专题3三角函数与平面向量
第3讲平面向量
一、选择题
1．(文)(2011·广东文，3)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)c，则λ＝()
A.B.
C．1D．2
[答案]B
[解析]a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，因为(a＋λb)c，所以4＋4λ－6＝0，所以λ＝.
(理)(2011·广东理，3)若向量a，b，c满足ab，且ac，则c·(a＋2b)＝()
A．4B．3
C．2D．0
[答案]D
[解析]a∥b，可设b＝λa(λR)，
c·(a＋2b)＝c·(a＋2λa)＝(2λ＋1)c·a＝0，选D.
2．(2011·大纲全国卷文，3)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝()
A.B.
C. D.
[答案]B
[解析]|a＋2b|＝＝
＝＝.
3．(2011·四川理，4)如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝()A．0B.
C. D.
[答案]D
[解析]原式＝＋＋＝＋＝，故选D.
4．(2011·湖北文，2)若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于()
A．－B.
C. D.
[答案]C
[解析]a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)，则cos<2a＋b，a－b>＝＝，
2a＋b，a－b＝.
5．(2011·重庆文，5)已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为()
A．1B．2
C．3D．4
[答案]D
[解析]a＝(1，k)，b＝(2,2)
a＋b＝(3，k＋2)
(a＋b)a
∴1·(k＋2)＝3k，k＝1，a＝(1,1)，
a·b＝2＋2＝4.
6．(2010·安徽理，3)设向量a＝(1,0)，b＝(，)，则下列结论中正确的是()
A．|a|＝|b|B．a·b＝
C．a－b与b垂直D．ab
[答案]C
[解析]a－b＝(，－)
(a－b)·b＝(，－)·(，)＝0.
即a－b与b垂直，故选C.
7．设ABC的三个内角为A、B、C向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝()
A.B.
C. D.
[答案]C
[解析]m·n＝sinAcosB＋cosAsinB
＝sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，
sin(A＋B)－cos(A＋B)＝sinC＋cosC
＝2sin(＋C)＝1.
sin(＋C)＝，0
＋C＝π或＋C＝(舍去)，C＝π.
8．(2011·辽宁理，10)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为()
A.－1B．1
C.D．2
[答案]B
[解析]|a＋b－c|2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b－2a·c－2b·c＝3－2(a·c＋b·c)
(a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－b·c＋|c|2
＝1－(a·c＋b·c)≤0，
|a＋b－c|2≤1，|a＋b－c|max＝1.
二、填空题
9．(2011·临沂模拟)已知向量a＝(3,5)，b＝(2,4)，c＝(－3，－2)，a＋λb与c垂直，则实数λ＝________.
[答案]－
[解析]a＋λb＝(3,5)＋(2λ，4λ)＝(2λ＋3,4λ＋5)，
(a＋λb)c，－3(2λ＋3)－2(4λ＋5)＝0，
解得λ＝－.
10．(2011·北京理，10)已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k＝________.
[答案]1
[解析]依题意：a－2b＝(，1)－2(0，－1)＝(，3)，又与c＝(k，)共线，k＝1.
11．(2011·湖南文，13)设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．
[答案](－4，－2)
[解析]由a与b方向相反可设a＝λ(2,1)，λ<0，所以由|a|＝2＝|λ|，知λ＝－2，所以a＝(－4，－2)．
12．(文)(2011·江西文，11)已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.
[答案]－6
[解析]b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)·(3e1＋4e2)＝3|e1|2－2e1·e2－8|e1|2
又∵〈e1，e2〉＝，|e1|＝1，|e2|＝1，
∴b1·b2＝3－2cos－8＝3－1－8＝－6.
(理)(2011·江西理，11)已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．
[答案]
[解析](a＋2b)·(a－b)＝－2，即|a|2＋a·b－2|b|2＝－2，22＋a·b－2×22＝－2，a·b＝2，
又cos〈a，b〉＝＝＝，〈a，b〉[0，π]，
所以a与b的夹角为.
三、解答题
13．(2011·海口调研)已知a＝(sinx，－cosx)，b＝(cosx，cosx)，函数f(x)＝a·b＋.
(1)求f(x)的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标；
(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的值域．
[解析](1)f(x)＝sinxcosx－cos2x＋
＝sin2x－(cos2x＋1)＋
＝cos2x－cos2x＝sin.
所以f(x)的最小正周期为π.
令sin＝0，得2x－＝kπ，
x＝π＋，kZ.
故所求对称中心的坐标为，(kZ)．
(2)0≤x≤，－≤2x－≤.
－≤sin≤1，
即f(x)的值域为.
14．已知锐角ABC三个内角为A，B，C，向量p＝(cosA＋sinA,2－2sinA)，向量q＝(cosA－sinA,1＋sinA)，且pq.
(1)求角A；
(2)设AC＝，sin2A＋sin2B＝sin2C，求ABC的面积．
[解析](1)p⊥q，
(cosA＋sinA)(cosA－sinA)＋(2－2sinA)(1＋sinA)＝0，
sin2A＝.而A为锐角，所以sinA＝A＝.
(2)由正弦定理得a2＋b2＝c2，
ABC是直角三角形，且C＝.
BC＝AC×tan＝×＝3.
S△ABC＝AC·BC＝××3＝.
15．(2011·山东青岛二模)设角A，B，C是ABC的三个内角，已知向量m＝(sinA＋sinC，sinB－sinA)，n＝(sinA－sinC，sinB)，且mn.
(1)求角C的大小；
(2)若向量s＝(0，－1)，t＝，试求|s＋t|的取值范围．
[解析](1)由题意得m·n＝(sin2A－sin2C)＋(sin2B－sinAsinB)＝0，即sin2C＝sin2A＋sin2B－sinAsinB，由正弦定理得c2＝a2＋b2－ab，再由余弦定理得cosC＝＝.
因为0
(2)因为s＋t＝＝(cosA，cosB)，
所以|s＋t|2＝cos2A＋cos2B＝cos2A＋cos2
＝＋＝cos2A－sin2A＋1
＝－sin＋1.
因为0
－
所以≤|s＋t|2<，故≤|s＋t|<.
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