|
【andrewshen的回答(84票)】: 现在做的 project 就和拓扑绝缘体有关系. 不过 project 做不动, 还是先来简单科普一下, 换换脑子. 我主要谈谈拓扑学在冷原子物理学中的应用. 既然说谈到拓扑学在物理中的应用, 那就首先第一个问题是拓扑学是什么? 经常听到一个科普的说法: 拓扑学是橡皮泥的数学. 具体地说, 拓扑学研究几何物体在连续形变下保持不变的那些性质. 所谓连续形变是指变形时不撕裂, 不粘合. 我们举一个橡皮筋的例子. 将一个橡皮筋套在一个球面上, 显然橡皮筋可以始终保持在球面, 并且缩到一点. 将一个橡皮筋套在圆环上, 则橡皮筋没有办法缩到一点. 这实际上表明了: 球面上的闭合道路可以连续地形变成一点, 即球面上任何闭合的道路都和一个点等同; 圆环上的闭合道路可以不和一个点等同. 从这个角度说, 圆环和球面拓扑性质是不一样的. 事实上, 还容易发现圆环上的闭合道路是可以通过绕圆环的圈数来分类的: 从圆环一点出发, 绕了圆环 n 圈, 最终回到那一点的任何闭合道路在拓扑上都是等同的. 上面的结论用拓扑学家的话说, 就是球面的第一同伦群是平凡群  , 圆环的第一同伦群是整数加法群  . 在拓扑学的世界里, 没有大小和远近的概念. 如果一个几何物体可以连续形变成另一个, 那这两个物体在拓扑上没有区别. 这是拓扑学和几何学最大的不同. 我们回到物理上来. 上面已经说到, 在拓扑学的世界里没有距离的概念. 在物理学中, 我们就用拓扑学来刻画那些与距离, 大小等几何性质无关的物理性质. 比如在冷原子物理学中的超流中, 有所谓拓扑激发(或者叫拓扑缺陷). 举两个例子:
再比如在凝聚态物理学中, 前段时间所谓"拓扑绝缘体"的概念很火. 所谓拓扑绝缘体, 用一句话概括, 就是固体大块(bulk)是绝缘体, 但其边缘或者表面为金属. 这个边缘/表面的金属态的存在与否, 与拓扑学有很大关系. 有兴趣可以参考一个相关的问题: 受到时间反演对称性保护，这句话应该如何理解？ - andrew shen 的回答, 涉及到所谓  不变量. 拓扑绝缘体中另外一个重要的拓扑不变量是所谓陈数(Chern number), 和相空间中的 Berry curvature 有关. 这严格来说其实已经超出了拓扑学的范畴, 因为曲率是几何学中的概念, 但 Gauss-Bonnet theorem 又显示出两者有紧密联系. 限于篇幅这里不打算继续介绍. 有兴趣可以参考 Wikipedia: Berry connection and curvature 及其上面给出的 References. 类似冷原子系统, 在拓扑绝缘体中也会有拓扑激发, 最典型的例子是 Skyrmion. 由于这种激发很小, 远小于磁畴, 有人认为这种激发也许是未来硬盘发展的方向. 有兴趣可以看这篇科普: http://www.nature.com/news/twisted-magnetic-fields-tie-information-in-a-knot-1.13530 【傅渥成的回答(43票)】: 我来说一些跟固体物理无关的应用，展示一些更直观的图像。我想讲的是在软物质和生物物理方面的一些例子。 在固体中，组成晶格的离子本身处在一定的空间位置上，一旦排错就可能出现缺陷，有的是拓扑性的缺陷，同时固体里还有电子，电子可以有自旋的取向。而在软物质体系里情况可以变得更有意思，构成液晶的分子不但在空间中占据一定的位置，而且还具有一定的取向，因此在固体物理里可能出现的许多拓扑问题，都能在液晶里找到甚至更容易地观察到。如下图（a）-（d）中就展示了一些几种不同的拓扑缺陷结构（图引自Topological structure dynamics revealing collective evolution in active nematics : Nature Communications : Nature Publishing Group，中文的说明可以参考：微观拓扑缺陷与宏观大尺度动力学）。 液晶的取向性质很好玩，但是不是还可以更好玩些？于是有了 Active matter: Playful topology （http://www.nature.com/nmat/journal/v13/n11/full/nmat4123.html），在生物体系的集体行为中里，我们也能看到像液晶一样的现象，例如形成集群在空中飞行（或者盘旋）的鸟，水中的鱼群，又或者细胞内的分子马达和微管，如果在空间上相互靠近，为了避免碰撞，也会保持相近的取向。更有意思的是，这些「分子」还是能自己驱动的。与电子体系相比，这些体系中的「缺陷」和「涡旋」都是大家在生活中非常常见的。 因为考虑到取向问题，我们还可以来想一些更有意思的装配问题，如果在一个球面上排上液晶分子，那么会怎样？首先不难想象，肯定会出现缺陷，如下图（图来自：Morphology of nematic and smectic vesicles），在病毒的装配时，也会遇到类似的问题。而囊泡的情况还更为复杂，如果发生变形，那么变形过程中可能出现更有意思的一些过程，Morphology transition in lipid vesicles due to in-plane order and topological defects。中文说明请参考：囊泡液晶序和囊泡形状。 再生物一些，我们还可以想到DNA在形成螺旋和解螺旋过程中的「拓扑异构酶」，当然我们知道这种酶并不是真的去解开螺旋，而是通过切开和重新封口而形成的。从这种原理中我们其实可以得到启发，更复杂地通过多条链之间的配对关系，可以帮助我们用 DNA 组装出各种有意思的结构，例如 M?bius 环，我们甚至还可以剪开它看看是不是跟用纸带做出来的实验结果一致（图片来自：Folding and cutting DNA into reconfigurable topological nanostructures : Nature Nanotechnology : Nature Publishing Group）。 另一个与拓扑有关的基本问题就是扭结（Knot）。在扭结理论方面，生物分子也不甘示弱， 不但有赝结（Pseudoknot），还可以真的打结，例如传说中的打结蛋白（Knotted protein）。最初研究发现打结蛋白的科学家其实是从拓扑学得到了启发，想要在他们的计算中避免打结的情况，因为他们认为一旦出现打结，那么折叠过程可能更长，在自然选择中很可能会被淘汰，于是他们写了个程序可以判断蛋白质折叠过程中是否打结——然而他们用他们的程序去测试蛋白质的 PDB 数据库里的结构时，却发现打结蛋白并不少，如图（图来自：Chemical & Engineering News: Latest News）。现在，打结蛋白的有关研究也已经成为一个比较热点的问题。 【AmandaLynn的回答(8票)】: 【杜纸钱的回答(3票)】: 感谢知友的纠正，这里用到的是几何属性，比拓扑属性条件更多。 拓扑绝缘体不懂。但是要深入理论物理的任何领域，拓扑都会出现。它太基本了。 场论里拉格朗日量的对称群，紧的，局部紧的，和局部非紧的有很大不同。局部非紧的是gauge symmetry，比局部紧的复杂很多。 因果律是洛伦兹群不连通的直接结果。 非整数自旋的出现，是由于SO3群不单连通, 旋转奇数圈不能变回自身。 听说维腾研究的超对称和弦论，拓扑是很重要的话题。 【MingleiXiao的回答(2票)】: 在string phenomenology里面，代数拓扑是最基本的语言啦。 神马复几何，代数几何，都要用到拓扑的方法。 Chern class，Hodge number, divisor这些，要用来分类Calabi-Yau流形，进而试图在上面建立物理结构，试图和标准模型联系在一起。 有一大堆理论，神马Donaldson, Witten, .......全是建立在拓扑的基础上的。 【MingleiXiao的回答(1票)】: The Big Picture简单说就是：量子态的分类方法。 有时用代数不变量（比如Casmir），有时用拓扑不变量。 用后者分类时，拓扑不平凡的态就称为拓扑解。 至于什么时拓扑不平凡，上面的大神都说了。从场的角度来说就是场位形的拓扑类（同伦类），不同类的场位形之间不能通过连续变化得到彼此。 至于凝聚态里的具体例子，我就不清楚了。 【知乎用户的回答(1票)】: 据我所知，拓扑绝缘体之所以用拓扑这个概念是因为使用了拓扑对绝缘体进行了分类。从更本质的微观物理图象上总是可以用各种机制来解释各种具体材料的具体性质，比如自旋轨道耦合，朗道能级分裂。但是除了这些具体的起源对物理实体进行解释外，理论上还可以做的事就是可以从更一般的高度用一些简单的量来分类。比如用带隙来分类绝缘体和半导体而不具体考察晶体的具体的晶体结构和能带形状，再如用莫氏硬度对固体来分类而不管到底是不是晶体。 而利用拓扑性质也可以进行分类，在我看来和利用其它某种性质进行分类没有原理上的区别。不同之处在于它所揭示的或者分类的方式具有更高的完备性并且给出了一定的实践指导意义。比如拓扑绝缘体对绝缘体的分类，平凡的绝缘体只是有带隙，而拓扑绝缘体在「内部」是有带隙而在「边界」却有零带隙的态。而这种「内部」与「边界」的关系在二维和三维分别体现为面内与边，体内与表面的对应关系。看似奇怪的能带结构和性质其实可以用能带的拓扑性质来分类，仔细想想这其实也很自然和直接。比如地上有好几坨丑袜子，我们总是可以根据有奇数只还是偶数只来分类哪些袜子有可以继续穿哪些得扔掉。所以能带的chern number就自然也起到了分类不同绝缘体的作用，而且分类的这个群性质还很简单，就和把整数分成奇数或者偶数一样。 至于这么干有什么用，很简单。从理论是就可以通过计算来预测一个具体晶体有没有可能是拓扑绝缘体。这大大延长了做材料(实际上就是烧炉子)的人的职业生涯，并且即使测不到表面狄拉克费米子别人也不一点敢把你批判一番，因为体内也有贡献啊，说不定表面性质被淹没了。同时做理论的人还可以一挥手指点江山，把天下分成九州，然后尔等做实验的就可以拿着官印各领xx州牧了。 原文地址:知乎 |
|
|
