全国中考数学压轴题精选精析（三）
25.（08江西南昌）24．如图，抛物线相交于两点．
（1）求值；
（2）设与轴分别交于两点（点在点的左边），与轴分别交于两点（点在点的左边），观察四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；
（3）设两点的横坐标分别记为，若在轴上有一动点，且，过作一条垂直于轴的直线，与两条抛物线分别交于C，D两点，试问当为何值时，线段CD有最大值？其最大值为多少？
（08江西南昌24题解析）24．解：（1）点在抛物线上，
， 2分
解得． 3分
（2）由（1）知，抛物线，． 5分
当时，解得，．
点在点的左边，，． 6分
当时，解得，．
点在点的左边，，． 7分
，
点与点对称，点与点对称． 8分
（3）．
抛物线开口向下，抛物线开口向上． 9分
根据题意，得
． 11分
，当时，有最大值． 12分
，四点横坐标的代数和为0”或“”均得1分．
26.（08江西南昌）25．如图1，正方形和正三角形的边长都为1，点分别在线段上滑动，设点到的距离为，到的距离为，记为（当点分别与重合时，记）．
（1）当时（如图2所示），求的值（结果保留根号）；
（2）当为何值时，点落在对角形上？请说出你的理由，并求出此时的值（结果保留根号）；
（3）请你补充完成下表（精确到0.01）：
0.03 0 0.29 0.29 0.13 0.03 （4）若将点分别在线段上滑动改为点分别在正方形边上滑动当滑动一周时，请使用
（参考数据：）
（08江西南昌25题解析）25．解：（1）过作于交于，于．
，，
，． 2分
，． 3分
（2）当时，点在对角线上，其理由是： 4分
作交于，
过作交于．
平分，，．
，，．
，．
，．
即时，点落在对角线上． 6分
的解法）
方法一：，．
在中，，
． 7分
． 8分
方法二：当点在对角线上时，有
， 7分
解得
． 8分
0.13 0.03 0 0.03 0.13 0.29 0.50 0.50 0.29 0.13 0.03 0 0.03 0.13 10分
所得到的大致图形如图所示：
12分
的值各得1分；
2．第（3）问表格数据，每填对其中4空得1分；
3．第（4）问图形画得大致正确的得2分，只画出图形一部分的得1分．
27.（08山东滨州）23、（1）探究新知：如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由.
（2）结论应用：①如图2，点M、N在反比例函数y=的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F.试应用（1）中得到的结论证明：MN∥EF.
②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图3所示，请判断MN与E是否平行.
（08山东滨州23题解析）23．（1）证明：分别过点C、D作
垂足为G、H，则
（2）①证明：连结MF，NE
设点M的坐标为，点N的坐标为，
∵点M，N在反比例函数的图象上，
∴，
由（1）中的结论可知：MN∥EF。
②MN∥EF。
28.（08山东滨州）24．（本题满分12分）
如图（1），已知在中，AB=AC=10，AD为底边BC上的高，且AD=6。将沿箭头所示的方向平移，得到。如图（2），交AB于E，分别交AB、AD于G、F。以为直径作，设的长为x，的面积为y。
（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）连结EF，求EF与相切时x的值；
（3）设四边形的面积为S，试求S关于x的函数表达式，并求x为何值时，S的值最大，最大值是多少？
（08山东滨州24题解析）24．
29.（08山东德州东营菏泽）24．(本题满分1分)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙，在⊙．令AM＝x．（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积；（2）当x为何值时，⊙与直线BC相切？（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
23．(本题满分1分)（）∵MN∥BC∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．∴△AMN∽△ABC．
∴，即．
∴AN＝x．……………分
∴．＜＜4………………3分
（）如图，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO=OD=MN．
在Rt△ABC中，BC＝=5．
△AMN∽△ABC．
∴，即．
∴，
∴．…………………5分
过M点作MQ⊥BC于，则．
在Rt△BM与Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴△BMQ∽△BCA．∴．
∴，．∴x＝．∴当x＝．…………………………………………分
（3）M的运动，当P点在直线BC上时，连结AP，O点AP的中点．
∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B∠AOM＝∠APC．
∴△AMO∽△ABP．∴．AM＝MB＝2．以下分两种情况讨论：①当0＜2时，．∴当2时，…………………………………………分②当2＜＜4时，设PMPN分别BC于E，F．
∵四边形AMPN是矩形∴PN∥AM，PN＝AM＝．又MN∥BC，
∴四边形MBFN是平行四边形．N＝BM＝4－．∴．△PEF∽△ACB．∴．∴．………………………………………………………分
＝．……………………分
当2＜＜4时，．∴当时，2＜＜4，．……………………………11分综上所述，当时，值最大，最大值是2．……………………………12分
②若∠MAN＝α（0°＜α＜180°），∠ABC＋∠ADC＝180°，则AB＋AD＝____AC（用含α的三角函数表示），并给出证明。
（08山东临沂25题解析）25．解:⑴证明:∵AC平分∠MAN，∠MAN＝120°，
∴∠CAB＝∠CAD＝60°，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD＝30°，…………1分
∴AB＝AD＝AC，……………………2分
∴AB＋AD＝AC。……………………3分
⑵成立。……………………………r…4分
证法一：如图，过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F。
∵AC平分∠MAN，∴CE＝CF.
∵∠ABC＋∠ADC＝180°,∠ADC＋∠CDE＝180°,
∴∠CDE＝∠ABC,………………………………………………………………5分
∵∠CED＝∠CFB＝90°，∴△CED≌△CFB,∴ED＝FB,……………………6分
∴AB＋AD＝AF＋BF＋AE－ED＝AF＋AE,由⑴知AF＋AE＝AC,
∴AB＋AD＝AC……………………………………………………………………7分
证法二：如图，在AN上截取AG＝AC，连接CG.
∵∠CAB＝60°,AG＝AC,∴∠AGC＝60°,CG＝AC＝AG,…………5分
∵∠ABC＋∠ADC＝180°,∠ABC＋∠CBG＝180°,
∴∠CBG＝∠ADC,∴△CBG≌△CDA,……………………………………6分
∴BG＝AD,
∴AB＋AD＝AB＋BG＝AG＝AC，…………………………………………7分
⑶①;………………………………………………………………………8分
②.………………………………………………………………………9分
证明：由⑵知，ED＝BF,AE＝AF，
在Rt△AFC中，,即,
∴,………………………………………………………………10分
∴AB＋AD＝AF＋BF＋AE－ED＝AF＋AE＝2，…………11分
31（08山东临沂）26．（本小题满分13分）
如图，已知抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。
⑴求抛物线的解析式；
⑵设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由;
⑶若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。
（08山东临沂26题解析）26．⑴∵抛物线与y轴交于点C（0，3），
∴设抛物线解析式为………1分
根据题意，得，解得
∴抛物线的解析式为………………………………………2分
⑵存在。…………………………………………………………………………3分
由得，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1。…………4分
①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为(x,y)，根据勾股定理，
得，即y＝4－x。…………………………5分
又P点(x,y)在抛物线上，∴，即…………6分
解得，，应舍去。∴。……………………7分
∴，即点P坐标为。……………………8分
②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P坐标为（2，3）。
∴符合条件的点P坐标为或（2，3）。……………………9分
⑶由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理,
得CB＝,CD＝,BD＝,………………………………………………10分
∴,
∴∠BCD＝90°,………………………………………………………………………11分
设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中，
∵CF＝DF＝1,
∴∠CDF＝45°,
由抛物线对称性可知，∠CDM＝2×45°＝90°,点坐标M为（2，3），
∴DM∥BC,
∴四边形BCDM为直角梯形,………………12分
由∠BCD＝90°及题意可知，
以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;
以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。
综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）。……………13分
32.（08山东青岛）24．（本小题满分12分）
已知：如图①，在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为1cm/s；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为2cm/s；连接．若设运动的时间为（），解答下列问题：
（1）当为何值时，？
（2）设的面积为（），求与之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，使线段恰好把的周长和面积同时平分？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由；
（4）如图②，连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
（08山东青岛24题解析）24．（本小题满分12分）
解：（1）在Rt△ABC中，，
由题意知：AP=5－t，AQ=2t，
若PQ∥BC，则△APQ∽△ABC，
∴，
∴，
∴． 3′
（2）过点P作PH⊥AC于H．
∵△APH∽△ABC，
∴，
∴，
∴，
∴． 6′
（3）若PQ把△ABC周长平分，
则AP+AQ=BP+BC+CQ．
∴，
解得：．
若PQ把△ABC面积平分，
则，即－＋3t=3．
∵t=1代入上面方程不成立，
∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分． 9′
（4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，
若四边形PQP′C是菱形，那么PQ＝PC．
∵PM⊥AC于M，
∴QM=CM．
∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．
∴，∴，
∴，
∴，
∴，
解得：．
∴当时，四边形PQP′C是菱形．
此时，，
在Rt△PMC中，，
∴菱形PQP′C边长为．12′
33（08山东泰安）26．（本小题满分10分）
在等边中，点为上一点，连结，直线与分别相交于点，且．
（1）如图1，写出图中所有与相似的三角形，并选择其中一对给予证明；
（2）若直线向右平移到图2、图3的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由；
（3）探究：如图1，当满足什么条件时（其它条件不变），？请写出探究结果，并说明理由．
（说明：结论中不得含有未标识的字母）
（08山东泰安26题解析）26．（本小题满分10分）
（1）与 2分
以为例，证明如下：
4分
（2）均成立，均为， 6分
（3）平分时，． 7分
证明：平分
8分
又
10分
注：所有其它解法均酌情赋分．
34（08山东威海）24.（11分）如图，点A（，），（，）反比例函数的图象上．（1）
（2）M为x轴，Ny轴，A，B，M，N为的四边形平行四边形，试求直线MN的函数表达式．
（3）选做题：在平面直角坐标系中，点P的坐标
为（5，0），点Q的坐标为（0，3），把线段PQ向右平
移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段P1Q1，
则点P1的坐标为，点Q1的坐标为．
（08山东威海24题解析）24．（本小题满分1分）（1）．m＝3．………………………………3分A（，），（，）．……………………………4分（2）M点在x轴轴N点在y轴轴M1点坐标为（x，）N1点坐标为（，y）四边形ANM1B为平行四边形N1M1可看作由线段AB向左平移3个单位，
再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的）．
由（1）知A点坐标为（，）B点坐标为（，）N1点坐标为（，）N1（，）………………………………5分M1点坐标为（，）M1（，）………………………………6分直线MN1的函数表达式，把x＝3，y＝0代入，解得．
∴直线MN1的函数表达式．……………………………………分M点在x轴轴N点在y轴轴M2点坐标为（x，）N2点坐标为（，y）AB∥N1M1，AB∥M2N2，AB＝N1M1，AB＝M2N2，
∴N1M1∥M2N2，N1M1＝M2N2．
∴线段M2N2与线段N1M1关于原点O成中心对称．
∴M2点坐标为（3，）N2点坐标为（，）………………………9分直线MN2的函数表达式，把x＝-3，y＝0代入，解得，
∴直线MN2的函数表达式．直线MN的函数表达式或．………………11分．………………………………………………2分25．（12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝，CD＝，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥，ME⊥，NF⊥，垂足分别为E，F．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）求四边形MEFN面积的最大值．（3）四边形MEFN为正方形，
求出正方形MEFN的面积；
（08山东威海25题解析）25．（本小题满分12分）解：（1）分别过两点作⊥AB于点，⊥AB于点．……………分AB∥CD，＝，∥CH．为形＝＝1．＝，AD＝BC，AGD＝∠BHC＝90°，AGD≌△BHC（HL）．＝＝3．………2分AGD中，AG＝，AD＝5＝． ．………………………………………………3分（2）MN∥AB，ME⊥，NF⊥，ME＝NF，ME∥NF．MEFN为形．AB∥CD，AD＝BC，．ME＝NF，MEA＝∠NFB＝90°，．E＝F．……………………4分E＝EF＝72x．……………5分，MEA＝∠DGA＝90°，MEA∽△DGA．．ME＝．…………………………………………………………6分．……………………8分时，ME＝＜4，∴四边形MEFN面积的最大值．……………分（3）……………………………………………………………………10分，E＝EF＝72x，ME＝．四边形MEFN为正方形ME＝EF．7－2x．．……………………………………………11分EF＝．四边形MEFN．………分
如图，圆切轴于原点，过定点作圆切线交圆于点．已知，抛物线经过两点．
（1）求圆的半径；
（2）若抛物线经过点，求其解析式；
（3）投抛物线交轴于点，若三角形为直角三角形，求点的坐标．
37（08山东烟台）25、（本题满分14分）
如图，抛物线交轴于A、B两点，交轴于M点.抛物线向右平移2个单位后得到抛物线，交轴于C、D两点.
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）抛物线或在轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是抛物线上的一个动点（P不与点A、B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线上，请说明理由.
38（08山东枣庄）25．(本题满分1０分)
把一副三角板如图甲放置，其中，，，斜边，．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙）．这时AB与CD1相交于点，与D1E1相交于点F．
（1）求的度数；
（2）求线段AD1的长；
（3）若把三角形D1CE1绕着点顺时针再旋转30°得△D2CE2，这时点B在△D2CE2的内部、外部、还是边上？说明理由．
（08山东枣庄25题解析）25．(本题满分10分)
解：（1）如图所示，，，
∴．………………………………1分
又，
∴．………3分
（2），∴∠D1FO=60°．
，∴． 4分
又，，∴．
，∴． 5分
又，∴．
在中，． 6分
（3）点在内部． 7分
理由如下：设（或延长线）交于点P，则．
在中，，………… 9分
，即，∴点在内部．……………10分
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图2
B(E)
A(F)
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图3
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B(E)
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第25题图
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第26题图
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