什么是“ABC”猜想？

“ABC”是我们少时学习英语的入门级知识，在英语中代表着字母表，类似中国的拼音，然而可不要因此小看它，数学上有个同名的概念——“ABC”猜想，保证你看了不是似曾相识的轻松，而是不知所云的头疼。那么，什么是“ABC”猜想呢？

 

　　一言以概之，这是一个有关素数间关系的问题，素数，大家都很熟悉，除了1和它本身以外没有别的因数，我们知道，很多正整数可以分解为其他数的乘积，比如9=3×3，6=2×3等等，这些是合数，但是像11、13、17、19等这些数就做不到上述分解，就是素数。若是说两个数互素，指的就是两个整数在素数分解中没有公共的素数因子，比如6=2×3和55=5×11，则称6和55互素。

　　对于数论来说，素数是核心概念，“梅森素数”、“孪生素数”等都有着各自的性质和应用，当然这是后话，继续回到”ABC”猜想上来，定义了合数、素数，相信大家对“数学中所有大于1的正整数都可以分解为素数的乘积”没有异议：合数自然能分解，素数可以看做自己的分解(1乘以它本身)。

 

　　这里还需要一个概念——无平方因子数，这对于我们来说比较陌生，所谓的无平方因子数就是一个不能被任何整数的平方(除了1以外)整除的数。举个例子，15和19就是无平方因子数，而16和45却不是，它们分别能被16(即4²)和9(即3²)整除。

 

　　当一个数n不是无平方因子时，我们作如下处理，提取其“无平方因子”——rad(n)，即用n的素数因子相乘得到最大无平方因子数，比如rad(45)=3×5=15。

 

　　至此，准备工作结束，接下来进入正题：

 

　　既然名曰“ABC”猜想，那么肯定有3个整数A、B、C，先考虑它们三者的乘积，记作ABC，再提取个乘积的无平方因子部分rad(ABC)，此时我们选取A、B、C中较大的一个数值和rad(ABC)比较大小，举个例子，假如A=16，B=17，因此C=33，rad(ABC)=2244，2244远远大于33，再找一些其他的数字来，你会发现出现了相同的结果，这是规律吗？或者就是定理，这么想你可就错了，反例不仅存在而且有无穷多个，比如令A=3，B=125，C=128，rad(ABC)=30<125<128,这时的结果和前例恰恰相反。

 

　　看到这里，是不是有点不知所云，研究这样一个正反都成立的式子，数学家这是想做什么？不要着急，“ABC”猜想现身：数学家们猜测，如果把rad(ABC)放大一下，用它的一个大于1的r次幂来替换(r只需要大于1，哪怕只大一点点，1.00000...0001都行)，这时，会不会发生点什么变化，即使不一定会大于A、B、C三个数字里面最大的那个，但是会把反例的数目控制为有限多个。

 

　　“ABC”猜想对于数论研究者来说意义重大，但是对我们来说有点难以理解，就像跟一个17世纪的普通人讲解牛顿惯性定律一样，这一猜想是由大卫·麦瑟尔和约瑟夫·厄斯特勒在1985年分别独立提出的。尽管没有费马大定理知名度高，但它有自己的独特作用，如果ABC猜想得到证实，将一举解决众多著名的丢番图问题，这其中就包括费马大定理”，美国哥伦比亚大学数学家多利安·戈德费尔德如是说。