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学透勾股定理八板斧

2014-11-12  黑洞6174

  

学透勾股定理八板斧

勾股定理是几何中的一个重要定理,在直角三角形的判定,锐角三角函数,三角形全等、相似以及圆中都有重要的应用。在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载。约有400种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一,耿老师结合20余年的教学经验,为你准备了八板斧,让你在中考中取得满分!

【证法1】(课本的证明)

做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.

  从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a + b,所以面积相等. 即

  , 整理得 .

  【证法2】(邹元治证明)

  以a、b 为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上,B、F、C三点在一条直线上,C、G、D三点在一条直线上.

  ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,

  ∴ ∠AHE = ∠BEF.

  ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o,

  ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o.

  ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.

  ∴ 四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于.

  ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,

  ∴ ∠HGD = ∠EHA.

  ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o,

  ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o.

  又∵ ∠GHE = 90o,

  ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o.

  ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形,它的面积等于 .

  ∴ . ∴ .

  【证法3】(赵爽证明)

  以a、b 为直角边(b>a), 以c为斜边作四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.

  

∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,

  ∴ ∠HDA = ∠EAB.

  ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o,

  ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o,

  ∴ ABCD是一个边长为c的正方形,它的面积等于.

  ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,

  ∠HEF = 90o.

  ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形,它的面积等于 .

  ∴ .

  ∴ .

  【证法4】(1876年美国总统Garfield证明)

  以a、b 为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上.

  ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,

  ∴ ∠ADE = ∠BEC.

  ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o,

  ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.

  ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o.

  ∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形,它的面积等于 .

  又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,

  ∴ AD∥BC.

  ∴ ABCD是一个直角梯形,它的面积等于 .

  ∴ .

  ∴ .

  【证法5】(梅文鼎证明)

  做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

  ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

  ∴ ∠EGF = ∠BED,

  ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°,

  ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°,

  ∴ ∠BEG =180o―90o= 90o.

  又∵ AB = BE = EG = GA = c,

  ∴ ABEG是一个边长为c的正方形.

  ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o.

  ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

  ∴ ∠ABC = ∠EBD.

  ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o.

  即 ∠CBD= 90o.

  又∵ ∠BDE = 90o,∠BCP = 90o,

  BC = BD = a.

  ∴ BDPC是一个边长为a的正方形.

  同理,HPFG是一个边长为b的正方形.

  设多边形GHCBE的面积为S,则

  ,

  【证法6】(项明达证明)

  做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.

  过点Q作QP∥BC,交AC于点P.

  过点B作BM⊥PQ,垂足为M;再过点

  F作FN⊥PQ,垂足为N.

  ∵ ∠BCA = 90o,QP∥BC,

  ∴ ∠MPC = 90o,

  ∵ BM⊥PQ,

  ∴ ∠BMP = 90o,

  ∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90o.

  ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o,

  ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o,

  ∴ ∠QBM = ∠ABC,

  又∵ ∠BMP = 90o,∠BCA = 90o,BQ = BA = c,

  ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

  同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.

  从而将问题转化为【证法4】(梅文鼎证明).

  ∴ .

  【证法7】(欧几里得证明)

  做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结BF、CD. 过C作CL⊥DE,交AB于点M,交DE于点L.

  ∵ AF = AC,AB = AD,

  ∠FAB = ∠GAD,

  ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,

  ∵ ΔFAB的面积等于

  ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半,

  ∴ 矩形ADLM的面积 = .

  同理可证,矩形MLEB的面积 = .

  ∵ 正方形ADEB的面积= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积

  ∴ ,即 .

  【证法8】(利用相似三角形性质证明)

  如图,在RtΔABC中,设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CD⊥AB,垂足是点D.

  在ΔADC和ΔACB中,

  ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o,

  ∠CAD = ∠BAC,

  ∴ ΔADC ∽ ΔACB.

  AD∶AC = AC ∶AB,

  即 .

  同理可证,ΔCDB ∽ ΔACB,从而有 .

  ∴ ,即 .

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