注重整体设计突出实质联系
——青岛版《义务教育教科书·数学》八年级下册第七章“实数”简介
山东沂南四中（276399）李树臣
【发表在《中学数学教材参考》2014第1-2期】
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）强调指出“教材的整体设计要呈现不同数学知识之间的关联。一些数学知识之间存在逻辑顺序，教材编写应有利于学生感悟这种顺序。一些知识之间存在着实质性的联系，这种联系体现在相同的内容领域，也体现在不同的内容领域。”根据这一要求，教材在课程内容的整合、学习素材的选取和编排体系的确定等方面应统筹规划、整体设计，突出核心内容，体现这些实质性联系，展示数学知识的整体性和数学方法的一般性。青岛版《义务教育教科书·数学》八年级下册第七章“实数”就很好地体现了上述精神。
1本章内容概述
1.1知识结构图（图1）
1.2内容概述
本章是由传统教科书中的“勾股定理”和“数的开方”两部分内容整合而成的，主要内容有二：一是在有理数的基础上，通过研究平方、立方运算的逆运算以及由已知一边的平方求这边边长的需要，引入新的运算——开平方和开立方运算，以及开方运算产生的新数——无理数，将数的范围扩充到实数。二是在给定图形的基础上，通过探索得到勾股定理及判定一个三角形是直角三角形的方法。
第1节，教科书首先从学生已经掌握的“已知正方形的边长求面积”的问题出发，提出它的逆问题“已知正方形的面积，如何求边长”呢？然后通过三个具体问题，使学生体验平方运算与求算术根运算的互逆关系，让学生在经历思考、讨论、交流、求解等过程的基础上，给出算术平方根的意义和记法。如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为。最后让学生根据算术平方根的意义，通过思考、观察、尝试等活动，学会求简单完全平方数的算术平方根问题。
第2节，教科书用“实验与探究”栏目巧妙的设计了一个操作型问题，引导学生进行剪纸、拼图、观察、探索、猜想、交流等数学活动。学生通过认真操作、仔细观察、大胆猜想、反复验证将会自主发现勾股定理。由于《课标（2011年版）》不要求证明勾股定理（及其逆定理）的真实性，所以教科书直接运用该定理。考虑到勾股定理揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系，教科书自然就把勾股定理的应用与求算术根结合起来，在学生探索得到勾股定理之后，及时安排了两个应用勾股定理的实际问题。最后用“史海漫游”栏目图文并茂的介绍了张爽的“弦图”，使学生进一步感受数学解题策略的多样性和勾股定理的文化价值。
第3节，教科书首先通过运用勾股定理求腰长是1的等腰直角三角形斜边长的问题，得到一个新数（体现出扩充数系的必要性），紧接着运用推理的方法说明既不是整数，也不是分数，这样渗透了推理论证的思想。之后用估算的方法进一步研究的取值范围，借助电子计算机逐步逼近它的真实值，结果发现它既不是有限小数，也不是循环小数，而是一个无限不循环小数。又通过类似的手段，探索发现，，都是无限不循环小数。这样安排可让学生“亲身”感受到在求一些数的算术平方根时会得到无限不循环小数。最后又列举出及0.101001000100001…等无限不循环小数，使学生感受到在我们的生活中确实存在着大量的无限不循环小数（体现出扩充数系的合理性），从而引出无理数的概念。
在建立起无理数概念后，教科书引导学生利用勾股定理探究长度是，，等无理数的线段的几何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来。这样安排既反映了“数”和“形”互相表示、相互交融的数学提炼、演变、发展过程，又加深了学生对无理数概念的直观认识，从而真正认识并理解数轴上“存在”着大量的点，它们对应的是无理数。
第4节，教科书设计了一个实验探究问题，让学生通过实验操作和逻辑推理相结合的方法得到了直角三角形的判定方法——勾股定理的逆定理。这样安排对于培养学生的合情推理能力和演绎推理能力都是非常必要的。
第5节，教科书首先在学生已经学过算术平方根的基础上，提出四个问题引导学生进行思考、交流等活动。在此基础上，引出平方根的概念和记法，通过相互交流发现，正数a有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根就是它的算术平方根，负的平方根是它的算术平方根的相反数-，合起来记作±。然后给出开平方的概念，最后通过两个例题，引导学生能根据平方运算和开平方运算的互逆关系，掌握求正数的平方根的方法。
第6节，教科书首先从已知正方体水箱体积，怎样计算其棱长的实际问题出发，引进立方根的概念、记法及开立方的概念。然后结合例题引导学生掌握求一个数的立方根的方法，在此基础上归纳出，正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0，并得到，如果a＞0，则有，从而明确求一个负数的立方根时，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取它的相反数。最后探究了估算立方根大小的问题。
第7节主要介绍了用计算器开平方和开立方的方法。
第8节，教科书首先在学生已学过有理数和无理数的基础上，将数的范围扩充到实数，给出了实数的两种分类方法。然后通过精心设计的系列问题，引导学生通过观察、思考、交流、发现等活动，得到在实数范围内，有理数的一切运算法则、运算律、运算顺序和运算性质仍能适用，实数和数轴上的点一一对应，有序实数对和坐标平面上的点一一对应等结论。这为后面将要学习的一元一次不等式和一次函数奠定了基础。
从以上对内容的论述来看，“数的开方”与“勾股定理”的相关内容环环相扣、彼此融合、整分合一。这种处理方式为平方根、立方根的计算、方根的估算以及实数概念的最后建立奠定了坚实的基础。从思想方法的角度上看，本章主要体现了归纳的方法，突出的渗透了数形结合及互逆的思想。
1.3学习目标
（1）了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根。
（2）会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求数的平方根和立方根。
（3）经历勾股定理的探索过程，体会无理数的产生过程，会用勾股定理解决实际问题。
（4）会用勾股定理的逆定理判定直角三角形，了解勾股数组的概念。
（5）了解无理数和实数的概念，了解实数与数轴上点的一一对应。
（6）能用有理数估计无理数的大致范围，发展学生的数感。
（7）会利用计算器进行有关实数的简单近似计算。
（8）通过勾股定理和无理数产生的史料介绍，感受数学文化的丰富内涵，体验数与形之间深刻的内在联系。
2编写时重点考虑的几个问题
2.1把“勾股定理”和“数的开方”合为一章“实数”
从《课标（2011年版）》可知，“勾股定理”和“数的开方”分别是“图形与几何”和“数与代数”两个方面的核心内容，它们分别代表着“形”和“数”，从科学发展史来看，二者有着密切的关联，是并存发展的。如，等无理数是伴随着勾股定理的发现而诞生的，所以说无理数使得勾股定理对于边长是任意正数的直角三角形都能成立，反过来，勾股定理使得无理数有了明确直观的几何解释。基于此，我们将“勾股定理”和“数的开方”合为“实数”一章。这种安排是还实数（勾股定理）到其应在的“位置”之中。二者合为一体，揭示了他们之间本来固有的实质性的联系，体现了数学的整体性和文化价值。
这种处理方式，不仅解决了传统教材中将二者分设后，究竟先安排勾股定理再安排无理数，还是先安排无理数再安排勾股定理的矛盾，同时还回归到人类发现勾股定理和无理数的历史，揭示了二者之间的联系。是“形”和“数”两个研究对象在一定条件下相互转化，相互渗透的典范。也符合《课标（2011年版）》突出对数学思想方法加强渗透的要求精神。正如我国著名数学家华罗庚曾说过的那样：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”。
本章之后将在实数范围内讨论一元一次不等式、二次根式、一次函数。这种统筹安排、整体设计的方式有利于学生逐步掌握当数域扩充后数学研究的规律和方法，加深了学生对数学本质的理解与感受。同时，这种设计更加印证了人类对数的认识是在生产、生活和数学自身矛盾的发展过程中不断加深和完善的事实。
2.2精心设计问题情境，引导学生自主探索
《课标（2011年版）》提倡动手实践、自主探索、合作交流的学习方式。指出“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”本章内容的编写充分考虑到这一要求，我们结合具体的课程内容，精心选择情境材料，引导学生进行自主探索与合作交流等活动。主要表现在三个方面：
其一，加强了实验几何的教学，新的数学知识是让学生探索发现的，而不是直接给出的。实验几何是发现几何命题和定理的有效工具，对于培养学生的合情推理能力和创造性思维能力都是非常有益的。本章中的“勾股定理”就是用实验和观察的方法得到的，突出了实验几何的地位。对其处理的方式是分三步完成的：首先让学生通过独立剪纸、拼图、观察、探索、猜想发现结论；其次是相互交流得到这一定理；最后在实际应用中（两个例题）加深对勾股定理的理解。为了拓宽学生对这一定理的认识，教科书用“挑战自我”的栏目给出图2，引导学生结合图形验证勾股定理。这样安排能把实验几何和论证几何有机的结合在一起。体现了《课标（2011年版）》倡导的“问题情境——建立模型——求解验证”的课程素材呈现方式。
其二，重视估计方法的培养。为了落实《课标（2011年版）》提出的“能用有理数估计一个无理数的大致范围。”的要求，我们结合对“是有理数吗”的探讨，恰当的安排了估计的十分位、百分位的方法。这对于培养学生的估计意识是非常必要的。
其三，开放性和探究性问题的设计。本章教科书中给出了许多开放性的问题，引导学生进行探究，强调了学生在教学活动中的主体作用。例如，“勾股定理”之后的安排的“史海漫谈”中指出“勾股定理的证明方法多达370多种”，这样的说明有利于激起学生的探索欲望，激发他们尝试用尽量多的方法去验证这一创“证明方法”之最的定理。
2.3重视体现数学的文化价值
数学作为一种基本的科学文化，以其内在的思想、精神、方法和庞大的知识体系广泛而深刻的辐射、渗透和扩展到了人类文化的几乎所有领域，深刻的影响并改变着这些文化门类的科学进程。从而形成了一个具有多层次、多功能的复杂的动态文化系统。加强数学文化教育不仅使人更有知识，思考问题更严密、周到，而且使人更聪明，思维更敏捷，还可以使人变得更富有、更高大、更高尚。从数学文化的角度来看，本章围绕数的扩充和勾股定理两个主题，通过勾股定理的发现，无理数的发现，勾股定理的验证，勾股数组、圆周率的推算等史料的展示和对一些趣题的探求过程，充分体现了勾股定理和实数的文化价值，以及人类在认识客观世界时的艰辛历程。学生在探索的过程中，感受到了其中的数学思想方法，开拓了知识视野，提高了数学修养。
2.4重视了计算器的应用
舍弃表算，使用计算器求一个数的平方根、立方根及用计算器进行有关的实数计算，改变了学生的学习方式，使学生乐意并可节省出更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去，这也是本章教科书的一个特点。
3教学建议
3.1在引导学生经历知识的发生和发展过程中，加深对所学概念的理解
为了落实《课标（2011年版）》提出的过程性目标，教学中必须体现数学化的过程。本章引入了较多的新概念，如算术平方根、平方根、立方根、无理数、实数等，形成一个“概念群”。这些概念的形成源于生活实际和数学内部发展两个方面的需要。经过由具体到抽象、由特殊到一般,以及分析、综合、概括等认识过程,舍去非本质特征,保留其本质属性而得到的。教科书为使学生对这些概念有明确的认识，提供了丰富的背景材料，安排了一系列的数学活动。如无理数的引入就涉及计算、推理、探究、估算等活动。教学时,教师应组织学生充分参与这些活动,经历无理数概念形成的这一过程。让学生在活动中不仅学到知识，同时还能体验到数学活动中充满探索性与创造性，以培养学生的求知欲和好奇心，提高学生的思维品质和思维水平。
3.2注重数学结论的探索过程和应用过程
本章中的很多知识都伴随着一定的活动过程，因此，教学中教师一定要引导学生经历这种过程。如为了使学生更好地认识勾股定理,教师应对教科书设计的探索勾股定理、验证勾股定理、探索直角三角形的条件等数学活动进行加工、升级和改造。努力引导学生通过图形的拼接，探究三个正方形面积之间的关系，得出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方的结论,再通过图形的其他拼接方式验证勾股定理的正确性；通过围绕边长分别是3，4，5和5，12，13的三角形,验证边长满足a2+b2=c2的关系,然后判断这两个三角形的形状,从而发现“如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形”的结论,并引导学生思考这个结论与勾股定理的关系。在思考、交流的过程中发现他们的互逆关系。以不断发展其空间观念，培养其推理能力。
勾股定理及其逆定理在现实生活中有着广泛的应用,教师应充分利用教科书所提供的我国古代算书《算法统宗》中的有趣题目、练习和习题中有关勾股定理应用的素材,让学生体会这种应用。教师还可以创设其他现实情境或鼓励学生自己去寻找有关的应用素材,认识勾股定理及其逆定理在生活中的广泛应用,培养学生应用数学知识解决实际问题的意识和能力。
3.3关注勾股定理、无理数的发现等史料,体现相关内容的文化价值
人类对于勾股定理和勾股数的研究源远流长。据史料记载,至少在3600多年以前,古巴比伦人已经认识了15组勾股数，我国也是最早发现勾股定理的国家之一,勾股定理不仅有着广泛的实际应用,而且在具体的应用过程中还导致了无理数的产生,勾股定理及无理数的发现都是人类文化遗产中宝贵的一部分。教师在引导学生学习本章内容时，要发挥好数学文化能陶冶学生情操的作用。组织他们认真阅读教科书中所提供的“史海漫游”等有关材料,并鼓励学生搜集和查阅更多的资料,在小组或全班进行交流,以激发学生热爱祖国，热爱人类文明的思想感情。
3.4增强学生的数感和估算能力
通过本章的学习，学生在认识有理数的基础上认识了无理数，对数的认识又进行了一次扩充。教学时,既要使学生认识到无理数和有理数的区别,又要使学生通过生活和数学上的实例，感受到无理数是客观存在的。同时,又需要用有理数近似地表示无理数,用有理数去逼近无理数，体验“逼近”的方法和意义。掌握估计的大致范围的方法，学会对方根的估算方法、实数的近似计算方法等。教师应根据这些内容，设计相应的教学活动，加深学生对无理数的认识,并通过有限与无限、近似与精确的实例，培养学生对立统一的辩证唯物主义观点。
1
数
的
开
方
算术平方根
平方根
立方根
用计算器求平方根和立方根
勾股定理
直角三角形的判定
勾股数
实
数
分
类
无理数
有理数
相反数
绝对值
有关
概念
与数轴上的点一一对应
近似计算
比较大小
图1
图2
a
a
b
b
c
c
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