线性插值法
线性插值法(linearinterpolation)
目录
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1什么是线性插值法[1]
2如何进行线性插值
3线性插值近似法
4线性插值法的计算实例[2]
5参考文献
什么是线性插值法[1]
线性插值法是指使用连接两个已知量的直线来确定在这两个已知量之间的一个未知量的值的方法。
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如何进行线性插值
假设我们已知坐标(x0,y0)与(x1,y1),要得到[x0,x1]区间内某一位置x在直线上的值。根据图中所示，我们假设方程两边的值为α，那么这个值就是插值系数—从x0到x的距离与从x0到x1距离的比值。由于x值已知，所以可以从公式得到α的值
同样，
这样，在代数上就可以表示成为：
y=(1?α)y0+αy1
或者，
y=y0+α(y1?y0)
这样通过α就可以直接得到y。实际上，即使x不在x0到x1之间并且α也不是介于0到1之间，这个公式也是成立的。在这种情况下，这种方法叫作线性外插—参见外插值。
已知y求x的过程与以上过程相同，只是x与y要进行交换。
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线性插值近似法
线性插值经常用于已知函数f在两点的值要近似获得其它点数值的方法，这种近似方法的误线定义为
RT=f(x)?ρ(x)
其中ρ表示上面定义的线性插值多项式
根据罗尔定理，我们可以证明：如果f有两个连续导数，那么误差范围是
正如所看到的，函数上两点之间的近似随着所近似的函数的二阶导数的增大而逐渐变差。从直观上来看也是这样：函数的曲率越大，简单线性插值近似的误差也越大。
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线性插值法的计算实例[2]
线性插值法是认为现象的变化发展是线性的、均匀的，所以可利用两点式的直线方程式进行线性插值。
两点式的直线方程式为：
即
式中X0,Y0,X1,Y1——已知的统计数据；
X——X0,X1之间的任何数据；
Y——与X对应的插值数据。
例某地区居民货币收入和消费支出情况如表1所示。试推算该地区居民收入为19．5亿元时，其相应的消费支出是多少?
表1居民货币收入和消费支出资料(单位：亿元)
顺序 货币收入(x) 消费支出(y) 0 18．2 15．8 1 19．8 17．2 解
=16.9
所以，当该地区居民收入是19．5亿元时，其消费支出是16．9亿元。
由于线性插值法只利用两点的对应值宋推算两点之间的对应值，而两点对应值本身往往受到各种偶然因素的影响，所以线性插值结果可能误差较大。
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参考文献
↑道明诚教育CFA考试培训中心编,余润主编.CFA考试核心词汇手册.中信出版社,2011.03.
↑于磊赵君明编著.统计学.同济大学出版社,2003年09月第2版.
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页面分类:应用数学
插入法的拉丁文原意是“内部插入”,即在已知的函数表中,插入一些表中没有列出的、所需要的中间值。若函数f(x)在自变数x一些离散值所对应的函数值为已知,则可以作一个适当的特定函数p(x),使得p(x)在这些离散值所取的函数值,就是f(x)的已知值。从而可以用p(x)来估计f(x)在这些离散值之间的自变数所对应的函数值,这种方法称为插值法。如果只需要求出某一个x所对应的函数值,可以用“图解内插”。它利用实验数据提供要画的简单曲线的形状,然后调整它,使得尽量靠近这些点。如果还要求出因变数p(x)的表达式,这就要用“表格内插”。通常把近似函数p(x)取为多项式(p(x)称为插值多项式),最简单的是取p(x)为一次式,即线性插值法。在表格内插时,使用差分法或待定系数法(此时可以利用拉格朗日公式)。在数学、天文学中,插值法都有广泛的应用。
内插值
-来源：简明数学词典
[参]内插法
-来源：投资大辞典
设函数y=f(x)在区间〔a,b〕上有定义,且知函数值yk＝f(xk)(k=0,1,…,n)。如果存在一个简单函数P(x),使在点xk上的函数值恰好等于yk,即P(xk)=yk(k=0,1,…,n),则称函数P(x)为f(x)的插值函数,xk(k=0,1,…,n)为插值节点,〔a,b〕为插值区间。求插值函数P(x)的方法,称为插值法。若P(x)是代数多项式,就称P(x)是插值多项式,相应的插值法称为多项式插值;若P(x)是分段函数,就称P(x)是分段插值;若P(x)是三角多项式,就称P(x)是三角插值。从几何上看,插值法就是求曲线y=P(x),使其通过给定的(n+1)个点(xk,yk)(k=0,1,…,n),并用P(x)近似已知函数f(x)。
-来源：人口科学辞典
数值逼近的基本方法之一.是由已知的离散数据补插出连续函数的方法.它利用给定的一批离散样点,做出通过这些样点的、连续的、有一定光滑性的曲线(或曲面).插值法的实际意义在于,按某种规则构造一个相对简单的函数P(x)作为复杂函数f(x)的近似.用P(x)代替f(x),进行数值计算、解析表达、图形显示等.常用的插值方法,按P(x)所属的函数类不同,有多项式插值(代数插值)、三角插值、指数插值、有理插值、样条插值等.
-来源：数学辞海·第四卷
在离散数据的基础上补插出连续函数的方法。是计算数学中最基本和最常用的方法,函数逼近亦常用插值法进行,利用插值法可通过函数在有限个点处的取值状况,估算出该函数在别处的值。最早采用插值法的是中国古代数学家。《周髀算经》(公元前1世纪)中就有一次插值法的记载;《九章算术》中的“盈不足术”也是一种独特的一次插值法;公元6世纪,刘焯在《皇极历》的编算中采用了等间距二次插值法;公元8世纪,一行在《大衍历》的编算中采用了不等间距二次插值法;后来,郭守敬在《授时历》的编算(1280)中采用了三次插值法;朱世杰在《四元玉鉴》(1303)中给出了四次插值公式。17世纪,牛顿和格雷戈里建立了等距结点上的一般插值公式;18世纪,拉格朗日给出了更一般的非等距结点上的插值公式。这些都是多项式插值法。后来,在此基础上发展出多种插值方法。如埃尔米特插值(插值条件带微商的插值方法),分段插值,样条插值,三角插值,有理插值和多元插值等。现在,插值法是处理观测数据、制函数表等常用的方法,又是导出其他许多数值方法(如求数值积分、求非线性方程组的数值解、求微分方程数值解等)的依据,因此在计算数学中占有重要的地位。
-来源：数学史辞典
又称“内插法”。利用函数f(x)在某区间中若干点的函数值,作出适当的特定函数,在这些点上取已知值,在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f(x)的近似值,这方法称为插值法。如果这特定函数是多项式,就称它为插值多项式。
-来源：中国百科大辞典
内插法interpolation
-来源：海峡两岸科技术语对照词典
亦称“内插法”。求函数近似值的一种常用方法。若只知函数f(x)在若干点上的函数值,则可作适当的特定函数,使它在这些点上取已知值,而在其他各点上的函数值作为函数f(x)在相应点上的函数近似值,这种方法称为“插值法”。如这特定函数是一多项式,则称为“插值多项式”或“内插多项式”。
-来源：热工技术词典
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