傅里叶变换 | 小组 | 果壳网科技有意思

土豆地蛋 2014-09-20

展开全文

让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶是电子、热力、数学人的噩梦，他和拉格朗日（he）、拉普拉斯（hehe）是一个时期的著名学者，因对传热理论的贡献当选巴黎科学院院士，2013年的美国大学生数学建模比赛的A题核心思想就是傅里叶定律，楼主深深地被绊了一跤。

电子类学科中广泛运用的则是傅里叶变换，傅里叶变换传奇就传奇在它解决了两个物理量的隔阂，任何连续测量的时序或信号，都可以在傅里叶变换的基础上表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。

根据原信号的不同，可以将傅里叶变换分为

非周期连续信号傅里叶变换，连续傅里叶变换——Fourier Transform
周期性连续信号傅里叶变换，傅里叶级数——Fourier Series
非周期离散信号离散时域傅里叶变换，离散时间傅里叶变换——Discrete Time Fourier Transform
周期性离散信号离散时域傅里叶变换，离散傅里叶变换——Discrete Fourier Transform

傅里叶变换公式

傅里叶变换性质

(线性性质是将任意信号分解为不同频率的正弦信号的理论基础，有了这个性质，才能将不同频率的信号进行线性叠加而不影响变换后的信号的属性。)

两函数之和的傅里叶变换等于各变换之和，数学描述：
若函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的傅里叶变换 $F(f)$ 和 $F(g)$ 都存在， $\alpha$ 和 $\beta$ 为任意常系数，则 $F(\alpha f+\beta g)=\alpha F(f)+ \beta F(g)$

若函数 $f(x)$ 存在傅里叶变换，则对任意实数 $w_0$ ，函数 $f(x)e^{jw_0x}$ 也存在傅里叶变换，且有 $\mathcal {F}$ 。式中花体
是傅里叶变换的作用算子，平体 $F$ 表示变换的结果（复函数）， $e$ 为自然对数的底， $j$ 为虚数单位 $\sqrt {-1}$ 。

若函数 $f(x)$ 当 $|x|→\infty$ 时的极限为0，而其导函数 $f'(x)$ 的傅里叶变换存在，则有 $\mathcal {F}$ ，即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 $jw$ 。更一般地，若 $f(\pm\infty)=f'(\pm \infty)=...f^{k-1}(\pm\infty)$ ，且存在 $\mathcal {F}$ ，则 $\mathcal {F}$ ，即 $k$ 阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 $(jw)^{k}$ 。

若函数 $f(x)$ 及 $g(x)$ 都在 $(-\infty,+\infty)$ 上绝对可积，则卷积函数 $f*g=\int_{-\infty}^{+infty}f(x-\xi)g(\xi)d\xi$ （或者 $f*g=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\xi)g(x-\xi)d\xi$ ）的傅里叶变换存在，且 $\mathcal {F}$ 。卷积性质的逆形式为 $\mathcal {F}^{-1}$ ，即两个函数卷积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的乘积乘以 $2\pi$ 。

例子（来自维基百科：卷积）

图示两个方形脉冲波的卷积。其中函数 " $g$ " 首先对 $\tau =0$ 反射，接着平移 " $t$ " ，成为 $g(t-\tau)$ 。那么重叠部份的面积就相当于 " $t$ " 处的卷积，其中横坐标代表待积变量 $\tau$ 以及新函数 $f*g$ 的自变量 " $t$ " 。

图示方形脉冲波和指数衰退的脉冲波的卷积（后者可能出现于 RC电路中），同样地重叠部份面积就相当于 " $t$ " 处的卷积。注意到因为 " $g$ " 是对称的，所以在这两张图中，反射并不会改变它的形状。

若函数 $f(x)$ 可积且平方可积，则 $\int_{-\infty}^{+\infty}f^{2}(x)dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|F(w)|^{2}dw$ 。其中 $F(w)$ 是 $f(x)$ 的傅里叶变换。
更一般化而言，若函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 皆平方可积，则 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)g^*(x)dx= \frac {1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}F(w)G^*(w)dw$ 。其中 $F(w)$ 和 $G(w)$ 分别是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的傅里叶变换, $*$ 代表复共轭。

存在意义