-≤φ≤)的图像上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2,且过点(2,-),则函数f(x)=________________.
[答案]sin(x+)
[解析]由题知两个相邻的最高点与最低点的距离为2,f(x)max-f(x)min=2,结合图像由勾股定理可得周期T=4,ω==,
又函数f(x)过点(2,-),所以sin(π+φ)=-,
又因为-≤φ≤,所以φ=,
所以函数f(x)的解析式为f(x)=sin(x+).
12.(2011·安徽文,15)设f(x)=asin2x+bcos2x,其中a,bR,ab≠0,若f(x)≤|f()|对一切xR恒成立,则
f()=0
|f()|<|f()|
③f(x)既不是奇函数也不是偶函数
f(x)的单调递增区间是[kπ+,kπ+](kZ)
⑤存在经过点(a,b)的直线与函数的图像f(x)不相交
以上结论正确的是________(写出正确结论的编号).
[答案]
[解析]f(x)=asin2x+bcos2x=sin(2x+φ)(tanφ=)
f(x)≤|f()|,fmax(x)=|f()|
当x=时,sin(2x+φ)=±1
即2×+φ=kπ+,kZ,φ=kπ+,kZ
∴f(x)=
f(π)=sin(2×π+kπ+)=sin(2π+kπ)=0,正确
|f()|=|sin(2×+)|
=sin(+)=sin
|f()|=|sin(2×+)|
=sin,|f()|=|f()|,故错
φ=kπ+,f(x)既不是奇函数也不是偶函数,故正确.
当k为偶数时,f(x)=(2x+)
令2kπ-≤2x+≤2kπ+,kZ,
kπ-≤x≤kπ+,kZ.
∴增区间是[kπ-,kπ+]kZ.
当k为奇数时,f(x)=-(2x+),
令2kπ+≤2x+≤2kπ+,kZ,
kπ+≤x≤kπ+,kZ,
增区间是[kπ+,kπ+],kZ,故错.
错,要经过(a,b)点的直线与f(x)图像不相交,直线平行于x轴,而f(x)的振幅>|b|,f(x)与直线必有交点,故错.
三、解答题
13.(2010·北京理,15)已知函数f(x)=4cosxsin(x+)-1.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间[-,]上的最大值和最小值.
[解析](1)因为f(x)=4cosxsin(x+)-1
=4cosx-1
=sin2x+2cos2x-1=sin2x+cos2x
=2sin
f(x)的最小正周期为π.
(2)当x时,2x+,
当2x+=,即x=时,f(x)取到最大值2;当2x+=-即x=-时,f(x)取到最小值-1.
f(x)的最大值和最小值分别是2和-1.
14.(文)(2011·广东理,16)已知函数f(x)=2sin(x-),xR.
(1)求f()的值;
(2)设α,β[0,],f(3α+)=,f(3β+2π)=,求cos(α+β)的值.
[解析](1)f=2sin=2sin
=2×=.
(2)f=2sin
=2sinα=,sinα=.
f(3β+2π)=2sin
=2sin=2cosβ=,cosβ=.
α,β,cosα==,
sinβ==,
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
=×-×=.
(理)(2011·四川理,17)已知函数f(x)=sin(x+)+cos(x-),xR.
(1)求f(x)的最小正周期和最小值;
(2)已知cos(β-α)=,cos(β+α)=-,0<α<β≤,求证:[f(β)]2-2=0.
[解析](1)f(x)=sin(x+-2π)+sin(x-+)=sin(x-)+sin(x-)=2sin(x-)
T=2π,f(x)的最小值为-2.
(2)由已知得cosβcosα+sinβsinα=,
cosβcosα-sinβsinα=-.
两式相加得2cosβcosα=0.
0<α<β≤,β=.
[f(β)]2-2=4sin2-2=0.
15.(2011·东北三省三校)已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x(xR).
(1)求f(x)的最小正周期,并求f(x)的最小值;
(2)令g(x)=f-1,若g(x) [解析](1)f(x)=sin2x+cos2x+1=sin+1,其最小正周期是T==π,又当2x+=-+2kπ,即x=kπ-(kZ)时,sin取得最小值-1,所以函数f(x)的最小值是1-,此时x的集合为{x|x=kπ-,kZ}.
(2)g(x)=f-1=sin
=sin=cos2x.
由x,得2x,则
cos2x,
g(x)=cos2x,
若g(x) 则a-2>g(x)max=,a>2+.
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