| 将被开方数的整数部分从个位起向左每两位分为一组； 根据最左边一组，求得平方根的最高位数； 用第一组数减去平方根最高位数的平方，在其差右边写上第二组数； 用求得的最高位数的20倍试除上述余数，得出试商。再用最高位数的20倍与试商的和乘以试商，若所得的积不大于余数，试商就是平方根的第二位数，若大于，就减小试商再试。 用同样方法继续进行下去。 类似地，若要写出笔算开立方的法则，显然第1步中的“两”应改为“三”，第2、3步中的“平”应改为“立”，而第5步不变化。关键是第4步如何进行。 当天晚上，我想到完全平方公式是(a+b)2=a2+2ab+b2，完全立方公式是(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3。于是我猜想“20倍”应该与“2ab”有关。我先后想出了几种可能的方法，经检验，都是行不通的。那么我有必要分析笔算开平方的本质。 以两位数为例，= (10a+b)2=100a2+20ab+b2。这里a代表平方根的最高位数，b代表试商。事实上，100a2已在第3步里被减去了。那么剩下的就是20ab+b2，即(20a+b)·b，也就是“求得的最高位数的20倍与试商的和再乘以试商”。这样，如果被开方数是(10a+b)2，那么最后所得的余数恰好为零；如果被开方数比(10a+b)2大，就把10a+b看作a继续进行下去。同样的道理，这个法则对多位数、一位数和小数也适用。 类似地，(10a+b)3=1000a3+300a2b+30ab2+b3，其中1000a3在开立方法则第3 步里被减去了。那么我就应该把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积，求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式的左边，用第3 步所得余数减去它们的和。举几个简单的例子验证一下： (300=12×300×1 (600=12×300×2 (1200=22×300×1) 30=1×30×12 120=1×30×22 60=2×30×12 1=13) 8=23) 1=13) 为了进一步验证这种方法的正确性,我求出了的近似值,并与计算器的结果进行比照: (为了书写简便,我把10.000……后面的“0”省略了。) |
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