开放探究题
开放探索性试题在中考中越来越受到重视，由于条件与结论的不确定性，使得解题的方法与答案呈多样性，学生犹如八仙过海，各显神通。
探索性问题的特点是：问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，需要自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的结论或条件或方法，这类题主要考查学生分析问题和解决问题的能力和创新意识。
这类题对同学们的综合素质要求比较高，这类题往往作为中考试卷中的压轴题出现，在中考中所占比例在9％左右。
1．条件开放与探索
给出问题的结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不惟一，这样的问题是条件开放性问题。它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因。
[例1]已知△ABC内接于⊙O，
⑴当点O与AB有怎样的位置关系时，∠ACB是直角？
⑵在满足⑴的条件下，过点C作直线交AB于D，当CD与AB有什么样的关系时，△ABC∽△CBD∽△ACD？
⑶画出符合⑴、⑵题意的两种图形，使图形的CD＝2cm。
[解析]：⑴要使∠ACB＝90°，弦AB必须是直径，即O应是AB的中点；⑵当CD⊥AB时，结论成立；⑶由⑵知，即，可作直径AB为5的⊙O，在AB上取一点D，使AD＝1，BD＝4，过D作CD⊥AB交⊙O于C点，连结AC、BC，即得所求。
⑴当点O在AB上（即O为AB的中点）时，∠ACB是直角；
⑵∵∠ACB是直角，∴当CD⊥AB时，△ABC∽△CBD∽△ACD；
⑶作直径AB为5的⊙O，在AB上取一点D，使AD＝1，BD=4，过D点作CD⊥AB交⊙O于C点，连结AC、BC，即为所求（如下图所示）。
[评注]：本题是一个简单的几何条件探索题，它突破了过去“假设——求证”的封闭式论证，而是给出问题的结论，逆求结论成立的条件，强化了对学生通过观察、分析、猜想、推理、判断等探索活动的要求。看似平常，实际上非常精彩。
[例2]（鄂州市中考题）如图，E、D是△ABC中BC边上的两点，AD＝AE，要证明
△ABE≌△ACD，还应补充什么条件？
[解析]：这是一道条件开放题，解题关键是由AD＝AE，可
以得出∠1＝∠2，这样要证明三角形全等就已经具备了两个条
件。在△ABE和△ACD中只需要再有一个条件，即可证明
△ABE≌△ACD。于是可补充以下条件之一：
⑴BE＝CD（SAS）
⑵BD＝CE（此时BE＝CD）
⑶∠BAE＝∠CAD（ASA）
⑷∠BAD＝∠CAE（此时∠BAE＝∠CAD）
⑸∠B＝∠C（AAS）
⑹AB＝AC（此时∠B＝∠C），……
[评注]：本题应充分利用已掌握的知识，从多个角度去思考、分析，并大胆猜想，寻求尽可能多的方法。
[例3]（北京市东城区）在△ABC与△A/B/C/中，∠A=∠A/，CD和C/D/分别为AB边和A/B/边上的中线，再从以下三个条件：①AB=A/B/；②AC=A/C/；③CD=C/D/中任取两个为题设，另一个为结论，则最多可以构成_____个正确的命题。
[解析]：根据题意，需分情况构造命题，再判断命题的真假性。
⑴若∠A=∠A/，AB=A/B/，AC=A/C/，则得△ABC≌△A/B/C/（SAS），∴CD=C/D/（全等三角形对应线段相等），可以构成真命题。
⑵当∠A=∠A/，AB=A/B/，CD=C/D/时，不能推得△ABC与△A/B/C/，或△ADC与△A/D/C/全等，∴AC与A/C/不一定相等。
⑶同理，当∠A=∠A/，AC=A/C/，CD=C/D/时，也不能证明AB=A/B/成立。
∴真命题只有1个。
[评注]：本题是探索性问题颇具新意的一例，本题需在分类构造命题的基础上，对命题的真假性给出判断，以一种新的方式突出了对考生推理、思维能力的考查，题目新颖，问题开放，贴近基础。
[例4]在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么
还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下6个说法：
①如果再加上条件“AD∥BC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
②如果再加上条件“AB＝CD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
③如果再加上条件“∠DAB＝∠DCB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
④如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
⑤如果再加上条件“AO＝CO”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
⑥如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
其中正确的说法有（）
A．3个B．4个C．5个D．6个
[解析]：本题主要考查平行四边形的判定，但命题者别出心裁设计了一道给出结论和部分条件，让考生探索附加条件的各种可能性的开放型试题，解答这类选择题，一定要严格按照平行四边形的定义及判定定理，认真考查给出的6种说法。
说法①符合平行四边形的定义；说法②符合平行四边形的判定定理4；说法③由AB∥CD和∠DAB＝∠DCB，可判断出AB＝CD或AD∥BC，也正确；说法④可举出等腰梯形反例；说法⑤能证出BO＝CO，符合平行四边形的判定定理；说法⑥不符合平行四边形的判定定理。
应选B。
[评注]：这是一道确定以附加条件为目的的开放型试题，命题者编拟此题，旨在让考生殊途同归，起到归纳总结之作用。
[题型设计与能力训练]
1．（安徽省中考题）一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解均是和,试写出符合要求的方程组(只要填写一个即可)。
2．（乌鲁木齐中考题）已知：AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于E，若使CB=BD,则还需要添加什么条件___________（填出一个即可）。
3．如图，P是四边形ABCD的DC边上的一个动点，当四边形
ABCD满足条件：时，△PBA的面积始终保持不变。（注：
只需填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）。
4．（安徽省中考题）已知在整数范围内可以分解因式，则整数的值是__________（只需填一个）。
5．如左图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形。
⑴使三角形的三边长分别为3、、
（在图①中画一个即可）；
⑵使三角形为钝角三角形且面积为4（在图②中画一个即可）。
6．（江西省中考题）如图，已知△ABC内接于⊙O，AE切
⊙O于点A，BC∥AE，
⑴求证：△ABC是等腰三角形；
⑵设AB＝10cm，BC＝8cm，点P是射线AE上
的点，若以A、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，问这
样的点有几个？并求AP的长．
7．如图，已知△ABC，P是AB边上一点，连结CP。
⑴∠ACP满足什么条件时，△ACP∽△ABC?
⑵AC∶AP满足什么条件时，△ACP∽△ABC？
[答案与提示]
1．，，……
2．AB⊥CD或CA=DA
3．DC∥AB或AD∥BC且AD＝BC
4．±23、±10、±5、±2
5．如图所示
6．⑴略
⑵设P点在AE上，且所作的△ACP与△ABC相似，由已知AE∥BC，则∠CAE＝∠ACB，关键在寻找第二个相等的角，过点C作⊙O的切线交AE于P1，即有∠ACP1＝∠B，过点C作AB的平行线交AE于P2，即有∠ACP2＝∠BAC，则△AP1C、△AP2C都与△ABC相似，这样的点有2个，即P1，P2两点，且AP1＝，AP2＝。
7．从图中可以看出△APC与△ABC中∠A＝∠A，根据相似三角形判定定理，只需∠ACP＝∠B，或AC∶AP＝AB∶AC，就有△ACP∽△ABC。
⑴∵∠A＝∠A，∴当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△ABC。
⑵∵∠A＝∠A，∴当AC∶AP＝AB∶AC时，△ACP∽△ABC。
注意：探究过程要克服思维定势，逆向思考应具发散性，所寻求的条件往往不止一种，探究过程要防止漏掉某种情形。
2．结论开放与探索
给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求解题者探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题。它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力。
[例1]（吉林省中考题）将两块完全相同的等腰直角三角形摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，
回答下列问题：
⑴图中共有多少个三角形？把它们一
一写出来；
⑵图中有相似（不包括全等）三角形
吗？如果有，就把它们一一写出来。
[解析]：⑴先看△ABC中，一一数来共有6个三
角形，再加上△AFG，共七个三角形；⑵由于∠DAE
＝∠B＝∠C＝45°，∠ADE＝∠B＋∠1＝45°＋∠1＝∠BAE，同理∠AED＝∠CAD，可得出△ADE∽△BAE∽△CDA。
⑴共有七个三角形，它们是：
△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、△ADC、△AEC、△AFG。
⑵有相似三角形，它们是：
△ADE∽△BAE，△BAE∽△CDA，△ADE∽△CDA（或△ADE∽△BAE∽△CDA）。
[评注]：本题为考生提供了广阔的探究空间，通过分析、判断，有利于学生创新意识的形成和思维能力的培养。
[例2]如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点E。请你根据上述条件，
写出一个正确的结论（所写的结论不能自行再添加新的线段及标注其他字母），并给出证明（证明时允许自行添加辅助线）。
[解析]：根据图形易得以下结论：
①；②AC＞BC；③AE＞DE；……
可以得出的结论及证明如下：
①
如图连结AD、BC，∵∠A＝∠C，∠E＝∠E，
∴△AED∽△CEB∴，即
②AC＞BC；
如图，连结AD，
∵∠1是△ADE的外角，∠A是△ADE的内角
∴∠A＞∠1∵∠1所对的弧是AC，∠A所对的弧是BD，
∴AC＞BC；
③AE＞DE。
证法一：如图，连结AD、BD、BC。
∵∠2是△BCD的外角，∠C是△BCD的内角，
∴∠2＞∠C。而∠ADE＞∠2，∠C＞∠A，
∴在△ADE中，∠ADE＞∠A。∴AE＞DE
证法二：∵EA·EB＜EA2，ED·EC＞ED2，
而EA·EB＝ED·EC∴EA2＞ED2，即EA＞ED。
[评注]：这是一道以探索结论为目的的开放型试题，它不限结论，而是让考生根据条件去探索结论。因此，这类考题对开阔视野、启迪智慧、培养发散思维能力大有好处。
[例3]（北京市东城区中考题）有一个二次函数的图象，三位学生分别说出它们的一些特点：
甲：对称轴是；
乙：与轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与轴交点的纵坐标也是整数，且以三个交点为顶点的三角形面积为3。
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数的解析式：___________________。
[解析]：此题是一道结论开放型试题，题目条件已确定，而所要求的结论不惟一。本题以二次函数基本知识的掌握，同时也考查了学生发散思维的能力和数形结合的思想。由二次函数图象的对称性及已知条件不难分析得出，若与轴两个交点的坐标分别是（3，0），（5，0），则与轴交点为（0，3）或（0，），此时二次函数的解析式为或；若与轴两个交点的坐标分别是（1，0），（7，0），则与轴交点为（0，1）或（0，），此时二次函数的解析式为或，只要得出一个答案即可。
[例4]关于的方程，是否存在负数，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的的值；若不存在，说明理由。
[解析]：先假设存在有满足条件的值，利用一元二次方程根与系数的关系，结合题意得出关于的方程。若能求出符合题意的值，则存在，否则不存在。
设方程的两个实数根是，，由根与系数的关系，得
，
由题意得。
∴∴
又＜0，∴＝，此时△＝20＞0成立，∴＝。
[例5]（淮安市中考题）在平面直角坐标系O中，已知抛物线
的对称轴为，设抛物线与轴交于A点，与轴交于B、C两点（B点在C点的左边），锐角△ABC的高BE交AO于点H。
⑴求抛物线的解析式；
⑵在⑴中抛物线上是否存在点P，使BP将△ABH的面积分成1∶3两部分？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由。
[解析]：⑴略；⑵解本题的方法是先假设这样的抛物线存在，然后根据题中的条件进行求解。
⑴抛物线的解析式为；
⑵令，即，得，∴A(0，6)，B(，0)，C(3，0)，由题意，有Rt△BHO∽Rt△ACO，得，即，
∴，故。
假设在抛物线上存在点P，使BP将△ABH的面积分成1∶3两部分，则BP必过点(0，5)或(0，3)。
当BP过点(，0)和(0，5)时，设BP的解析式为
，则，解得
∴。由解得，，∴P点坐标为(，)
当BP过点(，0)和(0，3)时，设BP的解析式为，则，解得
∴。由解得，，∴P点坐标为(，)
故抛物线上存在两点(，)，(，)，使BP分△ABH的面积为1∶3。
[评注]：探索存在性问题的基本思路是，可先假设结论存在或成立，以此为前提进行运算或推理，若推出矛盾可否定假设，否则给出肯定的证明。
[例6]（湖北黄冈中考题）已知：如图，AB⊥CD，CD⊥BD，
垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，
我们可以证明成立（不要求考生证明）。
若将图中的垂直改为斜交，如图，AB∥CD，AD、BC
相交于点E，过点E作EF∥AB，交BD于点F，则：
⑴还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
⑵请找出S△ABD、S△BCD和S△BED间的关系式，并给出证明。
[解析]：右图所表示的是一般情况，在探索结论的过程中，应
设法将之转化为上图这样的特殊情况，故可过A、E、C点
作BD的垂线。
⑴仍成立。
证明：过点A、E、C点作BD的垂线，交BD或其延长线于点M、N、K。
易证Rt△ABM∽Rt△EFN∽Rt△CDK。
∴AB∶EF∶CD=AM∶EN∶CK。
由题设，知成立。
⑵由题设，
∴；
即；
又∵S△ABD，S△BCD，S△BED。
∴。
[评注]：本题从特殊情形入手，通过图形的变换，寻找数量上的内在规律，颇具新意。
[例7]（福州市中考题）已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上（与点A、C不重合），Q点在BC上。
⑴当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；
⑵当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；
试问，在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出PQ的长；
[解析]：本题是纯几何探索性问题，解这类题时，是先假设结论存在。若从已知条件和定义、定理出发，进行推理或计算得出相应的结论，则结论确实存在；若推证出矛盾或计算无解，则结论不存在。
⑴、⑵略。
⑶如图，△PQM为等腰直角三角形可能有两种情况：
①由右图假设，∠MPN＝90°，PM＝PQ时，由勾股定理逆定理则得∠C＝90°。
∴△ABC的AB上的高为。
设PM＝PQ＝，∵PQ∥AB，∴△CPQ∽△CAB。
∴，解之得，即。
当∠MQ′P＝90°，QP＝QM′时，同理得。
②由右图，假设∠PMQ＝90°，MP＝MQ时，
M到PQ的距离为PQ。
设PQ＝，∵PQ∥AB，∴△CPQ∽△CAB。
∴，解之得，即。
∴综上所述，在AB上存在点M，使△PQM为等腰直角三角形。
[评注]：“存在性”探索题，往往与传统的综合题相结合，来加大对考生分析、探索能力的考查，这类问题的情景新颖，富有挑战性，是启迪智慧的好素材。
[题型设计与能力训练]
1．（广西中考题）如图，OE、OF分别是⊙O的弦AB、CD的弦
心距，如果OE=OF，那么____________（只需写出一个正确的结论）。
2．（新疆乌鲁木齐市中考题）如图，已知等腰△ABC中，
∠A=∠C，底边BC为⊙O的直径，两腰AB、AC分别与
⊙O交于点D、E，有下列序号的四个结论：
①AD=AE；②DE∥BC；③∠A=∠CBE；④BE⊥AC。
其中结论正确的序号是________________。
注：把你认为正确结论的序号都填上。
3．（江苏徐州市中考题）如图，在直角坐标系中，第一次将
△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第
三次将△OA2B2变换成△OA3B3。
已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，
B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)。
⑴观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按
此变换规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标
是__________，B4的坐标是__________。
⑵若按⑴题找到的规律将△OAB进行了次变换，得到的△OAnBn，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推出An的坐标是___________，Bn的坐标是__________。
4．（河北省中考题）在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上任意一点，BE交AD于点O，某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：
⑴当时，有（如图1）；
⑵当时，有（如图2）；
⑶当时，有（如图3）；
在图4中，当时，参照上述研究结论，请你猜想用表示的一般结论，并给出证明（其中是正整数）。
5．（河北省中考题）图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为）：
在图1中，将线段A1A2向右移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B1B2（即阴影部分）；
在图2中，将折线A1A2A3向右移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B1B2B3（即阴影部分）；
⑴在图3中，请你类似地面一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影。
⑵请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：
＝_________，＝_________，＝__________；
⑶联想与探索：
如图4，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路
（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白
部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的。
6．（山东淄博市中考题）如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE。
⑴求证：；
⑵根据图形的特点，猜想可能等于哪两条线段
的比（注：只需写出图中已有线段的一组比即可）？并
证明你的猜想。
7．（福建福州市中考题）如图，已知△ABC中，AB=4，D在AB边上移动（不与A、B重合），DE∥BC交AC于E，连结CD。设S△ABC=S，S△DEC=S1。
⑴当D为AB中点时，求S1∶S的值；
⑵若AD=，，求关于的函数关系式及
自变量的取值范围；
⑶是否存在点D，使得S1＞成立？
若存在，求出点D位置；若不存在，请说明理由。
8．（辽宁省中考题）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连结AC，过C点作直线CD⊥AB于D（AD＜DB），点E是DB上任意
一点（点D、B除外），直线CE交⊙O于点F，连结AF与
直线CD交于点G。
⑴求证：；
⑵若点E是AD（点A除外）上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由。
9．（重庆市中考题）如图，AM是⊙O的直径，过⊙O上一点B作BN⊥AM，垂足为N，其延长线交⊙O于点C，弦CD交AM于点E。
⑴如果CD⊥AB，求证：EN＝NM；
⑵如果弦CD交于AB点F，且CD＝AB，求证：CE2＝EF·ED；
⑶如果弦CD、AB的延长线交于点F，且CD＝AB，那么⑵的结
论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
10．（山西太原中考题）⑴操作并观察：如图1，两个半径为的等圆⊙O1与⊙O2外切于点P。将三角板的直角顶点放在点P，再将三角形绕点P旋转，使三角板的两直角边中的一边PA与⊙O1相交于A，另一边PB与⊙O2相交于点B（转动中直角边与两圆都不相切）。在转动过程中，线段AB的长与半径之间有什么关系？请回答并证明你得到的结论；
⑵如图2，设⊙O1与⊙O2外切于点P，半径分别为、(＞)，重复⑴中的操作过程，观察线段AB的长度与、之间有怎样的关系，并说明理由。
11．（北京市中考题）已知：抛物线与轴的一个交点为A(，)。
⑴求抛物线与轴的另一个交点B的坐标；
⑵D是抛物线与轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的
面积为9，求此抛物线的解析式；
⑶E是第二象限内到轴、轴的距离的比为5∶2的点，如果点E在⑵中的抛物线上，
且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
12．（江苏无锡市中考题）已知抛物线（＜0）轴交于A、B两点，点A在轴的负半轴上，点B在轴的正半轴上，又此抛物线交轴于点C，连AC、BC，且满足△OAC的面积与△OBC的面积之差等于两线段OA与OB的积（即S△OAC－S△OBC=
OA·OB）。
⑴求的值；
⑵若tan∠CAB=，抛物线的顶点为点P，是否存在这样的抛物线，使得△PAB的外接圆半径为？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。
13．（山西省中考题）如图，已知圆心A（0，3），⊙A与轴相切，⊙B的圆心在轴
的正半轴上，且⊙B与⊙A外切于点P，两圆的公切线MP交轴于点M，交轴于点N。
⑴若，求直线MP的解析式及经过
M、N、B三点的抛物线的解析式。
⑵若⊙A的位置大小不变，⊙B的圆心在轴的正
半轴上移动，并使⊙B与⊙A始终外切，过M作⊙B的
切线MC，切点为C。在此变化过程中探究：
①四边形OMCB是什么四边形，对你的结论加以
证明；
②经过M、N、B三点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰三角形？若存在，表示出
来；若不存在，说明理由。
[答案与提示]
1．AB=CD或AB=CD；
2．①、②、④；
3．△OAB在变换中，A、B点的纵坐标保持不变，横坐标按2倍递增，∴A4(16，3)，
B4(32，0)。按此规律，显然An(，)，Bn(，)。
4．依题意可猜想：当时，有成立。
过点D作DF∥BC交AC于点F，∵D为BC边的中点，∴F是EC的中点
由，可知。
∴，，∴。
5．⑴画图（要求对应点在水平位置上，宽度保持一致）。
⑵，，。
⑶猜想：依据前面的有关计算，可以猜想草地的面积仍然是。方案：①将“小路”
沿着左右两个边界“剪去”；②将左侧的草地向右平移一个单位；③得到一个新的矩形（如图）。理由略。
6．⑴证△ABE∽△ACD；⑵(或)。先证△ABE∽△ACD，再证△BAC∽△EAD。
7．⑴；⑵（0＜＜4）；⑶不存在点D，使得S1＞成立。
8．⑴延长线CG交于⊙O于H，易证△ACG∽△AFC；
⑵当点E是AD（点A除外）上任意一点时，上述结论仍成立。证略。
9．⑴连结BM，先证∠ECN＝∠MBN，再证Rt△CEN≌Rt△BMN。
⑵连结BD、BE、AC，先证△ABE≌△ACE，再证△BED∽△FEB。
⑶结论成立，仿⑵可证之。
10．⑴连结O1A，O1B，O1O2。∵⊙O1与⊙O2相切于点P，∴点P在O1O2上。
∵∠APB＝90°，∴∠2＋∠4＝90°。
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠O1＋∠O2＝180°，O1A∥O2B。
又⊙O1与⊙O2的半径均为 ，∴四边形O1ABO2是平行四边形。
∴AB＝O1O2＝。
⑵连结O1A，O1O2，O2B，同⑴可证O1A∥O2B。过点B作BC∥O1O2，交O1A于点C。
在△ACB中，，。
由三角形三边关系，得＜＜。∴＜＜。
11．⑴B（，）；⑵或；
⑶存在点P（，），使△APE的周长最小。
12．解：⑴设A（，0）、B(，0)，由题设可求得C点的坐标为（0，），且＜0，
＞0，∵＜0，∴＞0
由S△AOC－S△BOC＝OA·OB得：
得：得：
⑵设抛物线的对称轴与轴交于点M，与△PAB的外接圆交于点N，
∵tan∠CAB=，∴，∴A点的坐标为（，0）
∴A点在抛物线上，∴，代入，得
又∵、为方程的两根，
∴，即：
∴∴B点的坐标为（，0），
∴顶点P的坐标为（，）
由相交弦定理得：AM·BM=PM·MN
又∵，∴AM=BM=，PM=
∴，∴，
∴所求的抛物线的函数解析式是：
13．⑴在Rt△AOB中，∵OA=3，sin∠OAB=，
∴cos∠OAB=，∴AB=5，OB=4，BP=5－3=2。
在Rt△APM中，=cos∠OAB=，
∴AM=5，OM=2，∴点M（0，－2）又△NPM∽△AOB
∴∴
∴∴点N（，0）
设MP的解析式为，∵MP经过M、N两点，
∴得，解之，得
∴MP的解析式为。
设过M、N、B的抛物线解析式为，且点M（，），可得。
∴抛物线的解析式为，即。
⑵①四边形OMCB是矩形。
证明：在⊙A不动、⊙B运动变化过程中，
恒有∠BAO＝∠MAP，OA＝OP，∠AOB＝∠APM＝90°，∴△AOB≌△APM。
∴OB＝PM，AB＝AM。∴PB＝OM。而PB＝BC，∴OM＝BC。
由切线长定理知MC＝MP，∴MC=OB。∴四边形MOBC是平行四边形。
又∵∠MOB＝90°，∴四边形MOBC是矩形。
②存在。由上述证明可知Rt△MON≌Rt△BPN，∴BN＝MN。
因此在过M、N、B三点的抛物线内有以BN为腰的等腰三角形MNB存在。
由抛物线的轴对称性可知，在抛物线上必有一点M′与M关于其对称轴对称，
∴BN＝BM′。这样得到满足条件的三角形有两个，△MNB和△M′NB。
3．策略开放与探索
策略开放性问题，一般指解题方法不惟一或解题路径不明确的问题，这类问题要求解题
者不墨守成规，善于标新立异，积极发散思维，优化解题方案和过程。
[例1]（乌鲁木齐中考题）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，且AD＝BC＝4。若将此三角形沿AD剪开成为两个三角形，在平面上把这两个三角形拼成一个四边形，你能拼出所有的不同形状的四边形吗？画出所拼四边形的示意图（标出图中的直角），并分别写出所拼四边形的对角线的长（不要求写计算过程，只需写出结果）。
[解析]：经过适当拼合可以组成以下四种不同形状的四边形。
①矩形（如图1）：
此时两条对角线的长相等，均为；
②平行四边形（如图2）：
此时两条对角线的长分别为4和；
③平行四边形（如图3）：
此时两条对角线的长分别为和；
④四边形（如图4）：
此时两条对角线的长分别为和；
[评注]：这是一道集开放探索、操作应用于一体的试题，既可考查学生的探索能力，又可锻炼学生的动手操作能力，是一道难得的好题。
[例2]（湖北黄冈中考题）在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料。现找出其中的一种，测得∠C＝90°，AC＝BC＝4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上，且扇形的弧与△ABC的其他边相切。请设计出所有符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出扇形，并直接写出扇形半径）。
[解析]：根据题意，可考虑圆心在顶点和直角边、斜边上，设计出符合题意的方案示意图。
可以设计如下图的四种方案：
[评注]：本题要求设计出符合题意的方案示意图，因此，在分类讨论时要做到不重复、不遗漏，特别是圆心在顶点上的两种情况不能遗漏，这是一道考查思维广阔性与周密性的好题。
[例3]（吉林省中考题）已知反比例函数和一次函数，其中一次函数的图象经过（，），（，）两点。
⑴求反比例函数的解析式；
⑵如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数
的图象上，求A点的坐标；
⑶利用⑵的结果，请问：在轴上是否存在点P，使△AOP
为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若
不存在，请说明理由。
[解析]：易求⑴；⑵A点的坐标为（1，1）；
⑶讨论OA为腰、为底时，得出P点的坐标。
OA＝，OA与轴所夹的锐角为45°。
①当OA为腰时，由OA=OP，得P1(，0)，P2(，0)；由OA=AP，得P3（2，0）；
②当OA为底时，得P4（1，0）。
∴这样的点有4个，分别是(，0)，(，0)，（2，0），（1，0）。
[评注]：第⑶小题是一个“存在性”问题，也是一个分类讨论问题，解题的过程呈开放型，有利于考查学生的思维能力和全面思考的能力。
[例4]（苏州市中考题）已知：⊙O1与⊙O2外切于点P，过点P的直线分别交⊙O1、⊙O2于点B、A，⊙O1的切线BN交⊙O2于点M、N，AC为⊙O2的弦。
⑴如图，设弦AC交BN于点D，求证：AP·AB=AC·AD。
⑵如图，当弦AC绕点A旋转，弦AC的延长线交直线BN于点D时，试问AP·AB=
AC·AD是否仍然成立？证明你的结论。
[解析]：⑴略。⑵当弦AC绕点A旋转后，若探索AP·AB=AC·AD是否仍然成立，其实是探索△APC与△ADB是否仍然相似？
⑴略；⑵仍然成立。连结PC，过点P作⊙O1和⊙O2的公切线EF，则∠MBP=∠EPB，
∴∠ABD=∠APE。∵∠ACP=∠APE，∴∠ABD=∠ACP。
又∠A=∠A，∴△APC∽△ADB，∴，即AP·AB=AC·AD。
[评注]：在给定条件下探索尚不明确的结论，其解法是，需要对题目的条件进行具体分析、判断，通过推理来获取结论。
[题型设计与能力训练]
1．（扬州市中考压轴题）用水清洗一堆青菜上残留的农药，对用水清洗一次的效果作如下规定：用一桶水可洗掉青菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在青菜上。设用桶水清洗一次后，青菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为。
⑴试解释“时，”的实际意义；
⑵设当取、时，对应的值分别为、，如果＞＞1，试比较、、的大小关系（直接写出结论）；
⑶设，现有（＞0）桶水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后青菜上残留的农药量比较少？说明理由。
2．（吉林中考题）某初一学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：“甲、乙两地相距40km，摩托车的速度为45km/h，运货汽车的速度为35km/h，
？”（涂黑部分表示被墨水覆盖的若干文字）请将这道作业题补充完整，并列方程解答。
3．已知、是方程的两个实数根，求的值。
4．（温州市中考题）请设计三种不同的分法，将直角
三角形（如右图所示）分割成四个小三角形，使得每个小
三角形与原直角三角形都相似。
5．（广东省2004中考题）阅读材料：多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，
将多边形分割成若干个小三角形。图（一）给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形。请你按照上述方法将图（二）中的六边形进行分割，并写出得到的小三角形的个数．试把这一结论推广至n边形。
6．（山东济南中考题）如图，已知AB=AC＋BD，∠CAB=∠ABD=90°，AD交BC于点P，⊙P与AB相切于点Q。设AC=，BD=(≤)。
⑴求⊙P的半径；
⑵以AB为直径在AB上方作半圆O（用尺规作图，
保留痕迹，不写作法），请你探索
⊙O与⊙P的位置关系，作出判断并加以证明；
⑶设，，能否在半圆O中，再画出两个与⊙P同样大小的⊙M和⊙N，使这3个小圆两两相交，并且每两个小圆的公共部分的面积都小于？请说出你的结论，并给出证明。
答案与提示
1．⑴、⑵略。
⑶∵，
∴当＞时，＞；当＝时，＝；当＜时，＜。
∴当＞时，平均分成两份，清洗两次，青菜上农药残留量比较少；当＝时，清洗一次与平均分成2份清洗两次一样；当＜时，清洗一次，青菜上农药残留量比较少。
2．这是一道开放性的相遇问题，要求考生先设计问题，再进行解答，仅举一例如下：若两车分别从两地同时开出，相向而行，经几个小时两车相遇。
解：设经小时两车相遇，依题意可得
，解得。
答：经半小时两车相遇。
3．解：，是方程的两个实数根∴，
∴
∴。
4．如下图所示：
5．提示：
⑴连结六边形一个顶点和其他各个顶点，进行正确分割，得出结论（4个）。
⑵连结六边形边上一点（顶点除外）和各顶点，进行正确分割，得出结论（5个）；
⑶连结六边形内一点和各个顶点，进行正确分割，得出结论（6个）。
推广结论至边形，写出分割后得到的小三角形数目分别为：，，。
6．⑴；⑵图略，⊙O与⊙P内切，证；
⑶假设符合要求的图形存在，每两个小圆公共部分的面积分别为、、，则它们均小于。又设每个小圆的面积为，三个小圆公共部分的面积为，则三个小圆的覆盖面积＝＞≥。所以，不能在这个半圆O中画出符合要求的⊙M和⊙N。
3eud教育网http://www.3edu.net百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！
3eud教育网http://www.3edu.net教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！
O
A
B
C
D
1
4
O
A
B
C
A
B
D
E
C
1
2
⌒
⌒
D
P
A
C
B
图①
图②
O
A
B
C
E
A
B
C
P
⌒
⌒
A
B
C
D
E
F
G
1
2
O
A
B
E
D
C
1
⌒
⌒
O
C
D
B
E
A
1
⌒
⌒
⌒
⌒
O
A
B
E
D
C
2
⌒
⌒
A
B
F
E
C
D
A
B
M
F
N
E
C
K
D
A
B
C
P
Q
M
N
A
B
C
P
Q
M
O
B
A
E
F
D
C
O
A
B
C
E
D
O
y
x
A
A1
A2
A3
B3
B2
B1
B
A
B
C
D
图4
O
E
F
A
B
C
D
图3
O
E
A
B
C
D
图2
O
E
A
B
C
D
图1
O
E
图3
B2
B1
B3
A1
A2
A3
图2
A1
B1
A2
B2
图1
图4
草地
草地
A
E
D
C
B
A
B
C
D
E
O
A
C
F
B
E
D
G
O
E
F
D
B
N
M
C
A
O1
P
A
B
O2
图2
O1
O2
A
B
P
图1
1
2
3
4
y
x
N
M
P
O
B
A
C
⌒
⌒
草
地
草
地
P
A
M
N
O
C
B
y
x
A
B
C
D
剪开
2
4
图1
2
4
图2
2
2
4
4
图4
2
4
图3
A
C
B
B
C
A
B
B
C
C
A
A
x
y
O
A
O1
O2
M
D
B
N
E
F
C
A
P
图2
O1
O2
A
M
B
N
C
P
D
图1
⑴
⑵
⑶
⑴
⑵
⑶
P
Q
C
A
B
D
|
|
