数学的故事、解题的领悟

数学的故事，解题的领悟           

陕西师范大学数学教学论博士导师

惠州市华罗庚中学数学教育总指导  罗增儒

老师们，同学们：

下午好．我将通过数学解题的简单故事（案例）来说明数学学习的有关道理．

事实表明，学生解了大量的题但还“不开窍”的一个基本原因是：这些学生没有分析过所解的题，也没有分析过典型的习题，解题常常只是为了得个答案．因此

我们应当学会这样一种对待习题的态度，即把习题看做是精密研究的对象，而把解答问题看做是设计和发明的目标．

我们应该有这样的信念，没有任何一道题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探讨总结，总会有点滴的发现，总能改进这个解答的理解水平．

我们应把解答问题发展为获得新知识和新技能的学习过程．（而不仅仅是学习结果的巩固）

我们的解题实践表明：分析典型例题的解题过程是学会解题的有效途径，至少在没有找到更好的途径之前，这是一个无以替代的好主意．因而，解题学习要经历：简单模仿、变式练习、自发领悟、自觉领悟．

考虑到在这个报告厅里既有学生又有老师，既有初中未毕业的学生，又有比我中学教龄更长的高级教师，为了不辜负这个美好的下午，使每一个人都有所思考、都有所获，我将采用低起点的故事和高落点的分析来进行．首先，让我们从一个传颂千古的故事开始。

故事1：反思“曹冲称象”．

第1、曹冲称象的故事．

曹操获得一头大象，与大家一边看一边议论，“大象到底有多重呢”由于当时没有这么大的秤杆，没有先进的仪器，这就成了一个问题，一个非常规应用问题．

存在不同水平的“问题解决”．有人提议把大象宰了，一块一块地称，这是一种“化整为零”的策略，重量虽然出来了，但珍贵的大象却不复存在了．曹操的儿子曹冲才7岁，他提出一个聪明的办法：先把大象赶到一艘大船上，看船身下沉多少，就沿着水面，在船舷上画一条线．然后，把大象赶上岸，往船上装石头，直至船下沉到画线的地方为止．最后，称一称船上的石头，石头有多重，就知道大象有多重了．

理解曹冲方案需要物理知识（没有物理知识作保证，不能保证石头与大象等重，难保不会出现“刻舟求剑”的错误），下面的分析不涉及物理定律，纯粹数学教育的视角．

第2、问题解决的分析．

我们从数学上分析曹冲的“问题解决”过程主要有两个步骤：（解题过程的结构分析）

（1）把“整体”的大象对应为等价物：“零散”的石头（映射--化整为零）；

（2）称一小块一小块石头，得出大象的重量（逆映射--集零为整）．

一头大象————一堆石块

↓

大象重量————称出石块总重量

图1

请注意，曹冲先“化整为零”、再“集零为整”的做法，与愚蠢的“宰象”方案有思想方法上的共同性，曹冲的聪明之处在于，既从别人的不成功想法中吸取了合理成分，又用等价物代替大象．（思维亮点：通过物理知识找出等价物）

第3、反思曹冲方案．

曹冲方案的大前提是“把大象赶上船、再赶上岸”，这当中若有一次大象不愿走动，那么抬大象的困难与称大象的困难是类似的．大象自已走上走下对我们抬石头、称石头能带来什么启示呢

就此，笔者与一位小学二年级学生进行了如下的对话．

教师：假如我们这块地方是个平原，一马平川全是黄土，没有石头，你怎么办（把等价物从“石头”的传统认识中突破出来——不是唯一的）

学生：那我就把黄土挑上船，直至船沉到画线的地方，然后称黄土的重量．（用水也可以）

教师：挑黄土上船、下船，既费工又费时，有没有既省工又省时的更简单办法（寻找更方便的等价物）

学生：用电子秤直接称大象．

教师：这不行，不能改变当时的技术条件．

学生：组织围观的人代替黄土，让人自己走上船、自己走下船过秤，既省工又省时，要不，赶一群羊上船也可以．

第4、反思的启示．

这个办法确实比曹冲的强．由此，可以得出3个结论：

（1）即使是“智慧典范”的解题过程也有创新的空间．

（2）即使是对小学生作解题过程的分析与启引，也能开发出解题智慧来．

（3）找回被浪费的重要信息是解题分析获得进展的一个有效途径．在曹冲方案中，“大象自己上船、下船”本已存在，只不过是在使用石头等价物时被浪费了，“小学二年级学生”无非是“找回被浪费的重要信息”．

（罗增儒：从“曹冲称象”的解题愚蠢说起——例说解题过程的改进，中学数学教学参考，2000，9）

故事2：看图说事．                                   

第1、事实的陈述．

例1如图2，表示某人从家出发任一时刻到家的距离（s）与所花时间（t）之间的关系

，请根据图象编一个故事．

（每人编一个故事）                                      （图2）

（1）在新疆的一次听课中（2004年），同学们说的故事很多，也得到教师的完全认可，但抽象出来的运动特征基本上都是：

①在OP上匀速直线运动；

②在PQ上静止；

③在QR上匀速直线运动．

课后与教师交流时，我问为什么“在PQ上静止？”，教师认为，到家的距离不变，所以是静止．我说，到家（定点）的距离不变（定长）就是“到定点（家）的距离为定长（不变）”，这样的点一定是定点吗？教师立即反应过来．这里的认识封闭在于，面临“到一定点的距离为定长”的数学情景时，只想到静止、想不到运动（轨迹！圆周运动，空间为球），数与形的双向流动不够通畅．从知识上看，可能还有“距离”与“路程”的混淆：随着时间的推移而路程不变，当然是静止，但随着时间的推移而距离不变，则可能是静止也可能是运动．

（2）值得注意的是，这是“一个很普遍的认识封闭现象”（被一些教师称为“可能会封闭一辈子”的问题），我们在杭州骨干教师培训班（2005年）、本科生（选修课上）、中学生中进行过多次测试，能回答圆周运动（空间为球）的极为个别，每一次都“几乎全军覆没”．（认识封闭1）

并且，当我们进一步问会有多少种运动方式时，也存在认识封闭现象，也经常“几乎全军覆没”，普遍没考虑到在圆周上既可以运动又可以静止，既可以前进又可以来回走动，既可以原路返回又可以另路返回．（认识封闭2）

第2、案例的初步分析．

（1）题目自然涉及“圆”的概念和逻辑“或”，触及“明确知识的认识封闭现象”（顺便提起：以

为判别式的二次方程有条），并且在PQ上有明显的3个层次．

①一种情况：在PQ上静止．有静无动,能背熟圆的定义，面临圆（或球）的情景时看不见圆（或球）．

②两种情况：看到PQ静止时全静止，看到PQ运动时全运动．有进无退，逻辑“或”对PQ的全程．

③无数种情况．看到PQ静止或圆周运动，可以前进也可以后退．有静有动，有进有退，逻辑“或”对PQ的每一点．

（2）考察了数学的核心知识——函数，广泛涉及：

①函数的概念，包括定义域、值域、对应关系．

②函数的表示方法，突出了一次函数的解析式与图象这两种表示法．

③一次函数的增减性与图象形状的关系．

④通过生活情景和图象很自然的出现分段定义函数．

⑤考察学生分析实际情景，认识函数变化规律的基本能力．

（3）设计为开放题．

①需要学生将一次函数的图象和性质赋予实际意义，而学生根据自己的生活体验和对数学知识的理解，编拟出来的实际情节将是不惟一的．

②每个学生都可以回答问题，但不同的水平到达不同的层次

（罗增儒．教育叙事：圆的遭遇．中学数学教学参考（初中版），2007，3）

故事3：什么是数学解题   例2有两个圆，一个的半径等于地球的半径，另一个的半径等于一枚硬币的半径．现将

两圆向外膨胀（相当于作同心圆），使周长都增加 1米，问哪个圆的半径伸长得较多？

解直观上想，相对于地球赤道而言，增加1米实在微不足道；而硬币的周长增加1米其膨胀肯定更加显著．答案应是小圆的半径伸长得较多．                       

这是一个常数，因而，大小不等两圆的半径伸长是相同的．

感悟直观情景给了我们一个错觉，而数学的理性思维恢复了它的原貌．这就是数学解题，通过推理、论证得出一个符合事实的结论．数学解题可以促进数学的理解．

例3 请阅读下面的事实：某校高中一年级有两个班，教导处工作人员统计期末数学考试成绩时，计算出每一个班中男生的及格率都比女生的及格率高（计算没有错误），于是得出全年级男生及格率比女生及格率高的结论．校长听完他的汇报后，根据同样的成绩表却得出全年级女生及格率比男生及格率高的相反结论．事实证明校长是对的，工作人员感到费解．

请通过数学方法说服工作人员．

方法1：举反例

班级

甲班

乙班

男女人数

男25人

女30人

男29人

女24人

及格人数

23

27

17

14

及格率

92%

90%

58．6%

58．3%

感悟这也是数学解题，通过推理、论证推翻一个不符合事实的结论．

数学解题，就是消除已知与未知之间的障碍，就是解决现有认识与客观需要之间的矛盾．数学解题，既有证实又有证伪．

数学解题既有确认又有理解和发现的功能．是三大功能

故事4:即使我很笨，我也能学会聪明

例4已知3个空汽水瓶可以换1整瓶汽水．现有10整瓶汽水．若不添钱，问最多还可喝几瓶汽水？（整瓶汽水指瓶子带盖装好的汽水）

第1．解法l可作3次对换：

第1次，用原有的10个空瓶去换3整瓶汽水，剩1个空瓶．

第2次，用4个空瓶去换l整瓶汽水，剩1个空瓶．

第3次，2个空瓶换不来1整瓶，但可先借1个空瓶，换一整瓶，喝完后，还空瓶．

最多共可喝 3+1+1=5瓶．

第2．反思分析这个解法分3步完成对换，每步都重复着“3空换1整”的要求．其中最富于智慧的应是第3步，对其作正面思考：第3步的聪明就在于“借一还一”吗？（是不是？）它的实质是什么？（谁来说）我们通过下图的直观启发

学生立即透过“借一还一”的技术表象而领悟到实质：2个空瓶可以换来一瓶里的“汽水”（不包括瓶子）．

可见，第3步隐含着问题的本质，已知条件中“3个空汽水瓶可以换1整瓶汽水”等价于“2个空瓶子”可以换1个瓶里的“汽水”．于是分三步完成可以合并为1步（整体处理）：

解法2依题意，2个“空瓶”可以换1个瓶里的“汽水”，现有10个空瓶，最多可换 瓶里的“汽水”．

第3．感悟也许，我们一开始并不能抓住已知条件的“本质”，但解法1是可以做到的，通过对“初步解法”的分析，就有机会找回被浪费了的重要信息，获得更接近问题深层结构的解法——即使我很笨，我也能学会聪明．并且，一旦抓住了题目的本质，推广立即就成为可能：

例4-1已知a个空汽水瓶可以换c整瓶汽水．现有b整瓶汽水．若不添钱，则最多还可喝bc/a-c瓶汽水．（a,b,c 为正整数，a>c ）

例5已知a,b,c为互不相等的实数，且

，求 x+y+z ．

（1951年高考数学第4题）

第1．由于直接对三个比例式用等比定理会出现分母为0的问题

①

②

所以，有一个流行的说法，此题不能用等比定理．我的老师当学生的时候人们这样说，到了我的学生也当老师的时候，人们还是这样说．设比例系数 是一个经典的处理（当年高考题的标准答案），并被认为是最关键的步骤：

解法1设

，③

则有 

④

得

⑤

⑥

=0．                           ⑦

第2．反思分析整体分解这个解题过程我们看到三个步骤（解题过程的结构分析）：

第1步，引进参数k，把三个外形不同而比值相等的代数式

用同一个符号k 来表示，可以有效防止“形异”对“值同”的干扰．（体现了“用字母表示数的思想”和“换元法”的应用）

第2步，把x,y,z与a,b,c分离，以便于计算x+y+z的值．（方法就是变形）

第3步，计算x+y+z的值，这是实质性的运算，其最基本的想法是转化为a,b,c有关式的计算，关键步骤是第⑤式．（有“转换化归的思想”）

根据这个分析，可见设比例系数k 的作用有两个：

第一，有效防止“形异”对“值同”的干扰；

第二，把x,y,z与a,b,c分离以便于计算x+y+z的值．

但这都只是辅助步骤，前两步并未开始x,y,z的求和，真正产生解题实质性进展、并反映问题深层结构的是第３步，抓住实质性的第3步提出问题：

（1）（正面思考）有与k 功能类似的替代式吗？

（2）（反面思考）不用k 还能计算x+y+z吗？

回应1如果对

“等值”看得很清楚，那就可以把第③式直接代入式⑤，取代k 得

解法2

⑧

回应2如果⑧式中的“形异”对“值同”的干扰还比较大，想不到作这样的变形，看不清当中的公因式，那可以直接用 来表示k，有

解法3由已知有

这样，我们就有了不增设参数 的２个解法，只要作解题反思，人人都能做到．但是，反思还没有结束．

第3．反思再深入至少还可以再指出两点：结论也是已知信息，障碍也是隐含条件．

（1）结论也是已知信息．

我们还浪费了一个信息，就是当我们分析解题过程时，结论已经成为了已知信息：

x+y+z=0， ⑨

即x+y+=-z．⑩

这就如同摸索在黑房子里拉开了电灯，原来我们只须证⑩式（当初并不知道），这用等比定理是可以做到的．

解法4对已知式的前两项用等比定理，有

原来，在我们的心里有一个误区（涉及解题的情感态度），对三项连比式用等比定理时，会产生分母为零，就吓得连两项都不敢用等比定理了．我们说，用比例的性质来处理比例问题，更接近问题的本质（也使得设比值k成为多余）．

（2）障碍也是隐含条件．

让我们再来看①、②中用等比定理时产生分母为0的问题

①

②

这时候的“分母为０”构成了我们解题的一个障碍，但在上述的众多解法中又都用到了“分母为０”这个运算式：

第4．基本收获

确实，反思得出的新解法，无论是在逻辑关系上还是在书写长度上，都不比解法1麻烦，相反，还都有一种高屋建瓴之势，对解题思路看得更透彻了，对知识联系看得更清楚了．这些新解法可以认为是解题分析的一个有益成果．但是，我们倡导的解题分析并不满足于多找出几个解法，而是希望通过解题过程的分析，去领悟：怎样解题，怎样学会解题．本着这样的理念，我们来自觉总结在本案例活动中的两个基本收获：

（1）通过解题分析学会解题．

聪明的学生也许一开始就能找到后面的解法，但是，如果我不算聪明、甚至还有点笨呢，那么上述历程告诉我们，我也可以通过解题过程的分析，自己学会聪明，自己学会解题，使数学解题与智力发展同行．我们的解题教学应该有“学会聪明”这个环节．

（2）解题经验的自觉积累．

基本活动经验的积累可以因人而异，我们从技术层面着重指出三点：

①学会解题过程的结构分析．具体是把解法1“分解”为三个步骤，并组织为新的结构．

②抓住实质性的第3步正面、反面提出问题．具体是思考：有与k功能类似的替代式吗？不用k还能计算x+y+z吗？

③体验到了“结论也是已知信息”、“障碍也是隐含条件”．人们总认为“结论是未知的”、“障碍是消极的”，其实不然，要辩证地看问题．在列方程解应用题时，我们就是设未知数 并把它作为已知数一样参与运算的．

故事5：数学实验．

故事5-1剪纸演示．

例6直观演示

讲解数列的无穷求和怎样用有限的图形表现出来呢？这需要一点数学想象．

故事5-2糖水浓度的演示．

请从下面的现实情景中提炼出一个数学命题，然后给出严格的数学证明．

（1）将3小杯浓度相同的糖水混合成一大杯后，浓度还相同．

由这一情境可得等比定理：

．

（2）糖水加糖变甜了．（糖水未饱和）

（3）将几杯浓度不尽相同的糖水混合成一大杯后，大杯糖水的浓度一定比淡的浓而又比浓的淡．这又是托儿所小孩都知道的事实，但这里有“中间不等式”的必要因素与必要形式，对

，

有

．

（4）取浓度不等的两杯糖水，它们有一个平均浓度，合在一起后又有一个浓度，这两个浓度哪个大呢？这已经是一个有挑战性的问题了，需比较

与

的大小．

讲解（以“糖水加糖变甜了”为例）这是一个尽人皆知的生活事实，这里有数学道理吗？该用什么样的数学关系式来表示呢？

首先，这个情境具有不等式的必要因素与必要形式．变甜、变咸所表达的是大小关系，记为P1<p2．< p="">

这里用到了字母表示数的知识．

其次，这个情境代表什么不等式呢，它又应该用怎样的式子表达出来呢？这要调动“浓度”的概念并继续用字母表示数，设b克糖水里有a克糖（b>a>0），则而？

这还没有把加糖反映出来，P2有待表示．再设加入m克糖（m>0），得

最后，“糖水加糖变甜了”就是

．于是得到一个真分数不等式：

例7若b>a>0，m>0 ，则

．

这个不等式可以有分析法、综合法、反证法、放缩法构造图形、构造定比分点、构造复数、构造函数等10多种证明方法，非常有利于沟通知识和方法之间的联系．

值得指出，很多高考题都可以用真分数不等式来求解，这一事实既说明真分数不等式可以作为一个不等式证明的基本模型，又说明求解高考题时可以化归为课堂上已解决过的问题，或化归为往届高考题．这些高考题的求解，还可以体现模式识别的层次性（直接用、转化用、综合用）．

例7-1[1989年高考数学广东题]

例7-2（1995年数学高考理科第（25）题）

例7-3（2004年数学高考文科第（18）题）

例7-4（1985年数学高考上海题）

例7-5（1998年数学高考题理科第（25）题）

例7-6（2001年数学高考全国卷理科第（20）题）

这几道高考题目课本都没有出现过，但可以认为是真分数不等式的应用．

故事6:自行车问题．

例8-1一个自行车新轮胎，若安装在前轮则行驶5000km后报废，若安装在后轮则行驶3000km后报废．如果行驶一定路程后交换前、后轮胎，使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶多少km？

解法1

解法2

如果你不能求解请先做第2题

例8-2一件工程，平均分为前、后两段，甲工程队干前半段5000小时完成，乙工程队干后半段3000小时完成，如果两工程队同时动工，甲工程队干前段、乙工程队干后段一定时间后，甲、乙两工程队交换（交换时间不计），使前、后两段同时完工，问整个工程一共几小时完成？

如果你能求解请返回做第1题；如果你也不能求解第2题，没关系，请先做第3题．

例8-3一件工程，甲工程队干一半需5000小时，乙工程队干一半需3000小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？

如果你不能求解第3题，请看第4题；如果你能求解请返回做第2、1题，

例8-4一件工程，甲工程队干需10000小时，乙工程队干需6000小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？提示

最终要用两个解法完成第1题．

再解1：设一对新轮胎交换位置后同时报废时自行车共行驶了skm ．由于填空题不需要书写过程，所以，我们不妨设想自行车的车把和车座都可以旋转，用人和车的掉头代替前、后轮交换的装卸．当自行车行驶到s/2 km时，前轮的磨损量恰好是后轮的磨损剩余量，前轮的磨损剩余量恰好是后轮的磨损量，如果此时旋转车把和车座掉头返回出发地，就交换了前、后轮，再行驶s/2 km回到出发地时一对新轮胎同时报废．于是，

一个新轮胎的总磨损量

得  

前进 的磨损量 返程 的磨损量，

再解2：前轮用3个、后轮用5个行驶15000km后，前、后轮共8个同时报废，故2个轮胎同时报废可行驶15000/4km ．

希望完成之后能谈谈感想，想说什么就说什么．

总结以上的案例可以看到，在人类认识总是不断深化的背景下，初步解法本身应是数学上和教学中都可以进一步暴露和提炼的中间过程．事实上，题目的初步解法，只不过是实现了信息向大脑的线性输入，只不过是为进一步的结构化、网络化和丰富联系准备了基本素材，更加有价值的、体现学习者的主动创造性工作的是：将历时性的线性材料组织为一个共时性的立体结构．这时，打破输入顺序的材料会呈现出更本质、更广泛的联系，新输入材料与已储存材料之间也会构成更本质、更广泛的组合，从而揭示出数学内容的更内在的逻辑结构和更直截了当的关系，进而推动解题过程的改进，解题成果的扩大，解题模式的积累，解题经验的生成．如果说，探索活动的思维过程常常带有自发的、实验尝试性特征的话，那么继续进行解题分析的思维活动就带有较多自觉的、理论提炼性的特征了．

谁也无法教会我们解所有的题目，重要的是，通过有限道题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智．

请提问

反馈：

（1）目标实现了没有？

（2）采用讲故事方式有效吗？

应当学会这样一种对待习题的态度，即把习题看做是精密研究的对象，而把解答问题看做是设计和发明的目标．

应该有这样的信念，没有任何一道题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探讨总结，总会有点滴的发现，总能改进这个解答的理解水平．

应把解答问题发展为获得新知识和新技能的学习过程．（而不仅仅是学习结果的巩固）

我们的解题实践表明：分析典型例题的解题过程是学会解题的有效途径，至少在没有找到更好的途径之前，这是一个无以替代的好主意．因而，解题学习要经历：简单模仿、变式练习、自发领悟、自觉领悟．

共勉

①

一个甘于自我封闭的人，他只能越过弱者，永远也超不过强者。

②

一个勇于突破封闭的人，既能超过强者，又能谦让弱者。

（3）数学上负数比零更小，学习中自我封闭比未知更糟．

（4）我只能为祖国的数学而自豪了，愿祖国的为你们的数学而自豪．