数学教学应重点设计四类问题
山东沂南教育局（276300）李树臣
【本文发表在《中学数学杂志》2013年第10期】
【本文发表在《山东教育》2014年第1-2期】
《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称《标准》）的在“课程基本理念”中强调，“数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。”要落实这一理念，教师必须精心设计问题，那么应设计怎样的问题才能符合上述要求，引导学生不断的“提出问题和解决问题问题是数学的心脏在数学教学中，从课堂提问到新概念的形成与确立，新知识的巩固与应用，学生思维方法的训练与提高，以及实际应用能力和创新能力的增强无不从“问题”开始。。（a≠0，n是正整数）的合理性，可让学生计算下列问题：23÷25和102÷106。
为了引起学生思维的认知冲突，引导学生分别按以下两种方式计算上面的两个题目：
（1）根据分数的意义和约分法则计算
（得到23÷25=和102÷106==）
（2）仿照同底数幂除法的运算法则进行计算
（得到23÷25=2-2和102÷106=10-4）
在学生得到两种不同结果的前提下，启发学生回答：要使被除式的指数小于除式的指数时，同底数幂除法的运算性质也能使用，我们该怎么办？
学生思考、猜想、议论、交流……，之后，得到的答案是：
2-2=，10-4=。
教师：同学们猜想的很对，为了使被除式的指数小于除式的指数时，同底数幂除法的运算性质也能使用，我们规定：a-n=（a≠0，n是正整数）。
负整数指数幂概念的建立过程就是从让学生选用不同的方法解决两个计算问题（23÷25和102÷106）得到不同的结果开始的。我们知道对于同一个数学问题，尽管可以有多种不同的解决方法，但结果因该是一致的。这样一来，学生思维就会产生认知冲突，为解决问题，他们自然会进行一系列的思考、交流等活动，从而产生猜想——不同的表述形式在本质上应该是相同的，即得到2-2=，10-4=，从而建立起负整数指数幂概念a-n=。
波普尔指出：“知识的增长永远始于问题，终于问题——愈来愈深化的问题，愈来愈能启发大量新问题的问题。”在问题时，应注意多，在无疑有疑无疑的过程中，由未知到有知、由浅深、由表里、由此彼地掌握知识，学习能力。探索三角形的中位线定理师：一张三角形纸片ABC，能把剪得的图形拼成平行四边形（很快，学生都能把剪到的图形拼成平行四边形）师：谁能说说是怎样的呢？生：三角形的中间剪开，这样一拼就可以了。（学生边说边把自己的纸片拿出来演示，而老师在黑板上画出图形）师：D、E应该AB、AC的，才能拼成平行四边形？生：。师：很好，我们把连接三角形两边中点的线段叫做中位线，如DE就是ABC的中位线。师：在图中你们还能发现什么结论呢？（学生的思维开始活跃了，同学之间讨论开始多起来了，有些同学很兴奋。）BC。
生2：△ADE≌△CFE。生3：AB∥FC。生4：DF=BC。生5：四边形BCFD是平行四边形。生6：DE=EF。师：如果要证明命题三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，能把文字语言转化为数学语言？生7：已知，DE是△ABC的中位线，求证：BC。
师：很好，我们能证明吗？（学生都是画出图所示的图形，先证明△ADE≌△CFE，然后得到四边形BCFD是平行四边形，由此可得到DE∥BC，BC，于是，老师叫一个学生上台板演）师：还有不同的证法吗？生8：利用△ADE∽△ABC。师：能简述一下证明过程吗？生8：AB，AE=AC，∠A=∠A，得到△ADE∽△ABC，由此可得∠ADE=∠ABC，DE∥BC，DE=BC。
师：很，还有不同的想法吗？生：△ADF∽△ABC，，由于E是AC的中点，AE=AC，因此，点E与点F重合，这样DE=BC，DE∥BC。
师：很精彩，连老师也很意外，这种方法在数学中叫同一法。学生在教师引导下，证明三角形中位线定理。利用平行四边形性质三角形相似性质不失时机的问了一下“还有不同的想法吗？”，学生9的精彩发言堂三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半预设这种意外往往给学生带来探究的冲动，由于这种临时探究与老师预设的探究会让学生产生完全不同的感受，因此，课堂的活力经常在这样的情境中让人。预设生成”。
问题解决不仅仅是数学课程的目标，而且还是一个发现的过程、探索的过程，通过问题解决是学生实现“再创造”的数学过程。学生借此过程可以真正认识、感悟和理解数学。通过问题解决可以让学生学会独立思考，标新立异，学会怎样分析、怎样判断、怎样推理、怎样发现、怎样解决问题。因此，设计这样的问题对于提高学生的综合数学素养具有重要的意义。
案例3：哪种方法用绳最短？（青岛市）
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定他们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M－N，若M－N＞0，则M＞N；若M－N＝0，则M＝N；若M－N＜0，则M＜N问题解决如图，把边长为a＋ba≠b）的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小解：由图可知：M＝a2＋b2，N＝2ab∴M－N＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2∵a≠b，∴(a－b)2＞0∴M－N＞0∴M＞N类应用已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克是正数，且a≠b，试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低试比较图和图中两个矩形周长M1、N1的大小b＞c-，化简后与0比较大小。（2）M1=2（a+b+b+c），N1=2（a-c+b+3c）。联系拓广：设图7、图8、图9的捆绑绳长分别为e、f、g，分别比较e-f、g-f和g-e的大小，即可确定出e、f、g的大小。
解：类比应用：（1）-=，
因为a、b是正数，且a≠b，所以＞＞M1=2（a+b+b+c）=2a+4b+2c，N1=2（a-c+b+3c）=2a+2b+4c；
M1-N1=（2a+4b+2c）-（2a+2b+4c）=2（b-c），
因为b＞cM1-N1＞M1-＞N1＞＞＞＞＞＞＞＞图表处理能力、推理能力书面表达能力以已有的知识和经验为基础的建构过程把新的学习内容正确地纳入已有的认知结构如图所示，把一张纸对折后扎一个小孔，然后展开铺平。连接得到的两个小孔A和A/，记线段AA/与折痕MN的交点为O。线段AA/与直线MN具有怎样的位置关系？你发现了哪些等量关系？再扎几个小孔重新。
小莹扎了三个孔，把纸展开铺平后连接各点，得到了图其中直线MN为折痕。思考下面的问题，交流：
（1）线段AB与线段A/B/的长度有什么关系？
（2）△ABC与△A/B/C/的三个内角有什么关系？
（3）△ABC与△A/B/C/有什么关系？
学生通过剪纸、折叠、观察、思考等一系列的活动，在以上问题的引导下，能自主发现并概括出轴对称图形的性质：
如果两个图形关于某一条直线成轴对称，那么连接对应点的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。
为了让学生探究“轴对称图形的性质”，案例分三步进行的：首先，进行生活化处理——让学生进行扎空活动；然后，引导学生观察展开后有关图形之间的关系；最后，进行思考与交流，归纳出轴对称图形的性质。至此，学生通过“扎空—探究—概括”等活动，完成了一个数学学习过程，这样安排，比教师直接给出轴对称图形的性质，学生理解的深刻、记忆要长远，而且还搞清楚了性质的“来龙去脉”。另外，这样安排，学生除了能发现上述性之外，还掌握了简单图形关于某一直线的轴对称图形的画法，扩展了对轴对称图形的有关知识的认识。
数学实验是数学学习的一种方式，这种学习方式，不是让学生被动地接受教材上或教师讲授的现成结论，它可以使学生逐步掌握数学研究的规律，逐步构建并完善、发展自己的数学认知结构。培养学生用数学的观点、方法去观察生活中的现象、事物，从而提高他们发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。真正做到数学教学不仅要教给学生知识，更重要的是帮助学生形成智慧。通过实验活动，学生亲身感悟解决问题、应对困难的思想和方法，可以逐渐形成正确思考与实践的经验。这比让学生跟着教师去验证、推断已有的结论要有意义的多。学生只有经常进行这样的实验活动，才能发展自己的思维能力、理解能力与创造能力，从而逐渐形成创新意识和创新精神。
华罗庚先生曾说过：“不要只给学生看做好了的饭，更要让学生看做饭的过程，数学教学要设法使数学知识‘活’起来。”通过设计的问题，引导学生经历一系列的思维活动（如阅读教材、独立思考、真正使“教学过程成为学生持续不断的探索过程”这个过程是一个循环的过程，在解决每一个问题的进程中，教师都可以利用问题来引导帮助学生获得对的深刻理解。美国心理学家布鲁纳“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动，思维永远是从问题开始的”
主要参考文献：
[1]李树臣.深入研究标准，努力创设问题情境[J].中学数学（湖北大学）2009（2）
[2]李树臣.青岛·泰山版《义务教育课程标准实验教科书·数学》的编写特点[J].中国数学教育，2009（7-8）
[3]冯宇龙.初中数学“问题串”教学设计的实践和思考[J].中学数学教学参考，2009（9）
[4]李树臣.数学教学过程化的4个常用策略[J].中国数学教育，2010（6）：2-5
[5]李树臣.数学课堂教学改革的特点[J].中学数学杂志，2011（4）：1-5
[6]李树臣.再谈数学教学生活化问题[J].中国数学教育，2011（6）：12-16
[7]李树臣.培养数学建模能力的基本途径[J].中国数学教育，2011（10）：8-12
[8]]李树臣.数学教材应充分体现知识的形成过程[J].中学数学杂志，2012（8）：3-8
[9]李树臣数学途径[J]中国数学教育，[10]]李树臣[12]史宁中.义务教育数学课程标准[M]解读.北京:北京师范大学出版社，2012
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b
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b
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a－c
b＋c
b＋3c
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