习题一解答
1.用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件：
(1)抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件；
(2)记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件一分钟内呼叫次数不超过次}；
(3)从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件寿命在到小时之间}。
解(1)，.
(2)记为一分钟内接到的呼叫次数，则
，.
(3)记为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则
，.
2.袋中有个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设{取得球的号码是偶数}，{取得球的号码是奇数}，{取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).
解(1)是必然事件；
(2)是不可能事件；
(3){取得球的号码是2，4}；
(4){取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；
(5){取得球的号码为奇数，且不小于5}{取得球的号码为5，7，9}；
(6){取得球的号码是不小于5的偶数}{取得球的号码为6，8，10}；
(7){取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}
3.在区间上任取一数，记，，求下列事件的表达式：(1)；(2)；(3)；(4).
解(1);
(2);
(3)因为，所以；
(4)4.用事件的运算关系式表示下列事件：
(1)出现，都不出现（记为）；
(2)都出现，不出现（记为）；
(3)所有三个事件都出现（记为）；
(4)三个事件中至少有一个出现（记为）；
(5)三个事件都不出现（记为）；
(6)不多于一个事件出现（记为）；
(7)不多于两个事件出现（记为）；
(8)三个事件中至少有两个出现（记为）。
解(1)；(2)；
(3)；(4)；
(5)；(6)；
(7)；(8).
5.一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设表示事件“第次抽到废品”，，试用表示下列事件：
(1)第一次、第二次中至少有一次抽到废品；
(2)只有第一次抽到废品；
(3)三次都抽到废品；
(4)至少有一次抽到合格品；
只有两次抽到废品。
解(1)；(2)；(3)；
(4)；(5).
6.接连进行三次射击，设={第次射击命中}，，{三次射击恰好命中二次}，{三次射击至少命中二次}；试用表示和。
解
习题二解答
1．从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。
解这是不放回抽取，样本点总数，记求概率的事件为，则有利于的样本点数.于是
2．一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求
(1)第一次、第二次都取到红球的概率；
(2)第一次取到红球，第二次取到白球的概率；
(3)二次取得的球为红、白各一的概率；
(4)第二次取到红球的概率。
解本题是有放回抽取模式，样本点总数.记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为.
(ⅰ)有利于的样本点数，故
(ⅱ)有利于的样本点数，故
(ⅲ)有利于的样本点数，故
(ⅳ)有利于的样本点数，故.
3．一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋中取2只球，试求：(1)最小号码是3的概率；(2)最大号码是3的概率。
解本题是无放回模式，样本点总数.
(ⅰ)最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且有一次抽到3，因而有利样本点数为，所求概率为.
(ⅱ)最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是有利样本点数为，所求概率为.
4．一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取2次，每次取1只，试求下列事件的概率：
(1)2只都合格；
(2)1只合格，1只不合格；
(3)至少有1只合格。
解分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为，则
注意到，且与互斥，因而由概率的可加性知
5．掷两颗骰子，求下列事件的概率：
(1)点数之和为7；(2)点数之和不超过5；(3)点数之和为偶数。
解分别记题(1)、(2)、(3)的事件为,样本点总数
(ⅰ)含样本点,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3)
(ⅱ)含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)
(ⅲ)含样本点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3),(3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6),一共18个样本点。
6．把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，试求这三名学生住不同宿舍的概率。
解记求概率的事件为，样本点总数为，而有利的样本点数为，所以.
7．总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率：
(1)事件：“其中恰有一位精通英语”；
(2)事件：“其中恰有二位精通英语”；
(3)事件：“其中有人精通英语”。
解样本点总数为
(1)；
(2)；
(3)因，且与互斥，因而
.
8．设一质点一定落在平面内由轴、轴及直线所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，计算这质点落在直线的左边的概率。
解记求概率的事件为，则
为图中阴影部分，而，
最后由几何概型的概率计算公式可得
.
9．（见前面问答题2.3）
10．已知，，，求
(1),；(2)；(3)；(4)；(5).
解(1)，；
(2)；
(3)；
(4),;
(5)
11．设是两个事件，已知，，，试求及
解注意到，因而.于是，；.
习题三解答
1．已知随机事件的概率，随机事件的概率，条件概率，试求及.
解
2．一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率。
解.
3．某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19
(1)已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？
(2)已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？
解记{基金}，{股票}，则
(1)
(2).
4．给定，，，验证下面四个等式：
，
解
5．有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，若坐火车，迟到的概率是0.25，若坐船，迟到的概率是0.3，若坐汽车，迟到的概率是0.1，若坐飞机则不会迟到。求他最后可能迟到的概率。
解{迟到}，{坐火车}，{坐船}，{坐汽车}，{乘飞机}，则，且按题意
，，，.
由全概率公式有：
6．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。求下列事件的概率：
(1)随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球；
(2)合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。
解(1)记{该球是红球}，{取自甲袋}，{取自乙袋}，已知，，所以
(2)
7．某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求该厂产品的次品率。
解
8．发报台分别以概率0.6，0.4发出和，由于通信受到干扰，当发出时，分别以概率0.8和0.2收到和，同样，当发出信号时，分别以0.9和0.1的概率收到和。求(1)收到信号的概率；(2)当收到时，发出的概率。
解记{收到信号}，{发出信号}
(1)
(2).
9．设某工厂有三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%，35%，40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%，2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次品，求它依次是车间生产的概率。
解为方便计，记事件为车间生产的产品，事件{次品}，因此
10．设与独立，且，求下列事件的概率：，，.
解
11．已知独立，且，求.
解因，由独立性有
从而导致
再由，有
所以。最后得到
12．甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，2/3，求目标被命中的概率。
解记{命中目标}，{甲命中}，{乙命中}，{丙命中}，则，因而
13．设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件不通达的概率为，求这个装置通达的概率。假定各个元件通达与否是相互独立的。
解记{通达}，
{元件通达}，
则，所以
14．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率。
解.
15．灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。
解.
16．设在三次独立试验中，事件出现的概率相等，若已知至少出现一次的概率等于19/27，求事件在每次试验中出现的概率.
解记{在第次试验中出现}，
依假设
所以，，此即.
17．加工一零件共需经过3道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%.假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。
解注意到，加工零件为次品，当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。记{第道工序为次品}，则次品率
18．三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4.求此密码被译出的概率。
解记{译出密码}，{第人译出}，则
19．将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次，恰有5次出现正面的概率是多少？有4次至6次出现正面的概率是多少？
解(1)；
(2).
20．某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻，各电梯正在运行的概率均为0.75，求：
(1)在此时刻至少有1台电梯在运行的概率；
(2)在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率；
(3)在此时刻所有电梯都在运行的概率。
解(1)
(2)
(3)
习题四解答
1.下列给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
解要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证是否满足下列二个条件：其一条件为，其二条件为。
依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数列不是随机变量的分布律，因为；（3）中的数列为随机变量的分布律；（4）中的数列不是随机变量的分布律，这是因为。
2.试确定常数，使成为某个随机变量X的分布律，并求：；。
解要使成为某个随机变量的分布律，必须有，由此解得；
（2）
（3）。
3.一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字。从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X的分布律与分布函数。
解X可能取的值为-3，1，2，且，即X的分布律为
X -3 1 2 概率 X的分布函数
0
=
1
4.一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5，从中随机地取3个，以X表示取出的3个球中最大号码，写出X的分布律和分布函数。
解依题意X可能取到的值为3，4，5，事件表示随机取出的3个球的最大号码为3，则另两个球的只能为1号，2号，即；事件表示随机取出的3个球的最大号码为4，因此另外2个球可在1、2、3号球中任选，此时；同理可得。
X的分布律为
X 3 4 5 概率 X的分布函数为
0
1
5.在相同条件下独立地进行5次射击，每次射击时击中目标的概率为0.6，求击中目标的次数X的分布律。
解依题意X服从参数的二项分布，因此，其分布律
，
具体计算后可得
X 0 1 2 3 4 5 概率 6.从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件的抽取。设每次抽取时，各件产品被抽到的可能性相等。在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X的分布律。
每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品；
每次取出的产品都不放回这批产品中；
每次取出一件产品后总是放回一件正品。
解（1）设事件表示第次抽到的产品为正品，依题意，相互独立，且而
即X服从参数的几何分布。
（2）由于每次取出的产品不再放回，因此，X可能取到的值为1，2，3，4，
X的分布律为
X 1 2 3 4 概率 （3）X可能取到的值为1，2，3，4，
所求X的分布律为
X 1 2 3 4 概率 由于三种抽样方式不同，导致X的分布律也不一样，请仔细体会它们的不同处。
7.设随机变量，已知，求与的值。
解由于，因此。
由此可算得
即解得；
此时，。
8.掷一枚均匀的硬币4次，设随机变量X表示出现国徽的次数，求X的分布函数。
解一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为，因此X服从的二项分布，即
由此可得X的分布函数
0，
，
，
，
，
1，
9.某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量X服从参数的泊松分布，问在月初进货时，要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要？
解设至少要进件物品，由题意应满足
即
查泊松分布表可求得。
10.有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001，在某天该段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率。
解设X为1000辆汽车中出事故的次数，依题意，X服从的二项分布，即，由于较大，较小，因此也可以近似地认为X服从的泊松分布，即，所求概率为
11.某试验的成功概率为0.75，失败概率为0.25，若以X表示试验者获得首次成功所进行的试验次数，写出X的分布律。
解设事件表示第次试验成功，则，且相互独立。随机变量X取意味着前次试验未成功，但第次试验成功，因此有
所求的分布律为
X 1 2 … … 概率 0.75 … … 12.设随机变量X的密度函数为
，
0，其他，
试求：（1）常数；（2）X的分布函数。
解（1）成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件，其一为；其二为，因此有，解得，其中舍去，即取。
（2）分布函数
=
=
13.设随机变量X的密度函数为，求：（1）系数；（2）；（3）X的分布函数。
解（1）系数必须满足，由于为偶函数，所以
解得；
（2）；
（3）
=
=
=
=
14.证明：函数
（为正的常数）
为某个随机变量X的密度函数。
证由于，且，
因此满足密度函数的二个条件，由此可得为某个随机变量的密度函数。
15.求出与密度函数
对应的分布函数的表达式。
解当时，
当时，
当时，
综合有
16.设随机变量X在上服从均匀分布，求方程有实根的概率。
解X的密度函数为
；
其他.
方程有实根的充分必要条件为，即，因此所求得概率为
。
17.设某药品的有效期X以天计，其概率密度为
;
0，其他.
求：(1)X的分布函数；(2)至少有200天有效期的概率。
解(1)=
=
(2)。
18.设随机变量X的分布函数为
求X的密度函数，并计算和。
解由分布函数与密度函数的关系，可得在的一切连续点处有，因此
所求概率；
。
19.设随机变量X的分布函数为，求(1)常数；(2)；(3)随机变量X的密度函数。
解：(1)要使成为随机变量X的分布函数，必须满足，即
计算后得
解得
另外，可验证当时，也满足分布函数其余的几条性质。
（2）
（3）X的密度函数
。
20.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位：min）服从的指数分布，其密度函数为，某顾客在窗口等待服务，若超过10min，他就离开。
（1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；
（2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务的概率。
解（1）设随机变量X表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间，依题意X服从的指数分布，且顾客等待时间超过10min就离开，因此，顾客未等到服务就离开的概率为
；
（2）设Y表示某顾客五次去银行未等到服务的次数，则Y服从的二项分布，所求概率为
21.设X服从，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。
解查正态分布表可得
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
（5）
。
22.设X服从，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。
解当时，，借助于该性质，再查标准正态分布函数表可求得
（1）；
（2）
；
（3）；
（4）
；
（5）
；
（6）
。
23.某厂生产的滚珠直径服从正态分布，合格品的规格规定为，求该厂滚珠的合格率。
解所求得概率为
24.某人上班所需的时间（单位：min）已知上班时间为8：30，他每天7：50出门，求：（1）某天迟到的概率；（2）一周（以5天计）最多迟到一次的概率。
解（1）由题意知某人路上所花时间超过40分钟，他就迟到了，因此所求概率为
；
（2）记Y为5天中某人迟到的次数，则Y服从的二项分布，5天中最多迟到一次的概率为
。
习题五解答
1.二维随机变量只能取下列数组中的值：，且取这些组值的概率依次为，求这二维随机变量的分布律。
解由题意可得的联合分布律为
X\Y 0 1 -1 0 0 0 0 2 0 0 2.一口袋中有四个球，它们依次标有数字。从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球。设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。以X、Y分别记第一、二次取到的球上标有的数字，求的分布律及。
解X可能的取值为，Y可能的取值为，相应的，其概率为
或写成
X\Y 1 2 3 1 0 2 3 0 。
3.箱子中装有10件产品，其中2件为次品，每次从箱子中任取一件产品，共取2次，定义随机变量X、Y如下：
X=0，若第一次取出正品；Y=0，若第二次取出正品；
1，若第一次取出次品；1，若第二次取出次品。
分别就下面两种情况求出二维随机变量的联合分布律：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。
解（1）在放回抽样时，X可能取的值为，Y可能取的值也为，且
或写成
X\Y 0 1 0 1 （2）在无放回情形下，X、Y可能取的值也为0或1，但取相应值的概率与有放回情形下不一样，具体为
或写成
X\Y 0 1 0 1 4.对于第1题中的二维随机变量的分布，写出关于X及关于Y的边缘分布律。
解把第1题中的联合分布律按行相加得X的边缘分布律为
X -1 0 2 概率 按列相加得Y的边缘分布律为
Y 0 1 概率 5.对于第3题中的二维随机变量的分布律，分别在有放回和无放回两种情况下，写出关于X及关于Y的边缘分布律。
解在有放回情况下X的边缘分布律为
X 0 1 概率 Y的边缘分布律为
Y 0 1 概率 在无放回情况下X的边缘分布律为
X 0 1 概率 Y的边缘分布律为
Y 0 1 概率 6.求在D上服从均匀分布的随机变量的密度函数及分布函数，其中D为x轴、y轴及直线围成的三角形区域。
解区域D见图5.2。
易算得D的面积为，所以的密度函数
的分布函数
当或时，；
当时,；
当时，；
当时，；
当时，
综合有
7.对于第6题中的二维随机变量的分布，写出关于X及关于Y的边缘密度函数。
解X的边缘密度函数为
==
Y的边缘密度函数为
==
8.在第3题的两种情况下，X与Y是否独立，为什么？
解在有放回情况下，由于，而，即；容易验证
，由独立性定义知X与Y相互独立。
在无放回情况下，由于，而，易见，所以X与Y不相互独立。
9.在第6题中，X与Y是否独立，为什么？
解，而，易见，所以X与Y不相互独立。
10.设X、Y相互独立且分别具有下列的分布律：
X -2 -1 0 0.5 Y -0.5 1 3 概率 概率 写出表示的分布律的表格。
解由于X与Y相互独立，因此
例如
其余的联合概率可同样算得，具体结果为
X\Y -0.5 1 3 -2 -1 0 0.5 11.设X与Y是相互独立的随机变量，X服从上的均匀分布，Y服从参数为5的指数分布，求的联合密度函数及。
解.由均匀分布的定义知
由指数分布的定义知
因为X与Y独立，易得的联合密度函数
概率，
其中区域见图5.3，经计算有
。
12.设二维随机变量的联合密度函数为
求：（1）系数；（2）；（3）证明X与Y相互独立。
解（1）必须满足，即，经计算得；
（2）；
（3）关于X的边缘密度函数
=
同理可求得Y的边缘密度函数为
易见，因此X与Y相互独立。
13.已知二维随机变量的联合密度函数为
（1）求常数；（2）分别求关于X及关于Y的边缘密度函数；（3）X与Y是否独立？
解（1）满足，即解得；
（2）X的边缘密度函数
=
Y的边缘密度函数为
=
（3），而，易见，因此X与Y不相互独立。
14.设随机变量X与Y的联合分布律为
X\Y 0 1 0 1 2 且，（1）求常数的值；（2）当取（1）中的值时，X与Y是否独立？为什么？
解（1）必须满足，即，可推出，另外由条件概率定义及已知的条件得
由此解得，结合可得到，
即
（2）当时，可求得，易见
因此，X与Y不独立。
15.对于第2题中的二维随机变量的分布，求当时X的条件分布律。
解易知，因此时X的条件分布律为
X|Y=2 1 2 3 概率 16.对于第6题中的二维随机变量的分布，求当时Y的条件密度函数。
解X的边缘密度函数为（由第7题所求得）
由条件密度函数的定义知当时Y的条件密度函数为
=
习题六解答
1.设X的分布律为
X -2 -0.5 0 2 4 概率 求出：以下随机变量的分布律。（1）；（2）；（3）。
解由X的分布律可列出下表
概率 -2 -0.5 0 2 4 0 1.5 2 4 6 3 1.5 1 -1 -3 4 0.25 0 4 16 由此表可定出
（1）的分布律为
0 2 4 6 概率 （2）的分布律为
-3 -1 1 3 概率 （3）的分布律为
0 4 16 概率 其中。
2.设随机变量X服从参数的泊松分布，记随机变量试求随机变量Y的分布律。
解由于X服从参数的泊松分布，因此
而；
。
即Y的分布律为
Y 0 1 概率
3.设X的密度函数为求以下随机变量的密度函数：（1）；（2）；（3）。
解求连续型随机变量的函数的密度函数可通过先求其分布函数，然后再求密度函数。如果为单调可导函数，则也可利用性质求得。
（1）解法一：设，则Y的分布函数
==
解法二：，，而，则
=
=
（2）设，则，Y的密度函数
=
（3）设，由于X只取中的值，所以也为单调函数，其反函数，因此Y的密度函数为
=
4.对圆片直径进行测量，测量值X服从上的均匀分布，求圆面积Y的概率密度。
解圆面积，由于X均匀取中的值，所以X的密度函数
且为单调增加函数，其反函数
，
Y的密度函数为
=
5.设随机变量X服从正态分布，试求随机变量的函数的密度函数。
解，所以，此时不为单调函数不能直接利用性质求出。须先求Y的分布函数。
.
=
6.设随机变量X服从参数为1的指数分布，求随机变量的函数的密度函数。
解
的反函数，因此所求的Y的密度函数为
=
7.设X服从，证明服从,其中为两个常数且。
证明由于,所以，记，则当时，为单增函数，其反函数,因此Y的密度函数为，
即证明了。
8.设随机变量X在区间上服从均匀分布，随机变量
试求随机变量函数Y的分布律。
解，则
而；
；
。
因此所求分布律为
Y -1 0 1 概率 0 9.设二维随机变量的分布律
X\Y １ ２ ３ １ ２ ０ ０ ３ ０ 求以下随机变量的分布律：（１）；（２）；（３）；（４）。
解
概率 ０ ０ ０ ２ ３ ４ ３ ４ ５ ４ ５ ６ ０ -１ -2 1 0 -1 2 1 0 1 2 3 2 4 6 3 6 9 从而得到
（1）
２ ３ ４ ５ 概率 （２）
-２ -1 0 1 2 概率
（３）从联合分布律可求得Ｘ的边缘分布律为
Ｘ １ ２ ３ 概率 由此得的分布律为
Ｘ ２ ４ ６ 概率 （４）
1 2 3 6 概率 １０.设随机变量Ｘ、Ｙ相互独立，,
记随机变量，求的分布律；
记随机变量，求的分布律。
从而证实：即使Ｘ、Ｙ服从同样的分布，与的分布并不一定相同，直观地解释这一结论。
解（１）由于，且Ｘ与Ｙ独立，由分布可加性知，即,经计算有
０ １ ２ 概率 （２）由于
０ １ 概率 因此
０ ２ 概率
易见与的分布并不相同。直观的解释是的与的取值并不相同，这是因为与并不一定同时取同一值，因而导致它们的分布也不同。
１１.设二维随机变量的联合分布律为
X\Y １ ２ ３ １ ０ ０ ２ ０ ３ 求的分布律；
求的分布律。
解（１）随机变量可能取到的值为１，２，３中的一个，且
综合有
１ ２ ３ 概率 （２）随机变量可能取到的值为１，２，３中的一个，且
同理可求得综合有
１ ２ ３ 概率 １２.设二维随机变量服从在Ｄ上的均匀分布，其中Ｄ为直线，所围成的区域，求的分布函数及密度函数。
解的联合密度函数为
设，则的分布函数
其中区域，
当时，积分区域见图6.2，此时
当时，积分区域见图6.3，此时
其中是区域限在中的那部分。
当时，积分区域见图6.4，此时
其中是区域限在中的那部分。
当时，积分区域见图6.5，此时
。
综合有
的密度函数
13.设的密度函数为，用函数表达随机变量的密度函数。
解设,则的分布函数
。
对积分变量作变换，得到
于是，交换积分变量的次序得
从而，的密度函数为，
把与的地位对换，同样可得到的密度函数的另一种形式。
习题七解答
1.设的分布律为，
X -1 0 1 2 概率
求（1），（2），（3），（4）。
解由随机变量X的分布律，得
X -1 0 1 2 -X+1 2 1 0 -1 X2 1 0 1 4 P 所以
另外，也可根据数学期望的性质可得：
2.设随机变量X服从参数为的泊松分布，且已知，求的值。
解
3.设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，试求的数学期望。
解
所以
故
4.国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X是一个随机变量，它在[2000，4000]（单位：吨）上服从均匀分布。若每售出一吨，可得外汇3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元。问应组织多少货源，才能使平均收益最大？
解设随机变量Y表示平均收益（单位：万元），进货量为吨
Y=
则
要使得平均收益最大，所以
得（吨）
5.一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2，0.3，假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的数学期望和方差。
解X的可能取值为0，1，2，3，有
所以X的分布律为
X 0 1 2 3 Pr 0.504 0.398 0.092 0.006
6.设X的密度函数为，求（1）；（2）。
解（1）
（2）
注：求解（1）时利用被积函数是奇函数的性质，求解（2）时化简为可以看成为是服从参数为1的指数分布随机变量的二阶原点矩。
7.某商店经销商品的利润率的密度函数为，求,。
解（1）
（2）
故
8.设随机变量X的密度函数为
0
求、、、。
解
9.设随机变量的联合分布律为
X\Y 0 1 0 0.3 0.2 1 0.4 0.1 求、、、、、、、。
解关于X与Y的边缘分布律分别为：
X 0 1 Y 0 1 Pr 0.5 0.5 Pr 0.7 0.3
10.设随机变量X,Y相互独立，它们的密度函数分别为
求。
解，所以，
，所以，
X,Y相互独立，所以
。
11.设服从在A上的均匀分布，其中A为x轴、y轴及直线所围成的区域，求（1）；（2）；（3）的值。
解先画出A区域的图
2
0其他
0其他
0其他
12.设随机变量的联合密度函数为
0其他
求。
解先画出区域的图
0其他
0其他
13.设随机变量X,Y相互独立，且，求。
解
14.设，求（1）；（2）。
解：（1）
（2）
15.设随机变量相互独立，，，求。
解
16.验证：当为二维连续型随机变量时，按公式及按公式算得的值相等。这里，、依次表示的分布密度。
证明
17.设的方差为2.5，利用契比晓夫不等式估计的值。
解
18.设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，根据切比雪夫不等式估计的值。
解
所以
21.在人寿保险公司里有3000个同龄的人参加人寿保险。在1年内每人的死亡率为0.1%，参加保险的人在1年的第一天交付保险费10元，死亡时家属可以从保险公司领取2000元。试用中心极限定理求保险公司亏本的概率。
解设死亡人数为，保险公司亏本当且仅当，即。于是，由棣莫弗—拉普拉斯定理，公司亏本的概率为
习题九解答
1.设是来自服从参数为的泊松分布的样本，试写出样本的联合分布律。
解
2.设是来自上的均匀分布的样本，未知
（1）写出样本的联合密度函数；
（2）指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？
（3）设样本的一组观察是：0.5,1,0.7,0.6,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差。
解
（1）
0其他
（2）和是，和不是。因为和中不含总体中的唯一未知参数，而和中含有未知参数。
（3）样本均值
样本方差
样本标准差。
3.查表求，，，。
解，，，。
4.设，求常数，使。
解由t分布关于纵轴对称，所以即为。
由附表5.6可查得，所以。
5.设是来自正态总体的样本，试证：
（1）；
（2）。
证明：
（1）独立同分布于，由分布的定义，，即。
（2）易见，，即，由分布的定义，，即。
6.设是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个都服从。
（1）试给出常数，使得服从分布，并指出它的自由度；
（2）试给出常数，使得服从t分布，并指出它的自由度。
解
（1）易见，即为二个独立的服从的随机变量平方和，服从分布，即；自由度为2。
（2）由于，则。
又，与相互独立，则
即
即，自由度为3。
7.设是取自总体的一个样本，在下列三种情况下，分别求：（1）；（2）；（3），其中。
解
（1）
（2）
（3），其中
8.某市有100000个年满18岁的居民，他们中10%年收入超过1万，20%受过高等教育。今从中抽取1600人的随机样本，求：
（1）样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率；
（2）样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率。
解
（1）引入新变量：
1，第个样本居民年收入超过1万
0，第个样本居民年收入没超过1万
其中
易见：
又因，故可以近似看成有放回抽样，相互独立。
样本中年收入超过1万的比例即为，由于较大，可以使用渐近分布求解，即，所求概率即为
（2）同（1）解法
引入新变量：
1，第个样本居民受过高等教育
0，第个样本居民未受过高等教育
其中
答：（1）样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率为0.0918；
（2）样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率为0.6826。
习题十解答
1.设是取自总体X的一个样本，在下列情形下，试求总体参数的矩估计与最大似然估计：
（1），其中未知，；
（2），其中未知，。
解（1），故的矩估计量有。
另，X的分布律为，
故似然函数为
对数似然函数为：
令
解得的最大似然估计量。
可以看出的矩估计量与最大似然估计量是相同的。
（2），令，故的矩估计量。
另，X的密度函数为
故似然函数为
对数似然函数为
解得的最大似然估计量。
可以看出的矩估计量与最大似然估计量是相同的。
2.设是取自总体X的一个样本，其中X服从参数为的泊松分布，其中未知，，求的矩估计与最大似然估计，如得到一组样本观测值
X 0 1 2 3 4 频数 17 20 10 2 1 求的矩估计值与最大似然估计值。
解，故的矩估计量。
由样本观测值可算得
另，X的分布律为
故似然函数为
对数似然函数为
解得的最大似然估计量，
故的最大似然估计值。
3.设是取自总体X的一个样本，其中X服从区间的均匀分布，其中未知，求的矩估计。
解，令，故的矩估计量。
4.设是取自总体X的一个样本，X的密度函数为
其中未知，求的矩估计。
解，令，故的矩估计量为。
5.设是取自总体X的一个样本，X的密度函数为
其中未知，求的矩估计和最大似然估计。
解，令，故的矩估计量为，另，似然函数
对数似然函数为
解得的最大似然估计量为。
6.设是取自总体X的一个样本，总体X服从参数为的几何分布，即，其中未知，，求的最大似然估计。
解似然函数
对数似然函数
解得的最大似然估计量为。
7.已知某路口车辆经过的时间间隔服从指数分布，其中未知，现在观测到六个时间间隔数据（单位：s）：1.8,3.2,4,8,4.5,2.5，试求该路口车辆经过的平均时间间隔的矩估计值与最大似然估计值。
解根据习题1的结果，的矩估计和最大似然估计量都为，故平均时间间隔的矩估计和最大似然估计都为，即为。
由样本观测值可算得。
8.设总体X的密度函数为，其中未知，设是取自这个总体的一个样本，试求的最大似然估计。
解似然函数，
对数似然函数为
得的最大似然估计量为。
9.在第3题中的矩估计是否是的无偏估计？
解
故的矩估计量是的无偏估计。
10.试证第8题中的最大似然估计是的无偏估计。
证明：
故的最大似然估计是的无偏估计。
11.设为总体的样本，证明
都是总体均值的无偏估计，并进一步判断哪一个估计有效。
证明
所以都是总体均值的无偏估计。
又
可见，所以二个估计量中更有效。
12.设是取自总体的一个样本，其中未知，令，试证是的相合估计。
证明易见
又，
由第九章公式（9），，
故。
由切比雪夫不等式，当，对任给，
，即是的相合估计。
1.某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X服从正态分布，从某天生产的产品中随机抽取6个，量得直径如下（单位：mm）：14.7,15.0,14.9,14.8,15.2,15.1，求的0.9双侧置信区间和0.99双侧置信区间。
解由于已知，所以选用的置信区间。
当，查表得，当，查表得。
代入数据得的双侧0.9置信区间观测值为，即为。
的双侧0.99置信区间观测值为，即为。
2.假定某商店中一种商品的月销售量服从正态分布，未知。为了合理的确定对该商品的进货量，需对和作估计，为此随机抽取七个月，其销售量分别为：64，57，49，81，76，70，59，试求的双侧0.95置信区间和方差的双侧0.9置信区间。
解由于和都未知，故的双侧置信区间为
，
的双侧置信区间为
，
代入数据得
，
的0.95双侧置信区间观测值为，即为。
的0.9双侧置信区间观测值为，即为。
3.随机地取某种子弹9发作试验，测得子弹速度的，设子弹速度服从正态分布，求这种子弹速度的标准差和方差的双侧0.95置信区间。
解由于未知，故的双侧置信区间为，代入数据得，
的0.95双侧置信区间观测值为，即为。故的0.95双侧置信区间观测值为，即为。
4.已知某炼铁厂的铁水含碳量（1%）正常情况下服从正态分布，且标准差。现测量五炉铁水，其含碳量分别是：4.28,4.4,4.42,4.35,4.37（1%），试求未知参数的单侧置信水平为0.95的置信下限和置信上限。
解由于已知，故的单侧置信下限为，的单侧置信上限为，代入数据得，故的0.95单侧置信下限观测值为，的0.95单侧置信上限观测值为。
5.某单位职工每天的医疗费服从正态分布，现抽查了25天，得元，元，求职工每天医疗费均值的双侧0.95置信区间。
解由于未知，故的双侧置信区间为，代入数据得，故的0.95双侧置信区间观测值为，即为。
6.某食品加工厂有甲乙两条加工猪肉罐头的生产线。设罐头质量服从正态分布并假设甲生产线与乙生产线互不影响。从甲生产线并假设抽取10只管头测得其平均质量，已知其总体标准差；从乙生产线抽取20只罐头测得其平均质量，已知其总体标准差，求甲乙两条猪肉罐头生产线生产罐头质量的均值差的双侧0.99置信区间。
解由于已知，故的的双侧置信区间为
代入数据得，故的0.99双侧置信区间观测值为，即为。
7.为了比较甲、乙两种显像管的使用寿命X和Y，随机的抽取甲、乙两种显像管各10只，得数据和（单位：），且由此算得，，假定两种显像管的使用寿命均服从正态分布，且由生产过程知道它们的方差相等。试求两个总体均值之差的双侧0.95置信区间。
解由于未知，故的双侧置信区间为
其中，
代入数据得，故的0.95双侧置信区间观测值为
,
即为。
8.在3091个男生，3581个女生组成的总体中，随机不放回地抽取100人，观察其中男生的成数，要求计算样本中男生成数的SE。
解由于样本大小相对于总体容量来说很小，因此可使用有放回抽样的公式。
样本成数，估计，标准差SE的估计为。
9.抽取1000人的随机样本估计一个大的人口总体中拥有私人汽车的人的百分数，样本中有543人拥有私人汽车，（1）求样本中拥有私人汽车的人的百分数的SE；（2）求总体中拥有私人汽车的人的百分数的95%的置信区间。
解，
故，
所以总体中拥有私人汽车的人的百分数的95%的置信区间观测值为。
1
1
1/3
图2.3
2
1
4
3
6
5
图3.1
y
1
-101x
图5.2
y
0.2x
图5.3
-202x
图6.2
y
2
-202x
y
2
-202x
y
2
图6.4
图6.3
-202x
y
2
图6.5
y
0x
-1x
A
y
-1
-1-y
y
1
01x
G
|
|
