A卷(本卷满分200分)1.点D,E,F分别为△ABC中BC,CA,AB边上的中点.P为△ABC所在平面内任意一点且P不在直线AD,BE或CF上.直线AP交直线BC于点L;直线BP交直线CA于点M;直线CP交直线AB于点N.点Q,R,S分别为线段AL,BM,CN的中点.证明:DQ,ER,FS三线共点.2.实数a,b,c>0且a+b+c=1.证明:对任意正实数x,都有a/x^2+b/x+c=1/(ax^2+bx+c).3.(1)求所有令((x^2+x+1)^x+x)/3为整数的正整数x;(2)求所有令(3^(x^2+x+1)+x^2+x+1)/x为整数的质数x.4.证明:方程20ax^2+14bx-7(a+b)=0(m,n为任意实数且n≠0)至少有一个实根t满足00且abc=1.证明:(a+b+c)^2/((1+a)^2+(1+b)^2+(1+c)^2+3/2)≥2/3.6.圆O1与圆O2无交点.圆O3与圆O1交于点A,B,与圆O2交于点C,D.直线AB与直线CD有交点P.证明:P到圆O1与圆O2的切线长相等.7.a1,a2,...,a2013为实数且a1+a2+...+a2013=2013,a1^2+a2^2+...+a2013^2=2014.(1)求a1的最大值;(2)证明:a1,a2,...,a2013均为正数.8.方程x^2-(m+6)x+(m^2+4m+8)=0(m为实数)的两根为x1,x2.求x1^2+x2^2的最大值.(注:求具体值而不是用含m的式子表示.)9.某学校初三共有五个班,所有初三学生周一至周五都要上晚自习.每天的晚自习上语文,数学,英语中的一门.不能连续连续两天晚自习上同一门课,且周四晚自习所有班都要上数学.学校为初三所有班制订晚自习课程表,每个班单独的课程表均不相同,则五个班的综合课程表共有多少种不同的制订方法?(注:不同的单独课程表如一班语数英数英与二班语英数语英;不同的综合课程表如一班语数英数英二班语数语数英...与一班语数英数英二班语数英数语....)10.(1)a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+...+a[1]x+a[0]是整系数多项式.若存在一个质数p,使得a[n]不能被p整除,a[n-1],a[n-2],...,a[0]能被p整除,但a[0]不能被p^2整除.证明:此多项式不能在有理数域内被分解;(2)证明:对任意质数p,多项式x^(p-1)+x^(p-2)+...+x+1不能在有理数域内被分解.11.△ABC中AB=5,BC=8,CA=7.过点C作BC的垂线交△ABC的外接圆圆O于点D.连接AD,OC.(1)证明:∠OCA=30°(2)求AD/DC12.(1)是否可以将1,5,9,...,2013平均划分成七组数,使得每组数的和都相等?(2)是否可以将1,5,9,...,2013平均划分成八组数,使得每组数的和都相等?13.设a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4为实数,且a1+a2+a3+a4≤4.证明:(a1b1+a2b2+a3b3+a4b4-4)^2≥(a1^2+a2^2+a3^2+a4^2-4)(b1^2+b2^2+b3^2+b4^2-4)14.若正整数a的所有正约数个数为b,b的所有正约数个数为c,且a=kc,其中k为正整数,则称a为k-2阶约数.(1)求所有1-2阶约数,2-2阶约数与3-2阶约数;(2)是否存在4-2阶约数?请说明理由.15.△ABC为圆O内接正三角形.P为直线CO上一动点且P不与点C重合,∠CPA≠30°,60°或90°.直线PA,PB分别又与圆O交于点D,E.直线DB,CE交于点F.证明:D,E,F,P四点共圆.16.a,b,c为实数,证明:3a^2+12b^2+27c^2+14≥4ab+12bc+6ca+8b+24c.17.求所有满足a^2+b^2+c^2=2013的非负整数a,b,c.18.证明:不存在实数k使得方程(1/2+k^2)x^2+(√2+k)x-5(√2+1)k/4=0的两根均为有理数.19.证明:√2+3√3(根号2+三次根号3)是无理数.20.圆内接四边形ABCD中AC平分线段BD.分别过点B,D作圆的切线交于点P.证明:P,A,C,O四点共圆.
B卷(本卷满分100分)1.实数a,b,c>0且abc=1,证明:(a^3+b^3+c^3+1)(a^2+b^2+c^2+1)≥(1/a^2+1/b^2+1/c^2)(a+b+c)+4(ab+bc+ca).2.实数a,b,c>0.证明:1/a+1/b+1/c+9/(a+b+c)≥4/(a+b)+4/(b+c)+4/(c+a).3.ai,bi均为正实数(i=1,2,3,4)且a1+a2+a3+a4=4,b1+b2+b3+b4=12.证明:a1b1/(a1+b1)+a2b2/(a2+b2)+a3b3/(a3+b3)+a4b4/(a4+b4)≤3.4.设y=a[2013]x^2013+a[2012]x^2012+...+a[1]x+a[0]是关于x的多项式,其系数全为正,且a[0]+a[1]+...+a[2013]=1.y(k)表示当x=k时y的值(如:y(2)=a[2013]2^2013+a[2012]2^2012+...+a[1]2+a[0]).证明:对于任何满足x[1]x[2]...x[n]=1的正数x[1],x[2],...,x[n],恒有y(x[1])y(x[2])...y(x[n])≥1.5.令u=x^4+2x^3+8x^2+7x,x为实数.求(u+6)(u+10)(u+12)的最小值.6.记a[n]为(√3+1)^(2n)的整数部分,其中n为正整数.证明:a[n]+1能被2^(n+1)整除.7.在数列{a[n]}中,a[1]=2,a[2]=202,a[n+2]=100a[n+1]+a[n].令bn=5√(27a[n]-1).证明:数列{b[n]}中的每一项均为无理数.(注:数列{a[n]}为形如a[1],a[2],...的一列数,其中a[k]表示这一列数中的第k个数.)8.四边形ABCD中,∠ABC=∠DCB,∠BAD>∠CDA.延长DA与CB交于点P.证明:PAPD=ABCD+PBPC.9.△ABC的内切圆分从B出发的中线为三等分,求△ABC三边之比.(其中∠A最大,∠C最小.)10.A,B,C为平面内不共线的三点.点D,E,F分别在线段AB,BC,CA上.点G,H,I分别在直线AB,BC,CA上但在线段AB,BC,CA外.点A,B,C,D,E,F,G,H,I中任意两点不重合,且DA/DB=GA/GB=k1/k2,EB/EC=HB/HC=k2/k3,FC/FA=IC/IA=k3/k1.证明:(1)AE,BF,CD三线共点;(2)D,F,H三点共线;(3)G,H,I三点共线.
C卷(本卷满分25分)1.定义ab为a和b之间的一种运算(如:当此运算为加法时ab=a+b,当此运算为乘法时ab=ab.)且a^2=aa,a^3=aaa,....有限集合G对此运算满足以下四条性质:1.对任意a,b∈G有ab∈G;2.对任意a,b,c∈G有(ab)c=a(bc).括号内的优先运算;3.G中存在唯一一个元素e使得对任意a∈G都有ae=ea=a;4.对任意a∈G,都存在唯一一个元素b∈G使得ab=ba=e,并记b=a^(-1).(1)证明:G中满足x^3=e的元素x的个数为奇数;(2)若对于任意a,b,c,d,k∈G,只要akb=ckd就有ab=cd.证明:对于任意f,g∈G,都有fg=gf;(3)令运算ab表示ab除以n所得的余数.证明:当且仅当n为质数时集合{1,2,...,n-1}对此运算满足G对其所满足的四条性质;(4)若对于任意a,b∈G都有ab=ba,且G中存在两个元素m,n≠e,m^2=n^2=e.证明:G中存在一个满足G所满足的四条性质的四元子集.2.A,B,C为平面内的动点使得三角形ABC为锐角三角形且面积为定值S.分别过点A,B,C向对边作垂线,垂足分别为D,E,F.求△DEF面积的最大值.3.P为相交两圆O1和O2的一个交点.圆O1的方程为x^2+y^2+2ax+2by+c=0.圆O2的方程为x^2+y^2+2dx+2ey+f=0.求证:O1P⊥O2P的充要条件为2ad+2be=c+f.4.在数列{a[n]}中,a[1]=0,a[2]=3,a[n+2]=6a[n+1]-a[n]+2.令b[n]=2a[n]^2+2a[n]+1.证明:数列{b[n]}中的每一项均为完全平方数.5.圆O外有一点C,过C作圆O的两条切线,切点分别为A,B.作割线CD交圆O于点E,D,E在C,D之间.于CD上取一点F使得DFCE=CDCF.直线AB交OC于点G,FG交DO于点P.点D关于直线CO的对称点为D’,连接CD’交圆O于另一点J.CJ交AB于点I,交DO于点H.OJ交FP于点N,交AB于点M,交FI于点L.PM交FI于点K.求证:D,G,K,J四点共线
开放性试题(满分20分)1.某校初三学生体重分布如下:体重/千克:434649525558人数:488612613210059(1)请在以体重为x轴,人数为y轴的直角坐标系中建立一个二次函数,使其图像与上表所有体重数值误差小于15%;(2)再建立一个初等函数,使其图像与上表所有体重数值误差小于8%.2.设计一种简易安全的信息加密与解密方法.(限于字母,数字,和基本符号.参考阅读:密码吧精品贴及RSA加密算法.)
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