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主讲人：钟炜（四川省自贡市荣县教研室书记） 时间：2014年10月10日
编者按:“初中数学讲座”分为若干个专题,每个专题分为几个版块。本文《初中数学例题教学策略与习题课教学研究》分为八个版块：一是初中数学例题的教学策略;二是初中数学课堂例题教学可采取的一些策略;三是对初中数学例题教学的一些看法;四是浅析新课程理念下初中数学习题课教学;五是浅谈初中数学习题课教学的重难点;六是上好初中数学习题课的教学策略;七是初中数学习题课教学中的做法与困惑;八是初中数学习题课教学的研究。
版块一:初中数学例题的教学策略 来源:百度文库 日期:2011年9月20日 例题教学是课堂教学中的一个重要环节，俗语说：“鱼儿离不开水”，同样数学离不开例题教学。切实加强各类型例题的教学，对于学生理解和掌握基础知识，培养能力，发展智力，训练思维是至关重要的。 一、“概念型”例题，要突出本质属性 概念是客观事物的本质属性在人们头脑中的反映，数学概念的教学既是数学教学的重要环节，又是数学学习的核心，是学生思考问题、推理证明的依据。要建立一个新概念，教材中往往总要先举几个典型的例题，然后经过科学的抽象总结建立概念。 例如，初一学生初次接触正负数的概念，教学时我们可先向学生提供一些相反意义的例题(如“气温的零上、零下”，“仓库的进出”，“存款、贷款”，“向东、向西”等。)，然后抓住这些实例的本质特征真正引出正负数的概念，这样学生就从一个感性认识自然地过渡到理性认识，使他们既容易接受又容易理解了。因此，对于建立概念的例题，我们必须抓住例子的实质特征，突出概念的本质，讲清概念的形式，抽象出数学概念。 二、“基础型”例题，要紧扣定理、法则 要学好数学，只有在学好基础知识的前提下，才能切实地运用它来解决其他有关问题，但学生对新学的基础知识印象不深，理解不透，运用不灵，这是学生普遍存在的现象，那么教师就必须通过一些基本例题的教学，切实加强基础知识的理解和巩固。 例如，当讲过定理(几何第二册P227)：“平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似”后，我们接下去可补充举出一个典型例题，从而使学生对这个定理得到理解和巩固。 因此，在基础知识的教学中，我们教师在讲清基础知识的同时，必须设计若干巩固基础知识的例题(如判断题、填空题、口答题)，对例题分析引导时，要紧扣定义、定理、法则、公式，并善于指出学生容易犯错误的地方，再通过一定量的练习、作业，使学生最终自行掌握基础知识。当然在“基础型”例题教学中，所举的例题不能过多、过杂、过难，必须要有一定的基础性和代表性，这样教师留有余地让学生在掌握基础知识的前提下去开拓、创新其他思维问题。 三、“技巧型”例题，要培养巧妙解题 一般的数学题有一套常规解题方法，但有的数学题按照常规的解法往往很复杂，甚至无法解出，这时我们应根据题目的特点，从整体上分析，善于从解题技巧上启发引导。 由于技巧型题目解法比较特殊，不易为学生发现，加上课本上这类例题出现不是很多，因此我们教师可选少量技巧型例题进行教学，对激发学生学习兴趣，培养学生创造性思维是很有好处的。在现行的新教材课本中出现的“B组习题，想一想，读一读，做一做”其实就包含很多的技巧型例题，这在很大程度上开发了学生的智力，也符合当今的“启发式”新教法。 四、“规律型”例题，要注意归纳综合 为了使学生在解题时有较敏锐的观察能力和较丰富的联想能力，举一反三，触类旁通，提高解题能力，“规律型”的题目正是考察学生以上这些能力。由于“规律型”题目的规律性和普通性，我们教师在举这样的例题应注意归纳综合，俗语说：“换汤不换药，万变不离其宗”。这话用在数学上正好反映数学知识的规律性。 例如，二次函数中有这样一类题目，给出抛物线 (ɑ≠0)中ɑ、b、c的符号，要求判断抛物线的开口方向，抛物线与轴交点的位置，对称轴在轴的左侧还是右侧，抛物线与χ轴有无交点，并画出草图，象这样的问题，要先归纳综合它的规律性，规律型例题是培养学生能力的一座桥梁，我们在规律型例题教学中，必须善于采用比较、分析、归纳、综合的方法，揭示其解题规律，这就等于交给了学生解决问题的钥匙，从而使学生能够自己去解决新问题。 五、“综合型”例题，要寻求知识联系 为了培养学生综合运用知识、灵活解题的能力，综合型例题教学犹其显得重要。因为综合型题目是考察学生对所教过知识的掌握情况、熟练程度、概括能力，以及是否较全面了解知识的内在联系等。特别在数学的章节复习和初三数学总复习中综合型例题教学更是了解学生的综合解题能力。又由于综合题往往知识覆盖面广，联系较复杂，因此，教学时我们一定要有针对性地选好题型，利用知识的内在联系，引导学生寻求解决问题的关键，分析综合题时一般可将大题分解成若干小题，然后逐步探索各小题的知识联系，引出一个知识纽带. 六、“开放型”例题，要立足现实生活 教学要面向社会，面向生活，面向实践，数学中的知识与自然现象、人类生活密切相关。近几年来，各地中考出现了许多立意新颖的开放性较强的数学试题，如：经济类问题、投资类问题、动态类问题、方案设计类问题、说理类问题、讨论类问题等，它们大都跟我们现实生活联系在一起。这类试题的出现在客观上培养和发展学生的创新意识和创新能力，考查学生的发散思维能力和了解学生应用数学知识解决实际问题的能力，使学生真正感觉数学知识在现实生活中的重要性，也激发了学生学习数学的兴趣。 由于诸上原因，“开放型”立足生活实践的例题教学显得突出重要，因此，我们教师应多联系现实生活各方面知识应用于教学中，使学生在未走上社会之前就能了解各方面知识，解决各类问题，为今后投身社会建设打下基础。“开放性”例题教学应重在学生相互讨论，允许学生提出疑问，使他们善于发现问题，激发灵感。 例4.某单位计划十月份组织员工到H地旅游，人数估计在10 ~25人之间，甲、乙两旅行社的服务质量相同，且组织到H地旅游的价格都是每人200元，该单位联系时，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可免去一位游客的旅游费用，其余旅客八折优惠，问该单位应怎样选择，使其支付的旅游总费用较少？ 本题是经济类讨论问题，可让学生相互讨论，经过讨论发现本题是利用方程、函数、不等式知识互相渗透来解决这个问题，可设该单位到H地旅游人数为X，选择甲旅行社所需费用为y1元，选择乙旅行社所需费用为y2，然后写出y1、y2关于X的两个函数关系式，再经过三种讨论① y1= y2，②y1> y2，③y1 总而言之，数学题型千变万化，教师所选的例题题型也应随之变化多端。例题的恰当与否直接关系到学生对一节课的吸收程度，并且对他本身思维的培养，智力开发都是非常重要的，作为数学教师，切不能无目的性乱举例题进行教学的“满堂灌”。这就无可厚非要求教师认真备课，选好例题，为例题教学作好充分准备。在当今素质教育的浪潮中，我们更要注重创新的教学方式，去引导学生，去挖掘学生的潜能，从而开发他们的智力，适应当今社会教育的形势。以上这些都急迫我们当代教师要有多样化、多类型的创新的课堂例题教学，使初中素质教育的教学方法从一个高峰走向另一个高峰。
版块二:初中数学课堂例题教学可采取的一些策略 来源:百度文库 日期:2013年9月3日 有效的学习不能单纯依赖模仿、记忆，教师在解题教学中，应尽量避免舍本丢纲，盲目重复训练，通过例题教学，采用合理的策略，例如一题多解、一题多变等，使有限的例题发挥极大的作用，引导学生从例题得到启发找到解题途径，使学生对所学知识条理化、系统化，提高解题能力，优化思维品质，从而使例题教学发挥最大效益，提高教学质量． （一）一题多问 课堂教学以问题为中心，可根据学生的不同程度，在例题教学中通过对知识点的铺垫、分解、交汇、拓展、延伸，精心设计不同难度的问题．从问题的提出，到层层深入，直至问题的解决，多问几个为什么，引导、启发学生抓住问题的本质特征，而不是无创造性的“模仿”，这无疑比讲十道、百道乃至更多的例题来巩固知识的效果要好得多．只有以例导思，最大限度调动各层次学生的学习积极性，让学生参与寻求解题途径的过程，给学生充分展示思维过程的机会，使得思维不断深入、发展、完善，学生思维的缜密性和逻辑严谨性才能真正得到训练． （二）一题多变 例题教学中，针对知识点，设置一题多变，让学生在比较差异、辨析正误、逆向思考等活动中，深化理解、巩固知识、提高技能．由一题发散为若干题，层层推进，不仅增强了例题的使用价值，使学生对原例题的认识和理解呈螺旋式上升，还能帮助学生活化解题思路，灵活运用知识，增强思维的广阔性，达到由例及类、触类旁通、以一胜多的效果．一题多变的教学策略，帮助学生形成思维定势，而又打破思维定势，有利于培养思维的变通性和灵活性．但是，并不是每一个例题都要变条件、变问题，要因人因题灵活处理，否则会适得其反．选择例题进行变式要注意把握变化的“度”，不要“变”得过于简单，也不能太难． （三）一题多解 一道数学题，从不同角度去考虑，可以有不同的思路，不同的解法．在例题教学中，教师通过一题多解的教学方式，激发学生去发现和去创造的强烈欲望，加深学生对所学知识的理解，有利于培养学生的发散思维能力和提高解题技巧．通过一题多解，训练学生全方位思考问题，分析问题，有利于启迪思维，开阔视野，培养学生思维的广阔性、变通性、创造性．需要注意的是，例题教学后，应及时引导学生反思同一个问题的多种解法之间的区别和联系，思考不同解法适用的特点，鼓励学生举出相关的问题或类似的题型，总结规律． （四）多题一解 对简捷常用的解题方法要让学生熟记于心，单靠死记硬背是不行的，如果教师能选择不同题型但能用相同或相似的方法解题，学生在应用中就会对这种解题方法熟练掌握．采用“多题一解”进行教学，引导学生在解题时同时自觉发现、摸索、总结、应用解题规律，从而扭转部分学生在理论上有足够知识，但一遇到解题茫然无措不知从何着手的被动局面． （五）改编例题 改编例题的方式很多，例如教材中有些例题的背景一般比较抽象，缺乏生活气息，如果将例题改编成与学生密切相关的生活情境，不仅可以激发学生的参与热情，还能发挥学生的创新意识和创造能力．或者将例题的条件、结论进行改编，由表及里，揭示知识间的内在联系，前后贯通，引伸拓宽，形成一条较为完整的知识链，让学生通过典型范例的思路剖析，牢固掌握基本题型及解题规律． （六）错题辨析、改正 在教学中我们发现讲解题目的正确解法有时达不到教学目的，因为学生不知道自己为什么错，错在哪里，无法对症下药．错误是正确的先导，正如哲学家波普尔所说：“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素”．课堂例题教学时，根据学生学习过程中会感到疑难或者易发生认知偏差的问题，设置错题辨析、改正，让学生发现错解及产生错解的原因，从错题中体会到知识的关键点和易错点，辨析出知识的异同，加深对知识的理解，让学生经历“数学化”和“再创造”的过程，找到正确的解法和结论，有效地知错、改错、防错．教师有意错解，充分暴露学生思维的薄弱环节，但不急于把正确的解答告诉学生．“真理辨中明”，引导学生分析，此解有没有错？错在哪里？组织学生讨论，参与辨析，经过探讨发现，上述解法是错误的．通过暴露错解过程，辨析错因，促进了正确思路的萌生，从而获得正确解法，使学生对加减消元有了深刻的认识． 数学习题浩似烟海，无穷无尽，辅导资料铺天盖地，五花八门，如果让学生见一题做一题，就会抑制学生思维的发展．数学的例题是知识由产生到应用的要害一步，在数学教学过程中，充分利用例题教学，能帮助学生理解和掌握基础知识，进一步巩固并熟练运用所学的知识，形成数学基本技能，培养学生推理能力以及良好的思维习惯．
版块三:对初中数学例题教学的一些看法 来源:百度文库 日期:2013年4月7日 数学例题是数学教材的重要组成部分，教师教学中要用一定的时间对数学例题进行分析讲解，学生要用一定的时间对例题进行学习，对例题恰当有效地处理是上好一堂数学课的关键。为此，本人从多年从教的经验中谈谈如何运用好数学课本中的例题。 一、重点分析解题思路，贵在数学思想方法的教学 古人云：“授人以鱼，不如授人以渔。”一个学生即使他拥有许多数学基础知识，但如果缺少数学思想和方法的指导，也不可能成为高素质的数学学习者，充其量只能算是一个数学知识的奴隶。数学思想和方法是“双基”的有效载体。教学中，教师要注重“双基”的落实，更要重视知识形成的过程和总结，长此以往，学生的数学意识和能力就能得到充分发展。对例题的处理是用大量的时间去分析例题的解题过程：怎样去做，为什么要这样做，依据是什么，提炼解题的指导思想，从而把解题经验上升到思想方法的高度，使学生对数学思想的认识从感性上升到理性，从实践升华为理论，逐步形成数学观念，会用数学眼光看问题、思考问题。如八下P68引例:请在数轴上画出表示 的点,就可利用勾股定理（ ）2=22+32 ,画出长 的线段。这是数学中常用的“数形结合”思想。 二、重视总结、概括 通过总结规律，提炼解题模型，观察问题特征，捕捉解题信息，使学生能敏捷地发现问题，并以最快速度抓住主要矛盾，培养思维的敏捷性。所以每讲一堂课的例题，都要归纳小结，讲完一个单元或小节，要进行章节小结，还要对同一种类型、同一类知识点的不同题型进行归纳、寻找规律，可运用口诀记忆等方法。如我在讲解坐标平移时，总结平移规律为“左减右加纵不变，上加下减横不变。”在讲解不等式组时，归纳总结其解集：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”，讲解完全平方公式时:完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央。又如，对解答三角形、梯形等问题中常见的辅助线进行归纳总结，让学生一下子就能体会辅助线的妙用。学生很容易记住，并一下子抓住本质。 三、结合实际，另辟蹊径，自编例题，重视“开放”与“拓展” 教材中的例题大都是“条件完备，结论明确”的封闭题型，若能在教学的同时对条件或结论加以“开放”与“拓展”，改编为探索，方案设计，阅读理解等类题目，则能更大地激发学生的学习热情，同时也可强化学生对例题所蕴含的数学思想、方法的理解与掌握，促进学生创新意识、创新能力的形成。 例如三角形全等的条件一节的例2：有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可以先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA，连结BC并延长到E ，使CE=CB，连结DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？ 改为1：连接AC、BC，延长AC到D，使CD=CB，延长BC到E ，使CE=CA，连结DE，那么量出DE的长与A、B的距离相等吗？说明理由。 改为2：小月、小丽两同学分别住在一池塘两端A、B处，她俩想知道两家之间的距离，但无测量工具，只知道每人自己每步的距离，，请你帮助小月、小丽设计一种方案，并说明你的理由。 问题的深化和开放，诱发了学生的探求欲望和热情，思维得以激活，在操作、思考、交流中，加深了对边角边全等判定的认识，渗透了数学知识与实际生活的联系。若经常进行相应的训练，学生的思维将会更开阔，每做完一道例题或习题，可能都会想一想可不可进行扩展变化，逐渐有了问题意识和创新意识。 四、精讲精练，宁缺勿滥，针对性要强 实际教学中，我发现，有时也精心准备例题、习题，总想一节课把知识都教给学生，但例题与习题联系不紧密，产生脱节现象，即练习时很少用到例题知识，甚至用不到课堂上的知识点，完全是一盘散沙，如何能提高课堂效率？只有加班加点，加重学生的负担，长此以往，形成“你讲你的，我练我的。”吃亏的是学生，累的还是教师，所以说抓不住本质，讲的再多也是枉然。因此，“讲”要力求“精讲”，克服“滥讲”。我们可以以典型题例为例，在一堂课里只安排一个或几个同一类型的例题，重点讲解、如何分析解决问题，从而加强对重点知识的掌握，对难点知识的突破，有针对性的安排一些习题，把讲和练，统一为一个整体有的放矢。如人教版P125例1:利用不等式的性质解下列不等式:（1）x-7＞26;（2）-4x＞3;在讲解完后，我准备了这样的训练,训练1:若a＜b,则3a__3b;-2a__-2b.训练2:若x＜y,ax＜ay中a应满足____,若x＜y, ax＞ay中a应满足____.训练3:解不等式:（k+1）x＞ 4. 训练4:若关于x的不等式2kx-1＜2k-x的解集为x＜1,求k的取值范围. 通过以上练习，由浅入深，层层递进，既巩固了不等式的性质这一新知识，又将知识引向深入，有效解决了难点又让所有学生参与进来。可见精讲精练重在“精”字上，少而精、熟而巧，学生便能举一反三。 五、加强变式数学，一题多解，多题一法 变式，顾名思义就是不断变换问题中的条件或结论，转换问题的形式或内容，旨在一个“变”字，使其题目内容、形式不拘一格，形式多样。变式教学能丰富题目的内涵，激发学生的求知欲，培养学生认识问题、思考问题的全面性，有利于培养学生的创新意识和发散思维能力，使学生形成良好的思维品质。变式教学能够让学生尽可能多地参与到教学活动中来，每一次变式，都能紧紧抓住、时时牵动学生的心，当你看到学生大胆想象、勇于探索、不断发现新问题、新方法时，你难道不高兴吗？教材中的例题，往往只有一个结论或是一个特例，我们就可以在此基础上，让学生思考，由已知条件，还能得到什么结论或想要得到这个结论还可以用哪些条件；当结论与题设互换时，还成立吗？当图形在另一种形式下还成立吗？等等，所以我们平时要多注重积累，在讲解例题时，除了讲清“为什么”和“是什么”外，还要多问学生几个“还有什么”， 在讲解《完全平方公式》一课时，学习了P154、P155的例4、例5之后,为了深化了对完全平方公式及公式变形的理解，我做了如下变形训练：变式一:（a-b）2=11，a2+b2=8 ，求ab 的值。变式二:（a+b）2=6, ab=3, 求a2+b2的值.变式三:（a+b）2=5,（a-b）2=10，求ab 的值。变式四:（a+b）2=12，ab=6，求（a-b）2的值。又如课本p118：有一块三角形余料ABC，它的边长BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零 件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB 、AC上，问加工成的正方形零件的边长为多少mm？ 变式1: △ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm.高AD=80mm， 要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？ 变式2: 把正方形PQMN换成矩形PQMN，并增加条件矩形PQMN的周长为200mm，结果改为“求矩形PQMN的长和宽” 变式3: 把正方形PQMN改为矩形PQMN，并把“AD=80，BC =120”改为AD=6mm，BC=8mm”，把结果改为求设PN=x，矩形PQMN的面积为y，求y关于x的函数表达式，并指出x的取值范围.当为PQ何值时，矩形PQMN的面积最大 运用变式教学，可以确保学生参与教学活动的持续的热情。教者通过不断创设适当的问题情境，激发学生的思维，从而培养他们的数学思维能力和勇于探索的精神。在讲解时，基于教材，但又宽于教材、高于教材，使知识延伸。 例题教学是课堂教学中的一个重要环节，随着课改重点向课堂教学的转移，例题教学会受到更多的关注。实践证明，加强和改进数学例题的教学，对理解和掌握基础知识、培养数学思维、发展智力都是至关重要的。
版块四:浅析新课程理念下初中数学习题课教学 作者:Ada徐 来源:数学学科网 日期：2014年7月3日 新课程理念下的数学教学将由“关注学生学习结果”转向“关注学生活动”，重塑知识的形成过程，课程设计将由“给出知识”转向“引导活动”，数学新教材倡导学生主动探索，自主学习，合作讨论，体现数学再发现的过程，数学教学不再是教师向学生传授知识的过程，而是鼓励学生“观察”、“操作”、“发现”，并通过合作交流，让学生发展自主学习的能力，个性品质的发展，从现而激发学生的学习兴趣，提高学生学习数学的能力。[1]新课标对学生提出了数学学习的总体目标：初步学会运用数学的思维方式去分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识，体现“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。”的观念。 如何充分体现学生在数学教学中的主体作用，提高数学课堂教学质量，特别是如何上好数学习题课，是摆在我们每位数学教师面前的重要课题，教师除了认真学习新课标，钻研教材，把握好每章、节的重点、难点、关键，明确教学目的，还应注意设计教学过程。习题课教学和数学概念、公式、公理、定理、例题的教学及复习课教学构成了初中数学教学的三大支柱。高效的习题课教学在培养学生的思维品质，提高学生分析问题的能力，有利于教师了解教学效果等方面都有不可替代的作用。 在从强化知识的传统教育模式向着创新能力的现代教育模式转化的改革中，应该将习题课教学改革作为整个数学教学的一个重要环节对待。 下面谈谈我在数学习题课教学实践中的体会与经验与大家共同探讨。 一、选题具有针对性，典型性和灵活性。 根据维茨果其的理论，学生在通过与教师和同伴的共同活动，通过观察、模仿、体验，在互动活动中学习的，学习的效率与成果如何，取决于在互动与生活过程中能否充分地适用自已和各种器官。所以，一堂好课，不仅仅在于它有条不紊，不仅仅在于它流畅顺达。而在于它是否真正地让学生练习和实践。但这绝不是鼓励搞“题海战术”，“题海战术”无疑只会打磨个性，窒息创造能力，僵化思维方法，而我们所追求和提倡的是学生的个性自主、人格独立和精神自由。注意题目的质量，即题目的难度和深度，这是对学生学习水平的要求，也是教师教学所定的标高，但必须在学生的“最近发展区”内，使学生可以“跳一跳，摘桃子”，还要考虑到大多数学生的认知水平，应面向全体学生，承认学生的个性差异，题目做到少而精，有代表性，能针对教学的重点、难点和考点，能起到示范引路，方法指导的作用，还应便于情境、设问、立意等方面作多种变化，从不同角度使学生对知识与方法有更深的理解。比如我们在学到相似三角形的相关内容时往往会遇到这样典型类型的题目：已知△ABC中，点D，点E分别是边AB，AC上的点，请你再添加一个条件，使△ADE与△ABC相似。做这类题目是一定要注意灵活性。因为可以是△ADE∽△ABC，也可以是△AED∽△ABC,并且添加的可以是角对应相等，也可以是两边对应成比例。当然题目若能用实验做出来或与实际生活联系得比较密切，则尽可能安排让学生动手做实验或实际操作，以增强直观程度。在出示题目之后，教师要沉得住气，要给学生思考的时间审题思考，以充分张扬学生的个性，展示学生的能力。所以教师在选编习题时要多多推敲，合理选题。 二、巧用课堂提问，激活学生思维。 根据心理学原理，学生的“注意力”和“兴奋点”不可能持续较长或很长时间，据观察，学生一节课只能集中25----35分钟左右，所以应该把一节课中最需要提问的精心设计成二三个问题并设置一定的情境，加以提问，让学生有兴趣地参与思考、讨论。比如:两家旅行社同时推出不同手段的优惠活动,我们应该选哪家合算。学生对于此类问题比较感兴趣，课堂上就能及时的抓住学生的注意力。以此类推教师可以马上提出相类似的问题：两家商店同时搞促销，选哪家买正好需要的物品比较划算。“如何使每一个学生在原有基础上获得最大限度的发展，这是全部教育的智慧。”数学课堂上，教师的智慧在于创设开放的情境，给学生思考的空间，表达的机会，让丰富多彩的思考交汇在课堂，让新奇、独特的思维打开创造的心门，让闪烁智慧灵光的思想在课堂上驰骋。教师最重要的是认真的倾听，适时的点拨，给学生足够的探索材料，让学生真正成为学习的主体。课堂上的智慧就闪耀在主体的创造中.数学只有契合学生的经验系统才能真正走进学生心里。数学知识与生活的链接更让数学学习有了实际意义。如：结合相似三角形的性质解决实际问题时，我们遇到这样的问题：需测量一根旗杆的高度。如果单是让学生听教师的解答很多同学觉的索然无味。但如果能带他们到操场上利用他们天天看到的本校的旗杆和自己本身在同一时刻下的地面成像情况解决求旗杆的高度。学生的兴趣就马上被调动了。把鲜活的生活题材引入课堂，用生活问题激活课堂，把学生的生活经验巧用于课堂，生动的生活数学事例活用于课堂，数学课堂有了生活之水的滋润，更加富有情趣和魅力。习题课的精髓与实质就是教师对习题材料的处理能否发挥习题的功能，能否充分调动学生主体的参与作用，将学生所学的知识“外化”，并通过“外化”强化知识的“内化”，这是一节习题课成功与否的关键。良好的教学效果是教学活动最终的归宿，如何上好一堂有效率的课对每一名教师来讲都是很重要的，衡量一堂课的教学效率如何，主要看有效教学时间，即在教与学活动过程中学生学习知识、掌握技能、形成能力和提高认识真正起作用的时间。 三、通过学生回答或板演，教师及时的反馈、矫正、纠错。 在课堂教学中，教师要准确发现学生在知识理解、方法运用等方面的成绩和不足，要给予必要的肯定和及时矫正，引导学生总结寻找突破口的方法，总结易混易错处，归纳同类习题的共性与异性习题的联系与区别，达到解题时会一类、通一片的目的。其中“设错”是数学教学过程中的一个教学设计手段，其目的是通过“设错来纠错”进一步理解和掌握知识的难点和重点，不断激发出强烈的求知欲望，从而达到理想的教学效果。比如：在解一元二次方程时,相当一部分同学会解答成。当然，习题课教学中允许学生解错，它可以开拓学生思维，培养能力；可以进行教学反馈，及时弥补教学不足。在上例中，教师接着可以让学生试着把x=0代入原方程来验算，学生很快会发现x=0也是原方程的解。他们的好奇心马上就被调动起来了。会主动去寻找刚才解答过程中可能存在错误的地方。通过这一例主要要说明的是教师要主动把自己的教学情感融入学生心理中，要站在学生的角度与学生同欢、同乐、同奇、同疑。对学生的“纠错”，肯定学生的创新精神，学生即使回答错误，教师也要因势利导，随机应变，把学生的错误资源当做反面教材，认真分析，寻找根源；或者把问题切换成低一层次稍容易的相关问题作启迪，指出思考方向，使整个课堂教学始终处于和谐、协调、高效的态势。 四、注重审题，注意一题多解，来训练学生思维的发散 解题思路中的每一步推导都不外乎根据数学概念、性质、公式、定理等。很多考题看来似乎并不难，却包含有不确定的因素，因此其答案不是唯一的，如果掉以轻心，就会顾此失彼。在上面提到的有关△ADE与△ABC相似的问题中其实也渗透了一题多解的思想。若再继续深入的问下去，当AB=24,AC=18,AE=12时，求AD的长。这类题型的关键是相似的对应点问题。线段AD的长有两解：9或16。思考一题多解有利于学生发散思维的培养，也有利于学生抽象概括思维能力的培养，产生举一反三、触类旁通的教学效应，还可培养学生抽象概括思维能力、联想思维能力和建模能力。此外对初中生来说，逆推法是一种行之有效的，最基本的解题方法，例如：如果多项式-ax-8(a为整数)，在整数范围内可以因式分解，则a的全部可取的值为多少？在分析时我们从分解-8入手，可知原式有四种分解结果：（x+1）(x-8);(x+2)(x-4);(x+4)(x-2);(x+8)(x-1).因此可以求出a的全部可取的值为7，2，-2，-7。教师在习题课时，必须将逆推过程的思路用板书清晰、形象地表示出来。当然，还应该注意适当地使用一些“非常规题”去培养学生非常规的思维方式，像：有多余已知条件的题型；有多个答案的题型；答案是不确定模糊解的题型；设计实验方案的题材型；根据平时生活积累进行估算的题型；解决日常生活实际问题的应用题；跨学科结合型的题目等。 五、上好数学习题课，还应该注意培养以下几方面： 1、创设情境，激发兴趣。兴趣是最好的老师。浓厚的学习兴趣，能有效地诱发学习动机，促进学生自觉地集中注意力，全身心的投入学习活动中去探索，去发现，让学生从中体验到成功的喜悦和快乐。特别是对于那些后进生而言，习题课一定注意不能磨掉他们的兴趣。比如我们在学到有关整式的乘除法时往往会遇到这样典型类型的题目：已知=3,=5,求①，②，③上述三个题目一层层的深入，对于那些后进生来说容易调动他们的积极性，让他们在做数学中获得乐趣。 2、重现知识形成的过程，培养学生用数学的意识。数学概念和数学规律大多数是由实际问题抽象出来的，因而在进行数学概念和数学规律和教学中，我们不应当只是单纯地向学生传授知识，而忽视对其原型的分析和抽象。在七年级下册的最后一章体验不确定现象中。很多都是通以对游戏的层层剖析，探究，让学生从游戏中走出来，思考讨论。教师应当从实际事例或学生已有知识出发，逐步引导学生对原型加以抽象、概括，弄清知识的抽象过程，了解它们的用途和适用范围，从而使学生形成对数学、用数学所必须遵循的途径的认识。这不仅能加深学生对知识的理解和记忆，而且对激发学生学数学的兴趣、增强用数学的意识大有裨益。 3、加强建模训练，培养建立数学模型的能力。建立适当数学模型，是利用数学解决实际问题的前提。建立数学模型的能力是运用数学能力的关键一步。解应用题，特别是解综合性较强的应用题的过程，实际上就是建造一个数学模型的过程。在教学中，我们可根据教学内容选编一些应用问题对学生进行建模训练，也可结合学生熟悉的生活、生产、科技和当前商品经济中的一些实际问题（如利息、股票、利润、人口等问题），引导学生观察、分析、抽象、概括为数学模型，培养学生的建模能力。 4、创造条件，让学生运用数学解决实际问题。在教学中，可根据教学内容，组织学生参加社会实践活动，为学生创造运用数学的环境，引导学生亲手操作，如测量、市场调查和分析、企业成本和利润的核算等。把学数学用数学结合起来，使学生在实践中体验用数学的快乐，学会用数学解决身边的实际问题，达到培养学生用的能力的目的。 5、在教学中，还应当对学生意志的培养和训练。如注意力的培养，长期反复思考同一问题的意志品质的培养，独立思考精神的培养。使学生形成不怕困难坚韧不跋，刻苦钻研，顽强拼搏的优秀品质。 中学数学习题课的关键是教师对习题材料的选用能否充分调动学生主体的参与作用。教学生在倾听中产生的灵性，在思考中展现智慧，在体验中生成情感，在相互尊重中绽放灿烂的生命之花，在我不断的探索与实践中，班级学生对题目的分析能力以及解题能力有了很大的提高。总之，在习题教学中，要贯彻新教学理念，必须做到：由题海战术向习题精选转变，由重知识向重思维过程转变．由重巩固掌握向纠错反思转变，由就题论题向借题发挥转变，才能发挥习题功效，达到巩固知识和提高能力的目的。
版块五:浅谈初中数学习题课教学的重难点 作者：Ada徐 来源:网校通网站 日期：2013年9月12日 一、合理的选题 著名数学家波利亚也曾说过“掌握数学就是意味着擅于解题”。习题课作为一种重要的教学补偿手段，精选一些与教材内容相联系的习题展开分析和讨论，提高学生运用所学知识分析和解决较为复杂的具有灵活性和综合性问题的能力。一节习题课的质量很大程度上取决于教者对习题的选择。 在选题时教师首先要根据自己教学情况确定选题依据，对各知识点的要求做到心中有数，从而避免在选择习题时出现“偏、怪、难”题；其次，选题一定要在对自己学生实际情况有深刻了解和认识的基础上，把握学生的弱点，从而进行有针对性的训练和培养。这样选题才能有针对性、有明确的目的。才能更好地达成教学目标；第三，习题的设计必须有一定的关联,比如,可以是同一个知识点的层层深化,也可以是一个知识点与不同知识在不同背景下的组合。要能够通过知识的纵向延伸，横向发展，系统扩充来发挥习题的补偿与提高作用，大幅度地提高习题课的效率和质量；最后，选题要做到新颖灵活，鼓励学生打破常规锐意创新，使学生在多思多变中提高思维的灵活性和创造性。 二、构建完整体系 一堂习题课往往安排在几个知识点后甚至一章内容之后，因为知识点较多因而必须适当整理，使学生对已学知识进行再认识，并进一步从数学思想方法的高度认识知识的本质和内在的联系，从而使所学的知识融会贯通，运用自如。而通过平时的作业批改或学生辅导能使教师了解哪些知识学生掌握的不够，习题课时可以回顾这些概念形成的过程，通过变式设问来加深对概念的理解，使学生思维由浅入深，有利于培养学生准确概括的思维能力。 例如：在上四边形习题课时，针对学生概念模糊预先设计如下“问题链”：①顺次连结任意四边形各边中点所得的四边形是什么图形？②如果把“顺次连结任意四边形各边中点所得四边形”定义为这个四边形的“中点四边形”，试分别说出平形四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形的中点四边形是什么图形。③分别说出对角线互相垂直、对角线相等的四边形的中点四边形是什么图形。学生比较容易得到上述问题的结论，然后引导学生进行逆向提问：④如果中点四边形分别是矩形、菱形、正方形,那么原四边形的对角线有什么特征?通过上述多角度的提问，学生获得了多角度的理解。在弄清“中点四边形”概念内涵和外延的基础上，真正掌握了概念的本质属性，提高了综合概括的能力，培养了思维的准确性。 三、指导学生学会分析解题思路 “解数学题，是会了不难，难了不会。”这是学生对数学的学习普遍感受：这里的“会”与“难”，所指的是思路的“通畅”与“阻滞”。所以，习题课中，对一些“难”题，首先在解题思路的畅通上进行点拨。然后，再让学生进行(自主)解答设计方面的训练。”学生获得了思路，自然喜形于色，有的学生还用笔记下思路的关键环节。 四、注意习题的变式、开放与拓展 上好习题课的关键是变化习题，可以原题变成开放性问题，或是进行适当的变式训练，也可加大一题多解、一题多变的训练。通过引导思维发散，从而达到知识的迁移和联想激发学生的求知欲望。从而使思维升华，让学生能够达到举一反三。 五、采用灵活多变教学的方式 新课程强调在教学过程中教师是组织者、参与者、指导者、欣赏者，这说明教师在教学活动中的根本任务是“导”，即通过教师的因势利导，唤起学生求知的欲望，给学生创造良好的学习环境，让学生的学习能力在教师的教学中得到提高与升华。同时得到知识的积累。因此，教法为学法“让路”的出发点是基于学生与教师在教学过程中的地位而言，教师的任务不但是要指导学生学习，通过各种教学手段促进学生学习能力的提高，还要营造一种学生学习知识的氛围，激发学生探究知识的兴趣，使学生掌握“由已知到求知，从现象到本质”的认识世界的根本方法。它将会使学生受用一生。习题课教学知识密度大、题型多，学生容易疲劳，如果教学组织形式单一化，会使学生感到枯燥、乏味，这样容易丧失学习的积极性，为了克服这一现象，在习题课教学中一定要体现出教师的教与学生的学的双边、双向活动，将讲、练、思三者有机的结合起来，采取“疑点启发、重点讲授、难点讨论”的方式创造条件让学生多动口、多动手、多动脑，激发学生全方位“参与”问题的解决，有效地减轻学生的“疲劳”，提高课堂教学的效率和质量。 六、做好巩固练习及反馈处理 习题课的结束肯定不能代表任务的完成，学生对这节课掌握了多少，掌握的怎么样，应该得到及时的反馈，因而对学生的检测和反馈练习是必不可少的环节。学生的巩固练习中，在强调目的性、针对性、差异性的同时，更要注重重现性。有代表性、典型性、关键性的习题不要认为老师讲过了、学生做过了就过关了，必须有目的、有计划地安排一定程度的重现性作业，才能保证学生获得牢固的知识和熟练的技能，但要注意重现并不等同于机械的重复。另外，还必须体现一定的开放性，要让学生有自我发挥的余地，引导鼓励学生提出问题，寻找伙伴完成研究性作业。只有这样，才能真正的达到习题课的目的。
版块六:上好初中数学习题课的教学策略 来源:百度文库 日期:2013年12月11日 上好习题课是复习备考的关键，教师应根据教材，融合新课程标准，切实结合中考的现状和未来趋势，系统地涵盖所学知识点，并突出重点，详解难点。要关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式，正确指导，使学生发挥个性特长。为了优化初学数学习题课的教学，教师应充分认识到习题课的地位和作用，抛弃传统的“满堂灌”的授课方式，采用既能体现学生的主体地位，又能显示教师的主导作用的新教学方式，从而调动学生学习的积极性。在借鉴他人经验的基础上，坚持适合自己的教学方法，才是成功的关键。 通过对习题课教学的长时间的摸索与探讨，下面我就此谈一些看法。 一、重视课本，全面复习基础知识，加强基本技能训练 在复习时应注意用好课本。先读懂、理解、吃透教材，全面掌握初中数学基础知识，领悟和把握真正的知识体系和能力结构，重新梳理课本中的基础知识及各类习题，做到全面、扎实、系统，形成知识网络。具体做法如下。 1.熟练掌握运用基础知识。扎实熟练地掌握概念、定义、定理、法则、公式，准确地对数学语言如文字语言、图形语言、符号语言等进行表达与运用，重视公式的正用、逆用和变形应用，重视定理的推导与应用，重视定义的理解和应用，等等。 2.重视课本的典型性、示范性例题，练习和作业也要让学生弄懂、会做，并注意解题方法的归纳和整理。应充分认识例题本身所蕴含的价值，掌握其中的共性通法，并达到熟练程度，掌握数学思想方法的精髓；注意通过纵向挖掘，横向加强不同知识点的联系，达到优化认知结构、阔眼界、活跃思维的目的。 3.深入研究典型习题，充分挖掘其价值。如：习题的多种解法与应用；条件与结论互换，命题能否成立；加强或削弱命题的条件或结论，能否得到正确命题。经常这样训练，可达到以少胜多，提高创新能力的目的。决定复习效果的关键因素不是题目的数量，而在于题目的质量和处理水平。做十道考查思路重复的题，不如深入透彻地掌握一道典型题。 二、具体的策略 1.以题带点，顺藤摸瓜。以题带点，即通过典型范例呈现相关章节的概念与知识，并通过针对性的讲解增强知识点之间的融会贯通与理解。在反比例函数的专项复习时，我设计了以下问题： 问题1：如图，直线y=kx+b与双曲线只有一个交点A（1，2），且与x轴、y轴分别交于B、C两点，AD垂直平分OB，垂足为D，求直线与双曲线的解析式。 问题2：已知点A（-2，y1），B（-1，y2），C（4，y3）都在反比例函数（k＞0）的图像上，则y1、y2与y3的大小关系为什么。 问题1带出的“点”是反比例函数的解析式及其图像，同时结合前一个专项复习——一次函数的知识，巩固“待定系数法”这一函数学习中的基本方法，深化“数形结合”这一数学学习基本思想。 问题2带出的“点”是反比例函数的增减性，该题要注意在同一象限内才能运用其性质中的增减性的判断，而不在同一个象限内的点，则要根据图像来作出判断，联想到二次函数的增减性运用有类似之处，须注意在对称轴的左侧和在对称轴的右侧的区别，不在对称轴同一侧的点也需根据图像的对称性来判断，我们还可以顺藤摸瓜，追加一个问题：已知二次函数y=3（x-1）+k的图像上有A（1，y1）、B（2，y2）、C（-1，y3），则y1，y2，y3的大小关系为什么。通过类比、同化，将一些方法内化为自己的技能。 要注意的是以题带点的问题不可能包罗万象，有时往往使得知识复习不够系统，这就要求教师在选题时一定要精挑细选，所选范例尽可能有典型性及知识点的覆盖，以一个知识点带出跨章节知识点，也尽可能连线织“网”。 2.以境串型，触类旁通。以境串型，即把相同类型的问题，尤其是实际应用类问题串联在一起，并归纳出相应的数学模型，提高学生概括、归纳的能力。 问题3：小刚家准备安装照明灯.他了解到某种品牌的一盏40瓦白炽灯的售价为1.5元，一盏8瓦节能灯的售价为22.38元，这两种功率的灯发光效果相当。假定电价为0.53元/度，设照明时间为（小时），使用一盏白炽灯和一盏节能灯的费用分别为y1（元）和y2（元）。 （1）分别求出y1，y2与照明时间x之间的函数表达式； （2）若一盏白炽灯的使用寿命为2000小时，一盏节能灯的使用寿命为6000小时，如果不考虑其他因素，以6000小时计算，使用哪种照明灯省钱?省多少钱? 问题4：观看北京奥运会帆船比赛的门票分为两种：A种门票600元/张，B种门票120元/张，某旅行团购买A、B两种门票共15张，若设购买A种门票x张。 （1）写出购票费y关于x的函数关系式； （2）若要求A种门票的数量不少于B种门票数量的一半，且购票费不超过5000元，共有几种符合题意的购票方案? （3）根据计算判断哪种购票方案更省钱? 问题的串型，不仅能使学生把所学知识联系起来，进行联想、对比、转化，做到触类旁通，而且能调动学生学习的兴趣和积极性，发展思维能力，提高解决问题和对实际问题作出正确决策的能力。 3.以变促能，举一反三。以变促能，即抛出一个话题（情境），选好一个中心（载体），编织一张网络，设计一组变式，从典型问题出发，逐步延伸，形成清晰的知识网络。一般而言，综合性越强、知识跨度越大的问题，学生越难理解，对思维层次要求也较高。因此，组织复习时要根据知识内容进行多层次、多角度的变式与发散，适时开放，启发学生把握知识间的内在联系，加强知识和技能的综合运用，使得各个知识点的联系明朗化，形成知识链。 问题5：如图2，一次函数y=ax+3，y=-x+3与y轴交于点A，与x轴分别交于B、C两点，且∠BAC=15°，求a的值。 变式1：如图3，广场上空有一个气球A，地面上的B、C两点与点D在一条直线上，在点B和C分别测得气球A的仰角∠ABD为45°，∠ACD为56°，又BC=20m，求气球A离地面的高度AD。 变式2：如图4，ON表示某引水工程的一段设计路线，从O到N的走向为南偏东30°，在O的南偏东60°方向上有一点A，在A周围500m内为居民区，沿ON向前走400m到B处，测得BA的方向为南偏东75°，请通过计算说明如果不改变方向，输水线路是否会穿过居民区? 该问题及两个变式分别引入了一次函数、方向角和方位角，三个不同背景问题实质都是同一个基本图形（图3）的应用，使学生在变化的背景下把握问题的实质，提高复习效率。 4.以错示警，缜密思维。以错示警，即由问题错解的纠正深化对数学概念、定理的理解和运用。在数学的教学实践中，经常会遇到学生对概念的内涵，定理的条件和结论，公式的适用范围不能正确和深刻理解的情况。复习时应通过“示错”来巩固知识，使学生真正认识所学知识的本质，从而达到进一步牢固掌握知识的目的。 问题6：如图5，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为y平方米。 （1）求y与x的函数关系式及自变量的取值范围； （2）若墙的最大可用长度为8米，则x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少? 此题型求解二次函数关系式问题不大，难点在于学生能否把二次函数最值问题和实际问题有机联系起来。（2）的错解是：当x=3米时，y=36平方米. ∵0＜24-4x≤8，∴4≤x＜6，当x=3时，不满足自变量取值范围. ∴当x=4时，y=32. 本问题能使学生在纠错的过程中既复习基础知识，又加深对问题本质的理解，从而明确心理定势会阻碍思维的发展，知道解题时要多层面、多角度地去观察思考，尤其要注意得到的解必须符合实际情况。 三、几点反思 1.重在平时，有的放矢。心理学研究表明，要避免和减少遗忘，复习必须及时，分散复习比集中复习效果好。因此，在教学中应坚持“复习要重在平时，贵在经常”的原则。如上述“以题带点”、以境串型”、“以变促能”、“以错示警”等策略都要和平时的及时消化和巩固结合起来。另外要使习题课做到有的放矢，教师还必须深入了解学生学习和知识掌握的情况，对学生的学习情况要研究分析，找出知识缺陷所在及形成的原因，设计解决的策略，这对进一步提高习题课的效率是很有必要的。平时还要渗透复习方法的指导，包括安排复习时间的方法，排除各种干扰进行自我心理调节的方法，等等。 2.提升自我，主动思考。要使习题课高效，还要设计缜密的复习方案，科学合理地组构问题并对问题进行深化和串联，充分挖掘问题的内在逻辑联系，帮助学生理解概念和补充完整知识，建构知识网络。对教师而言这无疑也是一次新的挑战，习题课的备课不同于平时的新授课，它需要教师作深入的思考和研究，习题课的优化设计实际上是一个教师平时善于思考的深度反映，也是一个教师长期不断学习积累的综合体现。 3.关注细节，深度反思。优化复习策略的设计要重视课堂教学细节的教育功能。从宏观看，数学习题课要敢于突破，不要程式化，可以从讲授顺序、讲授的深度和广度、讲授的时间和空间等方面进行调整与反思，尤其要重过程、重复习、重纠错，进一步从讲解上缩短时间，留足学生练习和反思的时间。从微观看，既要关注教师的课堂语言准确性，又要关注重视题型研究的技术和艺术，做到两个“对”——题型设计“对”位，即选题要精，练习要准，点拨要狠，纠错要细；试题讲授“对”路，即讲授节奏要当，思路要清，分析要实，效率要高。把握三个“点”——教材内外打通的“制高点”，挑战思维的“聚焦点”，变式训练的“创新点”。 习题课，尤其是初中数学习题课堂应是以问题为核心、以效率为目的的习题课堂。只有让学生从题海战术中解脱出来，学得灵活，学得扎实，优化复习过程，提高效率，数学教学的成效才能更上一层楼。
版块七:初中数学习题课教学中的做法与困惑 来源:映雪影梅的网易博客 日期:2012年11月26日 通过学习《初中数学习题课教学的研究》，我觉得受益匪浅，对习题课有了一个全新的认识。课改提倡优质高效的课堂教学，那么,什么样的数学习题课堂才是高效的呢?我认为一堂课是否高效取决于是否牢牢吸引住学生,主要表现在课堂上学生是否在积极思考,而不是被动听讲;学生是否在探索问题解决的方法,而不是简单模仿和记忆;学生的思维水平是否得到有效的锻炼. 习题课的教学没有固定的教学模式，要因人而异，因学生的不同而不同，所以要远远比新授课的教学更有难度 一、我在习题课教学中的做法 1 复习知识点；2选取适当的例题进行讲解，当然例题要有代表性，灵活性，覆盖性; 3 学生做相应的练习题，以达到巩固和灵活运用的目的在平时的教学中我发现,很多学生能够很好地完成课本习题,却不能在考试中取得好的成绩.是否必须解大量的课本外的题才能真正提高解题能力?学生已能正确地完成课本习题,思维能力却不见提高。这个问题,在最近两年中一直困扰着我.实质上这个问题是教师对教育规律和练习设计把握不当的表现.下面我就重点谈谈如何上习题课。 首先，要营造一个激励探索的氛围，教师要善于根据问题的性质、学生的认识规律和学生所学知识的内部联系，创设一种问题情境，以引起学生内部的认知矛盾冲突，激发起学生积极、主动探索解决问题的方法等思维活动，从而达到掌握知识、发展能力的教学目的。教师工作贵在启发，重在信任。教师要善于根据问题的性质、学生的认识规律和学生所学知识的内部联系，创设一种问题情境，以引起学生内部的认知矛盾冲突，激发起学生积极、主动探索解决问题的方法等思维活动，从而达到掌握知识、发展能力的教学目的。每个学生都有分析、解决问题和创造的潜能，都有一种与生俱来的把自己当成探索者、研究者、发现者的本能，他们有要正视自己思想的欲望。如果我们的教学能把握住这一点，那么就有可能引导学生表现出更充足的自信、更认真的思考，就有 其次，教学中要重视对数学思想和方法的渗透，不仅要培养学生的应用意识，而且还应使学生学会数学的思考和处理问题。 教师要时时注意渗透数学中的转化思想和构造思想，其不露痕迹的帮助可以有效启发学生的思维。日积月累，学生收获的将不仅仅是数学知识，收获的还有“数学思考”的意识和“问题解决”的艺术。当今社会，已把数学素养作为公民素养的一部分。而数学素养的标志就是能从数学的角度提出问题、理解问题和思考问题，并能初步形成解决问题的一些基本策略。没有数学思想的渗透，学生怎会有一个良好的数学思维习惯？没有良好的数学思维习惯，哪有数学素养的培养？教学中一定要重视数学思想和方法的渗透，不仅仅是数学中的重要观点，同时还有数学中的思想方法和数学活动都应成为我们课堂教学的主线，并且应尽可能早的以不同形式反复出现在学生的学习活动中。让学生动起来，让数学课活起来，让学生充分体验到数学学习的内在魅力，从而获得对数学较为全面的体验和理解。 最后教学中要重视揭示获取知识的思维过程，重视对学生回顾与反思意识的培养。我们更多的是告诉学生“这么做、这么做”，而忽略“为什么这么做？”须知学生的思维能力的发展绝不等同于知识与技能的获得，学生能力的形成是一个缓慢的过程，有其自身的特点和规律。它不是学生“懂”了，也不是学生“会”了，而是学生通过对重要的数学思想方法的领悟、对数学活动经验的条理化、对数学知识的自我组织等活动来实现的。复习知识点，应该没有什么难度，只要不贪多，有针对性，明确性就好。在例题的选取上，同样要有针对性，目的性，代表性，灵活性，覆盖性。只要找好题，在讲解上，方法要灵活，不一定是老师进行讲解，引导学生进行讲解，老师多鼓励，给予肯定并及时总结，效果会更好，不仅激发了学生的表现欲，还进一步激发了学生的求知欲。另外例题要灵活，难易程度要由易到难看，循序渐进，符合学生的认知规律，便于学生更好的接受；形式上要善于多变，训练学生们的思维的灵活性，多变性；选题上重点要突出，偏难偏怪的方法，也要适当渗透，保证尖子生能够吃饱，吃好，使对所学知识的认识有所加深，方法上要灵活运用，并掌握对付部分难题的狠招，绝招，才能够应付中考试题的灵活性，多变性，取得理想成绩。 二.在习题课教学中的困惑 教学难点就是在解题以后，回过头来对解题活动加以反思、探讨、分析与研究是非常重要的环节。因为对解题过程的回顾和审视会对题目有更全面、更深刻的理解，既可以检验解题结果是否正确、全面，推理过程是否无误、简捷，还可以揭示数学题目之间规律性的联系，发挥例题、习题的“迁移”功能，收到“解一题会一类”的效果。有时甚至还会得到更完美的解答方案。
版块八:初中数学习题课教学的研究 作者:杨毫 来源:萍乡四中工作站 日期：2012年5月17日 (注:本文在下载编辑时可能会丢失一些数据和图表,各位读者可到网上查阅原文) 一、课型特征、目的 习题课是初中数学学习的一种重要课型。习题课是新知课之后，教师有目的、有计划地指导学生运用已学过的知识解决一系列问题的教学活动。该课型应体现学生的学习活动是在进行“解决问题学习”，也就是把已经掌握的基本概念，基本的公式、法则、定理，迁移到不同情境下加以应用，找出解决当前问题的方法，并加以比较，择优。 其目的是巩固知识、学会解题，发展思维。 （1）通过习题课可以使学生加深对基本概念的理解，从而使概念完整化、具体化，牢固掌握所学知识，逐步形成完善合理的认知结构。 （2）习题课的目标之一是使学生学会解题，学生在解题中容易出现审题入手难、解题遗漏多等问题，解题准确与否与解题习惯密切相关，如能给予学生一定的解题思维程序，对学生学习如何解题有一定帮助。习题课的教学是对所学过的、所解决的习题作一回顾和提高，不仅巩固应用所学知识，而且还应该是知识的升华与提高，更是方法的提炼与总结以及数学思想方法、思维能力的培养与训练，同时也要培养学生良好的解题习惯。 （3）由于数学知识严密的逻辑性与高度的概括性，在例、习题中,还隐藏很多没写明的东西。即使最简单的例、习题里，也存在着可发掘的因素，而这些往往并不是学生们所能领会的。因此，就需要设计一些习题课，教师引导、点拨，学生进行观察、归纳、类比、抽象，学会解题，能够准确地判断、决策并简洁严谨地表达，给学生以施展才华、发展思维，锻炼能力的机会。 因此，上好习题课，对于总结归纳基本知识点和基本方法，提高学生分析和解决问题的能力具有决定性意义。 二、习题课的分类 1、根据教学时间段落的不同，我们就可以明确习题课的主题和类型了，习题课的一般类型有：单元习题课、章节习题课、总复习习题课。 在一个单元章节结束时，针对本单元、本章节的学习过程，针对学生对知识理解的错误及运用知识解决问题时普遍存在的问题而设的带有提高性质的习题课。 2、根据教学任务的不同，习题课的一般类型有： 概念强化习题课、方法归纳习题课（专题习题课）、纠错习题课、试卷分析习题课等等。 概念强化习题课：是在新概念、新规律建立时，为准确认识新知识的内涵、条件、范围及基本运用方法而设的习题课，这种习题课不一定单独进行，可以是与讲授新课结合在一起，也可以单独讲授。 方法归纳习题课（专题习题课）：是学完数学知识系统中占有重要地位的知识，或是对数学思维的形成及对今后的学习有着重大影响而难度又较大的知识后，为帮助学生提高认识及减轻学习困难、提高某些能力与方法的运用水平而设置的习题课。 三、如何备好习题课（理念、目标、内容（选题）、教法） （一）备教师 我们都知道，课堂上的主要对象有教师、学生和教学内容。而传统意义上的备课只是备教材，但是我觉得要想备好课、上好课，首先要备教师。什么是备教师？教师怎么自己备自己呢？从以下两点解释一下：更新、反思。 1、更新就是更新观念。 传统的数学习题课通常采用“知识点的回顾——典型例题讲解——巩固练习——归纳小结”的讲授型教学模式。这种习题课模式的优点是：体现了知识的系统性和框架结构、突出复习重点、题目练习容量大、密度高、节奏快、便于操作，达到教学目标用时较少。因此，长期以来广大教师乐于采用这种复习模式。但这种复习模式中，学生经常属于被动接受知识的地位，教师讲什么，学生就只能听什么，教师认为哪里需要重点讲，哪里需要突破难点就花大力气突破。 但是它忽略了学生才是学习的主体的事实，导致在习题课中，学生缺乏学习的主动性、缺乏自主学习、合作研究的机会，缺乏及时有效的反馈，使习题课流于仅仅是知识点的简单罗列和大量的例题的呈现，使习题课的功效大打折扣。 要提高习题课的有效性，我们教师必须要更新观念。 学生的地位和作用：新课标理念下的数学习题课一定要突出学生知识的意义建构。根据建构主义理论，学生的学习是学生主体基于已有的知识和经验由学生自己主动、积极建构的过程。这种建构不可由他人替代，学习者不是被动的刺激接受者，而是信息加工的主体、是意义的主动建构者。 教师的地位和作用：教师不应是知识的传授者与灌输者，而应作为学生自主探究、合作交流、反思提高的指导者与合作者。 教学过程：新课标理念下的数学习题课的教学过程，必须突出学生是学习的主体，关注学生的自主探索和思考，重视对学生思维、能力、发展性和创造性的培养，强调学生亲历体验并参与研究过程，学生获得对知识理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。 这些新的理念不仅武装了我们的头脑，更重要的是我们要把它落实在教学实践中。 2、备教师的第二点是反思。反思教学中的得与失，反思学生学习效果的成因等等。 这样的反思对备好和上好一节课习题课起到重要的作用。 举例：在有理数乘法的教学中，我们常会遇到这样的一道题目： 。 新课教学时教师引导学生思考如何运算简便，学生结合小学学习的经验可以想到将 拆成两个数，如 或者 ，经过两种方法的对比，就本题而言选用 比较简便。那么为什么在作业中还是出现了错误呢？ 错例1： 错例2: 发现都是符号写错了。 老师和学生都会分析错因，学生会按照老师的要求重新做一下这道题，并许诺下次仔细检查。 学生和教师分析对比：
学生经常在此出错，就应该引发教师进行反思：为什么错？和我的教学有什么关系？我怎样改变教学方法或者解题方法会对学生有帮助？ 解法对比： 反思：对比两种解法，在新课的教学中可能更重视了对 的分析，并且用-25去乘30和 也没有错误；但是忽视了有理数运算的步骤，应该先确定符号，再计算绝对值。并且方法2更符合学生的认知基础，他们在小学对 这样的乘法运算做的比较好，我们应该加以利用。 经过认真反思，想出比较好的解决办法后进入课堂进行教学，针对性和有效性一定会大大提高。 （二）确定教学目标 和新课一样，教师需要备教材、备学生。尤其是我们教师要清楚自己所教的学生的情况，他们哪里会了掌握的很好就不需要再重复，哪里不会或者已经发生了混淆的地方就是我们上课要解决的问题，某种重要方法运用的不够灵活，它就是我们要加强练习的。如此根据学生的具体情况而制定的教学目标可能和同备课组的其他老师不一样，但是它一定要适合您所教的学生的。 习题课的目标就是要通过本节学习，巩固哪些知识，扩展哪些知识，掌握哪些解题方法，理解和体验哪些数学思想，形成什么技能，这些都要有明确的目标。 举例：总复习之专题习题课----求代数式的值。 在初三总复习的教学中制定教学目标的依据比其他年级增加了《考试说明》。如：对求代数式的值的要求是：“能根据特定的问题所提供的资料，合理选用知识和方法，通过代数式的适当变形求代数式的值（c级）”，属于较高要求。 我们来看几道近年的中考题和模拟试题： （2008北京）已知x-3y=0, 求 的值。 （2009北京）已知 , 求 的值。 （2010铜仁）已知 , 求 的值。 （2010模拟）已知 ，求 的值。 在初一和初二的教学中，没有达到这个要求，因此需要专题训练。 “通过代数式的适当变形”就是对代数式进行化简，涉及的知识主要有整式运算、分式运算、二次根式的运算等，这些都是要求学生熟练掌握的，在本节课要加以巩固，因此教学目标定为：熟练进行整式运算、分式运算以及二次根式的运算。 “合理选用知识和方法”主要是代入求值的方法，有的题目是直接代入，有时题目是将条件或者等价条件整体代入求值，对于整体代入是解决一些问题的重要方法，是本节课的重点，但是学生对其不很熟悉，属于需要扩展的知识，因此教学目标定为：掌握用整体代入求代数式的值的方法，体验换元思想。 如此，依据《考试说明》、根据学生的认知情况，对教材内容进行整合、加深和扩展是有依据的，保证教学的科学性和实效性。 （三）精心选择题目 著名数学家波利亚也曾说过“掌握数学就是意味着擅于解题”。 习题课作为一种重要的教学补偿手段，精选一些与教材内容相联系的习题展开分析和讨论，提高学生运用所学知识分析和解决较为复杂的具有灵活性和综合性问题的能力。一节习题课的质量的高低很大程度上取决于教师对习题的选择。 ①例题的安排要有非常强的示范性。首先要让某些例题体现主要知识点的运用，体现通解通法，以起到加强双基的示范性，再通过适当的变式引申、变式训练，以达到夯实双基、举一反三之效。例题的安排要体现教学解题方法的训练和解题技能的培养，要揭示例题的解题规律和体现例题的数学思想，这样才能体现例题的典型性。教学过程中，分析例题前可适当回顾知识要点及解题的基本方法，以便例题的学习更自然、更轻松。 ②习题的配备要有阶梯性。习题类型一般有基础知识型、基本方法型、综合提高型、创新应用型等，在难度上要有低、中、高三级题型，这三级之间还应插入级与级之间的“缓冲”习题，形成“小坡度、密台阶”习题，这样安排有利于学生在“发现区”内解题，利于学生“步步登高”，利于学生树立解题的必胜信心。当然适当安排综合提高型和创新应用型习题，有利于程度较好的学生的学习和提高。需要注意的是,习题课中不仅要求学生得到正确的计算结果,更要重视计算过程,注重思维训练,让学生有所“悟”。 ③习题的设计必须有一定的关联，比如，可以是同一个知识点的层层深化，也可以是一个知识点与不同知识在不同背景下的组合。 关于变式练习和题组练习：我认为这两种练习的形式都非常好。伽利略曾说过“科学是在不断改变思维角度的探索中前进的”。在习题课的教学中，如果我们灵活地改变题目的条件或结论，巧妙地把一个题目化成一组要求不同或难度不断变化的题组，不仅可以使学生易于掌握应用之要领，也可使学生能从前一个较简单问题的解答中领悟到解决后一个较复杂问题的途径，从而达到举一反三的目的。故而课堂教学要常新、善变，通过原题目延伸出更多具有相关性、相似性、相反性的新问题，深刻挖掘例习题的教育功能，培养学生创新能力。 ④对例题和习题的安排，数量要适中。不要搞题海战术，但巩固基本知识、方法与技能培养的必要的题目还是要有的，要让每个题目具有代表性、典型性、示范性，并注意体现方法和规律，这样才能达到举一反三、事半功倍之效。 举例：初三的教学内容，《直线与圆的位置关系》，在新课之后发现学生面对切线的证明还是觉得比较困难。于是我设计了一节习题课——圆的切线的证明。 下面我就这节课具体谈一下习题课的备课问题。 首先是确定教学目标。圆的切线的证明是中考的一个重要考点，除了阅读研究《新课标》我还认真学习了《2010年中考数学学科考试说明》，《考试说明》对圆的切线的相关要求是一下几点，其中与本节课相关的是：b级要求“能判断直线和圆的位置关系”。 接着我分析了学生情况，对于圆的切线证明的两种主要方法：（1）已知圆心到直线的距离，利用d与r的关系进行判定（学生掌握较好）；（2）已知半径（联结半径），需要证明垂直关系进而应用定理进行判定（学生不能灵活运用）。究其原因，主要是证明垂直关系时遇到困难。 基于以上分析，结合学生的认识基础，我确定了本节课的教学目标是： 【教学目标】 1．能灵活运用圆的切线的判定和性质解决相关的证明和计算； 2．在分析问题、解决问题的过程中探究解题的方法并逐步建立面对中考的自信心； 3．体会转化的数学思想。 【教学重点】圆的切线的判定和性质的应用。 【教学难点】灵活运用切线的判定和性质来分析问题和解决问题。 接着便是例、习题的配备。 课本例、习题均是经过专家多次筛选后的精品，教材丰富的内涵，是编拟中考试题的源泉。有的试题直接取自教材；有的试题是教材例题、习题的改变、延伸和拓展；有的试题是教材的几个题目、几种方法的组合。课本习题蕴含着无穷的魅力。所以，我建议老师们在题目的配备中，要优先考虑课本中例题与习题，或进行适当改编，编制一题多解、一题多变、一题多用、多题一法的习题，提高学生灵活运用知识的能力。 我经过大量的做题，发现课本（《北京市义务教育课程改革实验教材》第18册）中的一道习题与近年的中考题有着密切的关系，于是我决定将其选择为例题，然后根据其特点配备了3类题目。我们先一起看一下课本的的习题： （是这样的一道题） 课本第18册《圆下》 p13。 b组 第4题 如图，在rt△abc中，∠c=90°，ad是∠bac的平分线。以ab上一点o为圆心，ad为弦作⊙o。 （1）求证：bc为⊙o的切线； （2）若ac= 3，tan b= ，求⊙o的半径。 这道题对于学生来说是有一定的难度的，一方面证明圆的切线是某些学生的弱项，另一方面本题中的圆是未知的，需要学生作出。于是引导学生根据题目中的已知条件“以ab上一点o为圆心，ad为弦作⊙o”先要作出圆o。作ad的垂直平分线交ab于点o，然后以点o为圆心，oa的长为半径作圆得到满足题意的圆o。如何证明bc为⊙o的切线呢？学生容易想到联结od，只需证明od⊥bc。 垂直关系的证明是解决圆的切线的证明的关键，也是本节课的重点。 我们知道，结合题目中已知条件“∠c=90°”，可以将问题接着转化为证明“∠3+∠adc=90°” 或者“od∥ac” 。学生对于证明两角互余相对来说容易想到，由学生口述思路，然后全班总结得出证明垂直的一种有效的方法是证明“两角的互余关系”。然后请学生独立练习，本题是巩固刚才的方法。课本的这道习题还有另外的证明方法，就是“od∥ac”。学生不易想到，于是我引导他们一起回顾初二的一道习题： 课本第15册《等腰三角形》 p110。a组 第4题 已知：如图，在△abc中，∠1=∠2，de∥ba。 求证：△ade为等腰三角形。 学生解决这个问题会比较顺利。 变式1：已知：如图，在△abc中，∠1=∠2，ae=de。求证： de∥ba。 变式2：已知：如图，在△abc中，ae=de，de∥ba。求证：∠1=∠2。 这个图形在三角形和四边形的学习中是常见的基本图形。学生对这个图形和结论都比较熟悉。在复习了基本图形后，学生从复杂图形中分离出基本图形就能解决这个问题了。或者从条件看有等腰三角形、有角平分线那么可能会出现平行线。如果这个图形与圆进行组合，那么等腰三角形可能会变成隐含条件，在圆中，两条半径就是等腰三角形的两腰。 前面已经对课本的一道习题进行了一题多解，培养了学生的分析能力和发散思维。下面是这道题的不同变式（选用的是今年的中考题和模拟试题，以加强针对性，同时有助于学生建立迎考信心），通过多题一解培养学生的识图能力和分析问题、解决问题的能力。 1．(2008年宣武二模试题)如图，已知点o为rt△abc斜边ab上一点，以o为圆心，oa为半径的圆与bc相切于点d，与ab相交于点e，与ac相交于点f．试判断ad是否平分∠bac．并说明理由． 本题与课本题目的区别是题设和结论互换了，证明难度不大。 2．(2009年丰台二模试题) 如图，△abc中，ab＝10，bc＝8，ac＝6，ad是∠bac的角平分线，以ab上一点o为圆心，ad为弦作⊙o． (1)求证：bc是⊙o的切线；(2)求⊙o的半径． 我们看一下本题与课本题目的联系，本题中直接给出圆，但是需要通过勾股定理的逆定理来判定“∠c=90°”。也就是说，证明了“∠c=90°”就转化成已经解决的课本习题了。 3．(海淀二模)如图ab是⊙o的直径，cb是⊙o的弦，d是 的中点，过点d作直线与bc垂直，交bc延长线于e点，且交ba的延长线于f点． (1)求证：ef是⊙o的切线；(2)若tanb＝ ，be＝6，求⊙o的半径． 分析：本题中由于“∠e=90°”，只需证明od∥be。 已知中的“d是 的中点”可知弧ad等于弧cd，因此所对的圆周角∠1=∠2，再由半径相等推出∠1=∠3，所以∠3=∠2，故od∥be。 本题还有其他证明方法，上课时要给予正确的评价。 4．(东城二模)如图，已知⊙o是△abc的外接圆，ab是⊙o的直径，d是ab延长线的一点，ae⊥cd交dc的延长线于e，cf⊥ab于f，且ce＝cf． (1)求证：de是⊙o的切线；(2)若ab＝6，bd＝3，求ae和bc的长． 分析：根据已知条件“ae⊥cd，cf⊥ab，且ce＝cf”利用角平分线性质定理的逆定理可得ac平分∠eab。后面易证。 学生通过多题一解的变式练习已经能够解决此类型的问题，可能会信心大增，同时会觉得这么简单啊，图形都是一样的，那么就换点不一样的看看。如： 5．(2009年顺义二模)已知：如图，δabc中，ac=bc，cd⊥ac交ab于点d，点o在bc上，⊙o经过b、d两点，且与bc交于点e． (1)试判断cd与⊙o的位置关系，并加以证明；(2)若ac=16, , 求⊙o的半径． 分析：在联结od之后发现如果od∥ac，那么od⊥cd。 而od∥ac通过角的关系容易得到。 再比如2010年海淀一模的第20题，虽然图形不同但是证明的整体思路是一致的。 最后我安排了两道反馈检测题，分别是08和09年北京市的中考题。为什么选择这两道题呢？一方面是考察学生的掌握情况，另一方面是让学生感受中考题不可怕，是有方法可循的。08年的题是第一种方法（互余）的应用，09年的题是第二种方法（平行）的应用。 由此可见，教材上的例习题很重要，我们不应“丢了西瓜去捡芝麻”，忽视教材上的习题去搞大量的课外习题。 即使我们老师在题海中畅游，也是要有方向的，这个方向便是《课程标准》和教材，这样才能取得良好的预期效果。 总结：教师在教学中有目的、有计划地精心编制习题，可避免低水平的重复，使学生拓宽学习领域，也可使每个学生都在原有的基础上得到发展，让学生获得成功的体验以及学好数学的信心，能收到良好的教学效果，从而提高课堂教学效率。 （四）教学方法 习题课的教学方法没有固定的要求，要根据学情和教学目标、内容而定。 但是单一的传授式或者就题教题都会使使 学生产生对数学的厌烦情绪，更不用说提高学生的思维能力了。因此，在习题课中，要让学生自练、自悟、自得，教师只是不失时机的点评才是上策。要让学生自悟出数学规律、数学思想方法，自得出解题技能。要实现上述目标，要灵活选择师生互动性强、学生参与度高的教学方法。 四、如何上好习题课 在精心准备好一节课后，课堂教学是关键。我们知道课堂的主人是学生，现代教育观评价一节课的好坏不光是看教师教的怎么样，更关注学生学会了什么，会学了什么。因此教学更应该以学生为本，注重以下的四个原则。 （一）主体性原则 习题课教学过程要充分体现学生为主体，教师为主导的思想。 1、教师要精讲。“精讲”不等于讲得越少越好，教师的讲要讲到点子上，要充分展现解题的思路、方法和规律，要解惑、释疑，疏导学生在思考、解决问题中碰到的疑难，要讲清解题的规范要求。教材已经详尽叙述的简单运算过程，教师可以略讲甚至不讲，让学生看书或自行解决。这就要求教师在备课前及时了解学生学习中遇到的难点及疑点内容，有时还需要主动发现问题，这样才能在上课时有的放矢，讲解更能击中要害，学生能会的就不要讲，学生能代老师讲的尽量让学生讲。 2、学生要精练。有诀窍说“听一遍不如看一遍，看一遍不如做一遍，做一遍不如讲一遍，讲一遍不如辩一辩”的。学生除了听老师讲，看老师做以外，要自己多做习题，而且要把自己的体会主动、大胆地讲给大家听，暴露思维受阻的原因，遇到问题要和同学、老师辩一辩，坚持真理，改正错误。使学生在不断克服困难中学会解题以培养学生自主学习的能力。 举例：纠错习题课 纠错习题课的模式可以选用：展示—练习—再练习—小结 传统的纠错方法是教师将错例在黑板上抄写下来或者印发试卷，然后教师再一一指明错在哪里，怎么错的，今后如何注意等问题。是一种主观的教学，缺少学生的参与就缺少了思想性，更谈不上思维的碰撞。 现在利用现代信息技术展示错例的方式更加多样化也更加便捷了。如，用实物投影展示，或者将错题用照相机拍摄下来展示照片。利用照片的优势是信息量大，同时照片上没有学生的姓名信息，更好地保护了学生的自尊心。 展示错例，由学生指出是哪里出错了、分析错因，最好提出自己的解决办法，然后独立完成教师事先准备好的与之配套的题目进行练习。之后第二轮展示，可以用投影的方法展示学生练习的过程和结果，可以是教师选择有代表性的练习进行展示，也可以由学生毛遂自荐进行展示，还可以是本小组推荐某名同学进行展示，当然在全班范围内用邀请与被邀请的方式展示效果也不错，这些展示方法经常轮换使用，不仅可以让学生觉得课堂学习的形式常变常新，更重要的是可以促进学生认真地听讲、善于发现问题以及严谨书写，从而提高了学习效率。 最后，引导学生反思小结，提出自己的解题策略，形成方法，提高解题能力和解决问题的能力。 3、“学案导学”教学模式.学案导学是学生根据教师提供的预习题先预习，在学生预习的基础上生与生、师与生再进行交流讨论的一种教学模式。 我听过一位老师的习题课，是关于一元一次方程单元概念的复习习题课。这位老师用的也是学案导学，同时她将教师设计学案，变为给定范围、明确目标有学生自己制定学案，更加充分地调动了学生的积极性和主动性。具体做法是：老师在平时的教学中，要求每位学生将错题整理在一个本子上，成为《错题集》，在一元一次方程的解法之后，教师组织学生对所学知识进行整理，将平时易错的题目分类整理。范围：
学生根据自己和自己小组中同学经常出错的题目进行分析，找出错误原因，并提出合理的建议。 在课上，教师展示知识结构图后，请学生代表充当小老师的角色，将知识分成4块进行讲解，学生提出问题，不同小组的学生进行解答，当学生之间的意见发生分歧时，教师给予建议，学生继续讨论，最后教师进行点拨和点评。然后教师出示一组“过关检测”来检测反馈学生的掌握情况。当学生的准备没有达到本节课教师预想的水平时，教师在学生讲述之后补充例题，引导学生进行分析，解决问题。 这样的一节课，学生是课堂的主人，教师是合作者和引领者，既保证了基础知识的落实，又使学生学会了如何解题，更重要的学生会学习了。 （二）启发性原则 贯彻这一原则要做到以下三点： 1．提出具有启发性的问题。提出与学生认识上产生矛盾的问题，形成一条由问题（或问题组）构成的教学主线，使学生进入有意义自主学习的心理过程。提出与学生认识上产生矛盾的问题，促使学生出现认知的需要，即产生浓厚的兴趣。这时学生注意力集中，情绪饱满，想象横生，我们可以把这种状态称为“教学的最佳心理状态”或“智慧发展的最佳状态”。教学中促进发展的最佳水平，就是在“教学的最佳心理状态”里实现的。 举例：概念强化习题课——四边形习题课 教师通过作业等反馈信息了解到学生对四边形这一章繁多的概念发生了混淆，没有形成知识体系。因此，在习题课上，针对这些问题回顾概念形成的过程，通过变式设问来加深对概念的理解。 针对学生概念模糊预先设计如下“问题链”： ①顺次连结任意四边形各边中点所得的四边形是什么图形？ 用来巩固三角形中位线的定义、定理以及平行四边形的判定等知识。 ②如果把“顺次连结任意四边形各边中点所得四边形”定义为这个四边形的“中点四边形”，试分别说出平形四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形的中点四边形是什么图形。 以等腰梯形为例：如图，四边形abcd是等腰梯形，四边形efgh是其中点四边形。根据问题①易证四边形efgh是平行四边形，在进一步判断平行四边形efgh的形状时需要ac和bd的关系，因此要用到等腰梯形对角线的性质，在证明了eh=ef后，依据菱形的判定定理证明平行四边形efgh是菱形。 问题②用来巩固所学各种四边形的性质和判定。 ③分别说出对角线互相垂直、对角线相等的四边形的中点四边形是什么图形。 学生比较容易得到上述问题的结论，然后引导学生进行逆向提问： ④如果中点四边形分别是矩形、菱形、正方形，那么原四边形的对角线有什么特征？ 用来巩固所学各种四边形的定义、性质和判定。 通过上述多角度的提问，学生获得了多角度的理解。在弄清“中点四边形”概念内涵和外延的基础上，真正掌握了概念的本质属性，提高了综合概括的能力，培养了思维的准确性。 2．启发学生立疑释疑。立疑是通过学生主动学习与独立思考，教师适当的引导，使学生找出疑难、发现问题。加深学生的感性体验。这是一个引导学生发现问题的过程。 释疑是当学生在学习中发现问题，要给学生留有机会进行一个深入思考和探索，自己动脑、动手、以及在相互交流的过程中尝试解决问题。在教师启发下，使学生经过自己的独立思考、融会贯通地掌握知识，提高分析问题、解决问题的能力。 3．发扬教学民主。这是启发的重要条件，它包括建立平等民主的师生关系，创造民主和谐的教学气氛，鼓励学生发表不同见解，允许学生向教师提问质疑等。在确定解题策略时，学生可能产生各种想法和思路，要让他们有机会讲出来，创设思维的良好环境，引导学生进行解题反思，使学生在选择解题方案上有所突破。 （三）规范性原则 解答一定要合乎逻辑顺序、层次分明、严谨规范，简洁明了。在教学过程中不能只是说一说就过去了，必须要有适当的板书进行解题示范，这个板书可以是教师亲自示范，也可以是学生板演、点评后的板书，总之要使学生学会规范的书写。教师做到数学语言、符号准确，说理清楚，书写规范有序。 （四）系统性原则 思维程序突出审题探索和反思的过程，要通过归纳、总结帮助学生形成系统的知识结构，培养思维的独创性和批判性。 总复习习题课：（适合初三学生的学情、符合学生的心理特征） 中考所涵盖的知识点多、题型多，而且年年出新，复习时我们往往容易因为顾虑太多而导致杂乱无章，因此在这部分复习过程中，专题习题课的设置就显得尤其重要。在复习课中，专题习题课多出现在第一轮总复习之后。主体鲜明、针对性强、知识点复习广泛、数学思想与解题方法双提升都是其显著地优势所在。 举例：根的判别式 1．回顾知识点（以题带知识点的形式比较好）； 2．例、习题：在总复习阶段，例题和练习题有时不必要划分的很清楚。 （教学目标1）会用一元二次方程根的判别式判断根的情况（b级）。 配题：练习题（口答或简单的笔算，以填空或者选择题的形式出现） （教学目标2）能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况（c级）。 配题：例题（2010西城一模）已知：关于x的方程 ． 求证：无论m取任何实数时，方程总有实数根； 学生容易忽视分类讨论，即当二次项系数为0时，此方程是一元一次方程，有解；当二次项系数不为0时，证明判别式非负即可。 学生独立完成，一生板演（找一名没有进行分类讨论的学生板演）。全班点评，指明错误、分析错因、如何改正以及如何才能避免错误的再次出现。 学生分析、反思后，教师再提升小结，从学习方法的角度，如何审题？即要求学生对题目的条件和结论有一个全面的认识，要帮助学生掌握题目的数形特征。有些问题往往需要对条件或所求结论进行转换，使之化为较简单易解或具有典型解法的问题。如果题中给出的条件不明显，即具有隐含条件，就要引导学生去发现。通过认真审题，可以为探索解题指明方向。最后要规范解题过程。 解：（1）分两种情况： 当m=0时，原方程化为 ，解得 ， ∴当m=0，原方程有实数根。···· 1分 当 时，原方程为关于x的一元二次方程， ∵△ 。 ∴原方程有两个实数根。 综上所述，m取任何实数时，方程总有实数根。······· 3分 此时学生一定对解决此类问题充满信心，于是我们带领学生迎接更高的挑战。 （教学目标3）由方程根的情况确定待定系数的取值范围；会用配方法对代数式作简单变形（c级）。 配题：例题（2010顺义一模）抛物线 与 轴有两个不同的交点． （1）求 的取值范围； （2）当 为整数，且关于 的方程 的解是负数时，求抛物线的解析式。 例1是采用黑板正确的范例形式展示的，例2改变一下，仍然由学生独立完成，不同的是教师在巡视过程中搜集学生具有代表性的练习本留作实物投影之用，如：错例、正解、书写工整、过程不严谨等正反两方面的例子。学生在思考、对比、评价、反思的过程中提高自己的分析能力以提高解题的正确率和速度。 分析：抛物线与 轴有两个不同的交点，相当于方程 =0有两个不相等的实数根，即 ，进而求解。 解：（1）依题意，得 ∴ 的取值范围是 且 ． …………… 2分 （2）解方程 ，得 ．…………… 3分 ∵方程 的解是负数，∴ ． ∴ ． …4分 ∵ 为整数，可得 ．∴抛物线解析式为 ． …5分 说明：抛物线与x轴的交点个数就是二次方程根的个数。 配题：练习 1.（2010丰台一模）已知二次函数 ．求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点； 2.（2010崇文一模）已知p（ )和q（1， ）是抛物线 上的两点． （1）求 的值； （2）判断关于 的一元二次方程 =0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由； （3）将抛物线 的图象向上平移 （ 是正整数）个单位，使平移后的图象与 轴无交点，求 的最小值． 选题意图：巩固根的判别式的作用及条件，加强二次函数的图象与x轴的交点情况与一元二次方程的根的情况的联系，由易到难帮助学生形成较系统地知识结构。 在解题以后，回过头来对解题过程加以反思、探讨、分析与研究是非常重要的环节。因为对解题过程的回顾和审视会对题目有更全面、更深刻的理解，既可以检验解题结果是否正确、全面，推理过程是否无误、简捷，还可以揭示数学题目之间规律性的联系，发挥例题、习题的“迁移”功能。 最后，做好巩固练习及反馈处理。习题课的结束肯定不能代表任务的完成，学生对这节课掌握了多少，掌握的怎么样，应该得到及时的反馈，因而对学生的检测和反馈练习是必不可少的环节。学生的巩固练习中，在强调目的性、针对性、差异性的同时，更要注重重现性。有代表性、典型性、关键性的习题不要认为老师讲过了、学生做过了就过关了，必须有目的、有计划地安排一定程度的重现性作业，才能保证学生获得牢固的知识和熟练的技能，但要注意重现并不等同于机械的重复。另外，还必须体现一定的开放性，要让学生有自我发挥的余地，引导鼓励学生提出问题，寻找伙伴完成研究性作业。只有这样，才能真正的达到习题课的目的。 五、教学建议 1、从宏观看:数学习题课要敢于突破，不要程式化，可以从讲授顺序、讲授的深度和广度、讲授的时间和空间等方面进行调整和反思。尤其要重过程、重复习、重纠错、进一步从讲解上缩短时间，留足学生练习和反思的时间。 2、从微观看:既要关注教师的课堂语言准确性，也要关注重视题型研究的技术和艺术，做到两个“对”——题型设计“对”位。即选题要精，练习要准，点拨要狠，纠错要细；题目讲授“对”路，即讲授节奏要当，思路要清，分析要实，效率要高，把握三个“点”——教材内外打通的“制高点”，挑战思维的“聚焦点”，变式训练的“创新点”。 初中数学习题课应是以问题为核心、以效率为目的的课堂。只有让学生从题海战术中解脱出来，学的灵活，学的扎实，优化学习过程，提高效率，我们数学教学才能更上一层楼。 |
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