浙江省衢州市2014年中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2014?丽水）在数，1，﹣3，0中，最大的数是（）
A． B． 1 C． ﹣3 D． 0
考点： 有理数大小比较．.
分析： 根据正数＞0＞负数，几个正数比较大小时，绝对值越大的正数越大解答即可．
解答： 解：根据正数＞0＞负数，几个正数比较大小时，绝对值越大的正数越大解答即可．
可得1＞＞0＞﹣3，
所以在，1，﹣3，0中，最大的数是1．
故选：B．
点评： 此题主要考查了正、负数、0及正数之间的大小比较．正数＞0＞负数，几个正数比较大小时，绝对值越大的正数越大．
2．（3分）（2014?丽水）下列四个几何体中，主视图为圆的是（）
A． B． C． D．
考点： 简单几何体的三视图．.
分析： 先分析出四种几何体的主视图的形状，即可得出主视图为圆的几何体．
解答： 解：A、圆柱的主视图是长方形，故本选项错误；
B、圆锥的主视图是三角形，故本选项错误；
C、球的主视图是圆，故本选项正确；
D、正方体的主视图是正方形，故本选项错误；
故选C．
点评： 本题考查了利用几何体判断三视图，培养了学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
3．（3分）（2014?丽水）下列式子运算正确的是（）
A． a8÷a2=a6 B． a2+a3=a5 C． （a+1）2=a2+1 D． 3a2﹣2a2=1
考点： 同底数幂的除法；合并同类项；完全平方公式．.
分析： 根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；完全平方公式（a+1）2=a2+2a+1，对各选项计算后利用排除法求解．
解答： 解：A、a8÷a2=a6同底数幂的除法，底数不变指数相减；故本选项正确，
B、a2+a3=a5不是同类项不能合并，故本选项错误；
C、（a+1）2=a2+1完全平方公式漏了2a，故本选项错误；
D、3a2﹣2a2=1合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；故本选项错误；
故选：A．
点评： 本题考查同底数幂的除法，合并同类项，完全平方公式，一定要记准法则才能做题．
4．（3分）（2014?丽水）如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1=60°，则∠2的度数是（）
A． 50° B． 45° C． 35° D． 30°
考点： 平行线的性质；直角三角形的性质．.
分析： 根据平行线的性质，可得∠3与∠1的关系，根据两直线垂直，可得所成的角是90°，根据角的和差，可得答案．
解答： 解：如图，
∵直线a∥b，
∴∠3=∠1=60°．
∵AC⊥AB，
∴∠3+∠2=90°，
∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣60°=30°，
故选：D．
点评： 本题考查了平行线的性质，利用了平行线的性质，垂线的性质，角的和差．
5．（3分）（2014?丽水）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC=3m，则坡面AB的长度是（）
A． 9m B． 6m C． m D． m
考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．.
分析： 在Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．
解答： 解：在Rt△ABC中，BC=5米，tanA=1：；
∴AC=BC÷tanA=3米，
∴AB==6米．
故选B．
点评： 此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．
6．（3分）（2014?丽水）某地区5月3日至5月9日这7天的日气温最高值统计图如图所示．从统计图看，该地区这7天日气温最高值的众数与中位数分别是（）
A． 23，25 B． 24，23 C． 23，23 D． 23，24
考点： 众数；条形统计图；中位数．.
分析： 利用众数、中位数的定义结合图形求解即可．
解答： 解：观察条形图可得，23出现的次数最多，
故众数是23°C；
气温从低到高的第4个数据为23°C，
故中位数是23℃；
故选C．
点评： 此题考查了条形统计图，考查读条形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力．也考查了中位数和众数的概念．
7．（3分）（2014?丽水）如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是（）
A． 矩形 B． 菱形 C． 正方形 D． 等腰梯形
考点： 菱形的判定；作图—基本作图．.
分析： 根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形．
解答： 解：∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，
∴AC=AD=BD=BC，
∴四边形ADBC一定是菱形，
故选：B．
点评： 此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及菱形的判定，得出四边形四边关系是解决问题的关键．
8．（3分）（2014?丽水）在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x2+4x﹣3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是（）
A． （﹣3，﹣6） B． （1，﹣4） C． （1，﹣6） D． （﹣3，﹣4）
考点： 二次函数图象与几何变换．.
分析： 根据函数图象向右平移减，向下平移减，可得目标函数图象，再根据顶点坐标公式，可得答案．
解答： 解：函数y=2x2+4x﹣3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象y=2（x﹣2）2+4（x﹣2）﹣3﹣1，
即y=2（x﹣1）2﹣6，
顶点坐标是（1，﹣6），
故选：C．
点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了图象的平移规律：上加下减，左加右减．
9．（3分）（2014?丽水）如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD．已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的弦心距等于（）
A． B． C． 4 D． 3
考点： 圆周角定理；勾股定理；旋转的性质．.
专题： 计算题．
分析： 作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，再证明△ADE≌△ABF，得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，
易得AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=BF=3．
解答： 解：作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，如图，
∵∠BAC+∠EAD=180°，
而∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠DAE=∠BAF，
在△ADE和△ABF中
，
∴△ADE≌△ABF，
∴DE=BF=6，
∵AH⊥BC，
∴CH=BH，
而CA=AF，
∴AH为△CBF的中位线，
∴AH=BF=3．
故选D．
点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质．
10．（3分）（2014?丽水）如图，AB=4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE=DB，作EF⊥DE并截取EF=DE，连结AF并延长交射线BM于点C．设BE=x，BC=y，则y关于x的函数解析式是（）
A． y=﹣ B． y=﹣ C． y=﹣ D． y=﹣
考点： 全等三角形的判定与性质；函数关系式；相似三角形的判定与性质．.
分析： 作FG⊥BC于G，依据已知条件求得△DBE≌△EGF，得出FG=BE=x，EG=DB=2x，然后根据平行线的性质即可求得．
解答：
解：作FG⊥BC于G，
∵∠DEB+∠FEC=90°，∠DEB+∠DBE=90°；
∴∠BDE=∠FEG，
在△DBE与△EGF中
∴△DBE≌△EGF，
∴EG=DB，FG=BE=x，
∴EG=DB=2BE=2x，
∴GC=y﹣3x，
∵FG⊥BC，AB⊥BC，
∴FG∥AB，
CG：BC=FG：AB，
即=，
∴y=﹣．
故应选A．
点评： 本题考查了三角形全等的判定和性质，以及平行线的性质，辅助线的做法是解题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）（2014?丽水）若分式有意义，则实数x的取值范围是x≠5．
考点： 分式有意义的条件．.
专题： 计算题．
分析： 由于分式的分母不能为0，x﹣5在分母上，因此x﹣5≠0，解得x．
解答： 解：∵分式有意义，
∴x﹣5≠0，即x≠5．
故答案为x≠5．
点评： 本题主要考查分式有意义的条件：分式有意义，分母不能为0．
12．（4分）（2014?丽水）写出图象经过点（﹣1，1）的一个函数的解析式是y=﹣x（答案不唯一）．
考点： 反比例函数的性质；一次函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．.
专题： 开放型．
分析： 此题只需根据一次函数的形式或反比例函数的形式或二次函数的形式等写出适合（﹣1，1）的解析式即可．
解答： 解：将点（1，1）代入一次函数或反比例函数的形式或二次函数得：
y=﹣x，y=﹣，y=﹣x2等．
故答案为：y=﹣x（答案不唯一）．
点评： 此题考查了反比例函数、一次函数的性质，为开放性试题．写的时候，只需根据一次函数的形式，或反比例函数的形式或二次函数的形式等写出适合的解析式．
13．（4分）（2014?丽水）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，若AB=6，CD=4，则△ABC的周长是20．
考点： 等腰三角形的性质．.
分析： 运用等腰三角形的性质，可得BD=CD，再求出△ABC的周长．
解答： 解：∵在△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵AD⊥BC于点D
∴BD=CD
∵AB=6，CD=4
∴△ABC的周长=6+4+4+6=20．
故答案为：20．
点评： 本题主要考查等腰三角形的性质，一定要熟练掌握等腰三角形中的三线合一．
14．（4分）（2014?丽水）有一组数据如下：3，a，4，6，7．它们的平均数是5，那么这组数据的方差为2．
考点： 方差；算术平均数．.
专题： 压轴题．
分析： 先由平均数的公式计算出a的值，再根据方差的公式计算．一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，=（x1+x2+…+xn），则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．
解答： 解：a=5×5﹣3﹣4﹣6﹣7=5，
s2=[（3﹣5）2+（5﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2]=2．
故填2．
点评： 本题考查了方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，=（x1+x2+…+xn），则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
15．（4分）（2014?丽水）如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．.
专题： 几何图形问题．
分析： 设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m．根据长方形面积公式即可列方程（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．
解答： 解：设道路的宽为xm，由题意得：
（30﹣2x）（20﹣x）=6×78，
故答案为：（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．
点评： 此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．
16．（4分）（2014?丽水）如图，点E，F在函数y=（x＞0）的图象上，直线EF分别与x轴、y轴交于点A，B，且BE：BF=1：m．过点E作EP⊥y轴于P，已知△OEP的面积为1，则k值是2，△OEF的面积是（用含m的式子表示）
考点： 反比例函数综合题．.
专题： 综合题．
分析： 作EC⊥x轴于C，FD⊥x轴于D，FH⊥y轴于H，根据反比例函数的比例系数的几何意义由△OEP的面积为1易得k=2，则反比例函数解析式为y=，再证明△BPE∽△BHF，利用相似比可得HF=mPE，根据反比例函数图象上点的坐标特征，设E点坐标为（t，），则F点的坐标为（tm，），由于S△OEF+S△OFD=S△OEC+S梯形ECDF，S△OFD=S△OEC=1，所以S△OEF=S梯形ECDF，然后根据梯形面积公式计算．
解答： 解：作EC⊥x轴于C，FD⊥x轴于D，FH⊥y轴于H，如图，
∵△OEP的面积为1，
∴|k|=1，
而k＞0，
∴k=2，
∴反比例函数解析式为y=，
∵EP⊥y轴，FH⊥y轴，
∴EP∥FH，
∴△BPE∽△BHF，
∴==，即HF=mPE，
设E点坐标为（t，），则F点的坐标为（tm，），
∵S△OEF+S△OFD=S△OEC+S梯形ECDF，
而S△OFD=S△OEC=1，
∴S△OEF=S梯形ECDF=（+）（tm﹣t）
=（+1）（m﹣1）
=．
故答案为2，．
点评： 本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的比例系数的几何意义；会利用相似比确定线段之间的关系．
三、解答题（本题有6小题，共66分）
17．（6分）（2014?丽水）计算：（﹣）2+|﹣4|×2﹣1﹣（﹣1）0．
考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．.
分析： 本题涉及零指数幂、负整指数幂、绝对值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答： 解：原式=3+4×﹣1
=4．
点评： 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
18．（6分）（2014?丽水）解一元一次不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．.
分析： 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
解答： 解：由①得，x＞﹣1，由②得，x≤4，
故此不等式组的解集为：﹣1＜x≤4．
在数轴上表示为：
点评： 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（6分）（2014?丽水）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°得到△AB′C′
（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；
（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．
考点： 作图-旋转变换；扇形面积的计算．.
分析： （1）根据旋转的性质得出对应点旋转后位置进而得出答案；
（2）利用勾股定理得出AB=5，再利用扇形面积公式求出即可．
解答： 解：（1）如图所示：△AB′C′即为所求；
（2）∵AB==5，
∴线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积为：=π．
点评： 此题主要考查了扇形面积公式以及图形的旋转变换等知识，熟练掌握扇形面积公式是解题关键．
20．（8分）（2014?丽水）学了统计知识后，小刚就本班同学上学“喜欢的出行方式”进行了一次调查．图（1）和图（2）是他根据采集的数据绘制的两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答以下问题：
（1）补全条形统计图，并计算出“骑车”部分所对应的圆心角的度数；
（2）如果全年级共600名同学，请估算全年级步行上学的学生人数；
（3）若由3名“喜欢乘车”的学生，1名“喜欢步行”的学生，1名“喜欢骑车”的学生组队参加一项活动，欲从中选出2人担任组长（不分正副），列出所有可能的情况，并求出2人都是“喜欢乘车”的学生的概率．
考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；列表法与树状图法．.
分析： （1）从两图中可以看出乘车的有25人，占了50%，所以共有学生50人；总人数减乘车的和骑车的就是步行的，根据数据画直方图就可；要求扇形的度数就要先求出骑车的占的百分比，然后再求度数；
（2）用这50人作为样本去估计该年级的步行人数．
（3）5人每2人担任班长，有10种情况，2人都是“喜欢乘车”的学生的情况有3种，然后根据概率公式即可求得．
解答： 解：（1）25×2=50人；
50﹣25﹣15=10人；
如图所示条形图，
圆心角度数=×360°=108°；
（2）估计该年级步行人数=600×20%=120人；
（3）设3名“喜欢乘车”的学生表示为A、B、C，1名“喜欢步行”的学生表示为D，1名“喜欢骑车”的学生表示为E，
则有AB、AC、BC、AD、BD、CD、AE、BE、CE、DE10种等可能的情况，
2人都是“喜欢乘车”的学生的概率P=．
点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（8分）（2014?丽水）为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：
污水处理设备 A型 B型
价格（万元/台） m m﹣3
月处理污水量（吨/台） 220 180
（1）求m的值；
（2）由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数．
考点： 分式方程的应用；一元一次不等式的应用．.
分析： （1）根据90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，列出m的分式方程，求出m的值即可；
（2）设买A型污水处理设备x台，B型则（10﹣x）台，根据题意列出x的一元一次不等式，求出x的取值范围，进而得出方案的个数，并求出最大值．
解答： 解：（1）由90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，
即可得：，
解得m=18，
经检验m=18是原方程的解，即m=18；
（2）设买A型污水处理设备x台，B型则（10﹣x）台，
根据题意得：18x+15（10﹣x）≤165，
解得x≤5，由于x是整数，则有6种方案，
当x=0时，y=10，月处理污水量为1800吨，
当x=1时，y=9，月处理污水量为220+180×9=1840吨，
当x=2时，y=8，月处理污水量为220×2+180×8=1880吨，
当x=3时，y=7，月处理污水量为220×3+180×7=1920吨，
当x=4时，y=6，月处理污水量为220×4+180×6=1960吨，
当x=5时，y=5，月处理污水量为220×5+180×5=2000吨，
答：有6种购买方案，每月最多处理污水量的吨数为2000吨．
点评： 本题考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键，此题难度不大，特别是几种方案要分析周全．
22．（10分）（2014?丽水）如图，已知等边△ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求FG的长；
（3）求tan∠FGD的值．
考点： 切线的判定；等边三角形的性质；解直角三角形．.
分析： （1）连结OD，根据等边三角形的性质得∠C=∠A=∠B=60°，而OD=OC，所以∠ODB=60°=∠C，于是可判断OD∥AC，又DF⊥AC，则OD⊥DF，根据切线的判定定理可得DF是⊙O的切线；
（2）先证明OD为△ABC的中位线，得到BD=CD=6．在Rt△CDF中，由∠C=60°，得∠CDF=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得CF=CD=3，所以AF=AC﹣CF=9，然后在Rt△AFG中，根据正弦的定义计算FG的长；
（3）过D作DH⊥AB于H，由垂直于同一直线的两条直线互相平行得出FG∥DH，根据平行线的性质可得∠FGD=∠GDH．解Rt△BDH，得BH=BD=3，DH=BH=3．解Rt△AFG，得AG=AF=，则GH=AB﹣AG﹣BH=，于是根据正切函数的定义得到tan∠GDH==，则tan∠FGD可求．
解答： （1）证明：连结OD，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=∠A=∠B=60°，
而OD=OB，
∴△ODB是等边三角形，∠ODB=60°，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵OD∥AC，点O为AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴BD=CD=6．
在Rt△CDF中，∠C=60°，
∴∠CDF=30°，
∴CF=CD=3，
∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9，
在Rt△AFG中，∵∠A=60°，
∴FG=AF×sinA=9×=；
（3）解：过D作DH⊥AB于H．
∵FG⊥AB，DH⊥AB，
∴FG∥DH，
∴∠FGD=∠GDH．
在Rt△BDH中，∠B=60°，
∴∠BDH=30°，
∴BH=BD=3，DH=BH=3．
在Rt△AFG中，∵∠AFG=30°，
∴AG=AF=，
∵GH=AB﹣AG﹣BH=12﹣﹣3=，
∴tan∠GDH===，
∴tan∠FGD=tan∠GDH=．
点评： 本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等边三角形的性质以及解直角三角形等知识．
23．（10分）（2014?丽水）提出问题：
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE=DH；
类比探究：
（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；
综合运用：
（3）在（2）问条件下，HF∥GE，如图3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴影部分的面积．
考点： 四边形综合题．.
分析： （1）由正方形的性质得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．所以∠HAO+∠OAD=90°，又知∠ADO+∠OAD=90°，所以∠HAO=∠ADO，于是△ABE≌△DAH可得AE=DH；
（2）EF=GH．将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF，将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH．根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH；
（3）易得△AHF∽△CGE，所以，由EC=2得AF=1，过F作FP⊥BC于P，根据勾股定理得EF=，因为FH∥EG，所以根据（2）①知EF=GH，所以FO=HO，再求得三角形FOH与三角形EOG的面积相加即可．
解答： 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．
∴∠HAO+∠OAD=90°．
∵AE⊥DH，
∴∠ADO+∠OAD=90°．
∴∠HAO=∠ADO．
∴△ABE≌△DAH（ASA），
∴AE=DH．
（2）EF=GH．
将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF．
将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH．
∵EF⊥GH，
∴AM⊥DN，
根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH；
（3）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD
∴∠AHO=∠CGO
∵FH∥EG
∴∠FHO=∠EGO
∴∠AHF=∠CGE
∴△AHF∽△CGE
∴
∵EC=2
∴AF=1
过F作FP⊥BC于P，
根据勾股定理得EF=，
∵FH∥EG，
∴
根据（2）①知EF=GH，
∴FO=HO．
∴，
，
∴阴影部分面积为．
点评： 本题考查了三角形的综合知识．用到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等综合性较强，难度较大．
24．（12分）（2014?丽水）如图，二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），对称轴是直线x=﹣，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D．在y轴上取一点C（0，2），直线AC交抛物线于点B，连结OA，OB，OD，BD．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求点B坐标和坐标平面内使△EOD∽△AOB的点E的坐标；
（3）设点F是BD的中点，点P是线段DO上的动点，问PD为何值时，将△BPF沿边PF翻折，使△BPF与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的？
考点： 二次函数综合题．.
分析： （1）运用待定系数法和对称轴的关系式求出a、b的即可；
（2）由待定系数法求出直线AC的解析式，由抛物线的解析式构成方程组就可以求出B点的坐标，由相似三角形的性质及旋转的性质就可以得出E的坐标；
（3）分情况讨论当点B落在FD的左下方，点B，D重合，点B落在OD的右上方，由三角形的面积公式和菱形的性质的运用就可以求出结论．
解答： 解：（1）∵y=ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），且对称轴是直线x=﹣，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为y=x2+3x；
（2）如图1，
∵点A（1，4），线段AD平行于x轴，
∴D的纵坐标为4，
∴4=x2+3x，
∴x1=﹣4，x2=1，
∴D（﹣4，4）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，由题意，得
，
解得：，
∴y=2x+2；
当2x+2=x2+3x时，
解得：x1=﹣2，x2=1（舍去）．
∴y=﹣2．
∴B（﹣2，﹣2）．
∴DO=4，BO=2，BD=2，OA=．
∴DO2=32，BO2=8，BD2=40，
∴BO2+BO2=BD2，
∴△BDO为直角三角形．
∵△EOD∽△AOB，
∴∠EOD=∠AOB，，
∴∠EOD﹣∠AOB=∠AOB﹣∠AOB，
∴∠BOD=∠AOE=90°．
即把△AOB绕着O点顺时针旋转90°，OB落在OD上B′，OA落在OE上A1
∴A1（4，﹣1），
∴E（8，﹣2）．
作△AOB关于x轴的对称图形，所得点E的坐标为（2，﹣8）．
∴当点E的坐标是（8，﹣2）或（2，﹣8）时，△EOD∽△AOB；
（3）由（2）知DO=4，BO=2，BD=2，∠BOD=90°．
若翻折后，点B落在FD的左下方，如图2．
S△HFP=S△BDP=S△DPF=S△B′PF=S△DHP=S△B′HF，
∴DH=HF，B′H=PH，
∴在平行四边形B′FPD中，PD=B′F=BF=BD=；
若翻折后，点B，D重合，S△HFP=S△BDP，不合题意，舍去．
若翻折后，点B落在OD的右上方，如图3，
S△HFP=S△BDP=S△BPF=S△DPF=S△B′PF=S△DHF=S△B′HP
∴B′P=BP，B′F=BF．DH=HP，B′H=HF，
∴四边形DFPB′是平行四边形，
∴B′P=DF=BF，
∴B′P=BP=B′F=BF，
∴四边形B′FPD是菱形，
∴FD=B′P=BP=BD=，根据勾股定理，得
OP2+OB2=BP2，
∴（4﹣PD）2+（2）2=（）2，
PD=3，PD=5＞4（舍去），
综上所述，PD=或PD=3时，将△BPF沿边PF翻折，使△BPF与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的．
点评： 本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，相似三角形的性质的运用，菱形的判定及性质的运用，旋转的性质的运用，分类讨论思想的运用．等底、等高的三角形的面积的运用，解答时运用三角形的面积关系求解是关键．
|
|
