八年级数学竞赛讲座特殊三角形
一、知识要点：
等腰三角形的性质其及其推论；
等腰三角形的判定；
等腰三角形中主要辅助线的添法及其运用；
直角三角形的性质、判定；
二、典型例题：
1、已知等腰三角形中有一个角等于50°，求另外的两个角；
2、如果等腰三角形的一个外角等于100°，那么这个三角形的三个内角分别是多少？
3、三角形中有一条边是另一条边的2倍，并且有一个内角是30°，那么这个三角形是（）
A．一定是直角三角形B．一定是钝角三角形
C．可能是锐角三角形D．不可能是锐角三角形
4、在△ABC中，∠BAC=108°，AB=AC，点D在BC上，且△ABD是等腰三角形，求∠ADB的度数；
5、在△ABC中，AB=AC，点D在BA延长线上，且AD=AE，
点E在AC上，DE交BC于F，求证：DF⊥BC；
6、△ABC是等边三角形，D是△ABC外一点，且∠BDC=120°，
求证：BD+CD=AD；
7、在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，且AC=AB+BD，
求证：∠B=2∠C；
8、在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为AC的中点，
AE⊥BD于F交BD于E，求证：∠ADB=∠CDE；
9、△ABC中，AB=AC，D是形外一点，且∠ABD=60°，
∠ACD=60°，求证：BD+DC=AB；
10、已知等腰三角形ABC中，BC边上的高AD=BC，求∠BAC的度数？
11、正三角形ABD和正三角形CBD的边长均为a，现把它们拼合起来如图，E是AD上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF=a，求证：不论E、F怎样移动，△BEF总是正三角形；
12、底边为BC的等腰三角形ABC，被过一个顶点的一条直线分割成两个较小的三角形仍为等腰三角形，请你画出所有符合条件的△ABC的草图；
13、平面上取四点，使这四点两两之间的距离只有两个不同的数值，则这四点的取法可有多少种？（相似图形算同一种取法）
14、两个全等的等腰直角三角形，各有一个内接正方形，
如图（1）中的正方形面积为，那么图（2）中的正方
形的面积为多少？
15、如图：在△ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点，
求证：
作业题：1、如图：在△ABC中，高CH是边AB的一半，
且∠B=75°，求∠A的度数。
2、P为等边△ABC所在平面内的一点，要使△PAB，△PBC，△PCA均为等腰三角形，那么这样的P点共有几个？怎样画出这样的点？画出图来；
3、如图：△ABC是等腰三角形，D为底边上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，BG为AC边上的高，求证：DE+DF=BG；
4、在△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上的高AD=12，求△ABC的周长；
5、如图：已知AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，
且∠ABC=90°，求∠DAB的度数；
6、如图：正方形ABCD中，AB=，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求△AEF的面积；
7、将Rt△ABC斜边AB上满足的点P染上红色，问斜边上最少有几个红点？最多有几个红点？写出你的推理过程。
8、平面上有4个点A、B、C、D，已知AB=1，BC=9，CA=9，AD=7。求证：BD、CD中至少有一条线段的长度不是整数；
9、如图：把一张长方形的纸条ABCD沿对角线BD，将△BCD折成△BDF，DF交AB于E，若已知AE=2，∠BDC=30°，求纸条的长和宽。
10、小明要在半径为1m、圆心角为60°的扇形铁皮上剪取一块面积尽可能大的正方形铁皮，他在扇形铁皮上设计了如图的两种剪取方案。请你帮小明计算一下这两种方案剪取所得的正方形面积，并估算哪个正方形的面积较大？
11、在四边形ABCD中，∠A=∠B=60°，∠D=90°，AB=3厘米，AD=2厘米，求CD；
12、已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，O、、分别是△ABC、△ACD、△BCD角平分线的交点，求证：O⊥C；OC=
13、在△ABC中，∠A=20°，D是AB上一点，且AD=BC，求∠BDC？
提示：以AB为边作等边△ABE，连EB，EC，则
∠BEC=10°，△ADC≌△BCE，故∠ACD=10°，
∴∠BDC=30°
A
D
E
BC
F
AEB
DC
AD
F
BEC
D
A
BC
A
G
EF
BDC
C
AHB
A
BPC
（1）（2）
D
EF
AC
B
A
BD
C
A
FD
BEC
A
BDC
A
BC
D
D
AE
BFC
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