尺规作图
一、选择题
1．（2014?浙江湖州，第8题3分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径圆弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正确的是（）
A．①②③ B． ①②④ C． ①③④ D． ②③④
分析：根据作图过程得到PB=PC，然后利用D为BC的中点，得到PD垂直平分BC，从而利用垂直平分线的性质对各选项进行判断即可．
解：根据作图过程可知：PB=CP，∵D为BC的中点，
∴PD垂直平分BC，∴①ED⊥BC正确；∵∠ABC=90°，∴PD∥AB，
∴E为AC的中点，∴EC=EA，∵EB=EC，
∴②∠A=∠EBA正确；③EB平分∠AED错误；④ED=AB正确，
故正确的有①②④，故选B．
点评：本题考查了基本作图的知识，解题的关键是了解如何作已知线段的垂直平分线，难度中等．
二.填空题
1．(2014年天津市，第18题3分)如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上．
（Ⅰ）计算AC2+BC2的值等于；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AC2+BC2，并简要说明画图方法（不要求证明）．
考点： 作图—应用与设计作图．
分析： （1）直接利用勾股定理求出即可；
（2）首先分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；进而得出答案．
解答： 解：（Ⅰ）AC2+BC2=（）2+32=11；
故答案为：11；（2）分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；
延长DE交MN于点Q，连接QC，平移QC至AG，BP位置，直线GP分别交AF，BH于点T，S，
则四边形ABST即为所求．
点评： 此题主要考查了应用设计与作图，借助网格得出正方形是解题关键．
三.解答题
1.（2014?广东，第19题6分）如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．
（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．
考点： 作图—基本作图；平行线的判定． 分析： （1）根据角平分线基本作图的作法作图即可；
（2）根据角平分线的性质可得∠BDE=∠BDC，根据三角形内角与外角的性质可得∠A=∠BDE，再根据同位角相等两直线平行可得结论． 解答： 解：（1）如图所示：（2）DE∥AC
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE=∠BDC，
∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC，
∴∠A=∠BDC，
∴∠A=∠BDE，
∴DE∥AC．
点评： 此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相等两直线平行．
2.（2014?珠海，第15题6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）用尺规在边BC上求作一点P，使PA=PB（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连结AP，当∠B为30度时，AP平分∠CAB．
考点： 作图—基本作图；线段垂直平分线的性质 分析： （1）运用基本作图方法，中垂线的作法作图，
（2）求出∠PAB=∠PAC=∠B，运用直角三角形解出∠B． 解答： 解：（1）如图，
（2）如图，
∵PA=PB，
∴∠PAB=∠B，
如果AP是角平分线，则∠PAB=∠PAC，
∴∠PAB=∠PAC=∠B，
∵∠ACB=90°，
∴∠PAB=∠PAC=∠B=30°，
∴∠B=30°时，AP平分∠CAB．
故答案为：30． 点评： 本题主要考查了基本作图，角平分线的知识，解题的关键是熟记作图的方法及等边对等角的知识．
3.（2014?广西玉林市、防城港市，第21题6分）如图，已知：BC与CD重合，∠ABC=∠CDE=90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑），并直接写出旋转角度是90°．
考点： 作图-旋转变换． 分析： 分别作出AC，CE的垂直平分线进而得出其交点O，进而得出答案． 解答： 解：如图所示：旋转角度是90°．
故答案为：90°．
点评： 此题主要考查了旋转变换，得出旋转中心的位置是解题关键．
4．（2014?新疆，第20题10分）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；
②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；
③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF．
（1）求证：△AED≌△CFD；
（2）求证：四边形AECF是菱形．
考点： 菱形的判定；全等三角形的判定与性质；作图—基本作图． 分析： （1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，从而得到AE=CE，AD=CD，然后根据CF∥AB得到∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，利用ASA证得两三角形全等即可；
（2）根据全等得到AE=CF，然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC=EA，FC=FA，从而得到EC=EA=FC=FA，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF为菱形． 解答： 解：（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，AD=CD，
∵CF∥AB
∴∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，
在△AED与△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD；（2）∵△AED≌△CFD，
∴AE=CF，
∵EF为线段AC的垂直平分线，
∴EC=EA，FC=FA，
∴EC=EA=FC=FA，
∴四边形AECF为菱形． 点评： 本题考查了菱形的判定、全等的判定与性质及基本作图，解题的关键是了解通过作图能得到直线的垂直平分线． 5.（2014?孝感，第20题8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）先作∠ABC的平分线交AC边于点O，再以点O为圆心，OC为半径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）请你判断（1）中AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论．
考点： 作图—复杂作图；直线与圆的位置关系． 分析： （1）根据角平分线的作法求出角平分线BO；
（2）过O作OD⊥AB交AB于点D，先根据角平分线的性质求出DO=CO，再根据切线的判定定理即可得出答案． 解答： 解：（1）如图：
（2）AB与⊙O相切．
证明：作OD⊥AB于D，如图．
∵BO平分∠ABC，∠ACB=90°，OD⊥AB，
∴OD=OC，
∴AB与⊙O相切． 点评： 此题主要考查了复杂作图以及切线的判定等知识，正确把握切线的判定定理是解题关键． 尺规作图
1..在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD=AC，∠B=250，则∠ACB的度数为.
答案：1050.
解析：由①的作图可知CD=BD,则∠DCB=∠B=250,∴∠ADC=500,又∵CD=AC，∴∠A=∠ADC=500,∴∠ACD=800,∴∠ACB==800+250=1050.
1．（2014?怀化）两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部
（1）那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
（2）设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN=2（+1）km，在M处测得点C位于点M的北偏东60°方向，在N处测得点C位于点N的北偏西45°方向，求点C到公路ME的距离．
考点： 解直角三角形的应用-方向角问题；作图—应用与设计作图 分析： （1）到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C．
（2）作CD⊥MN于点D，由题意得：∠CMN=30°，∠CND=45°，分别在Rt△CMD中和Rt△CND中，用CD表示出MD和ND的长，从而求得CD的长即可． 解答： 解：（1）答图如图：
（2）作CD⊥MN于点D，
由题意得：∠CMN=30°，∠CND=45°，
∵在Rt△CMD中，=tan∠CMN，
∴MD==；
∵在Rt△CND中，=tan∠CNM，
∴ND==CD；
∵MN=2（+1）km，
∴MN=MD+DN=CD+CD=2（+1）km，
解得：CD=2km．
∴点C到公路ME的距离为2km． 点评： 本题考查了解直角三角形的应用及尺规作图，正确的作出图形是解答本题的关键，难度不大．
2．（2014?）
解析：利用轴对称性质：对应线段（或延长线）的交于对称轴上一点.
如图，直线l就是所求作的对称轴.
3.（2014?浙江杭州，第题，分）把一条12个单位长度的线段分成三条线段，其中一条线段成为4个单位长度，另两条线段长都是单位长度的整数倍．
（1）不同分段得到的三条线段能组成多少个不全等的三角形？用直尺和圆规作这些三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求出（1）中所作三角形外接圆的周长．
考点： 作图—应用与设计作图． 分析： （1）利用三角形三边关系进而得出符合题意的图形即可；
（2）利用三角形外接圆作法，首先作出任意两边的垂直平分线，即可得出圆心位置，进而得出其外接圆． 解答： 解：（1）由题意得：三角形的三边长分别为：4，4，4；3，4，5；
即不同分段得到的三条线段能组成2个不全等的三角形，如图所示：
（2）如图所示：
当三边的单位长度分别为3，4，5，可知三角形为直角三角形，此时外接圆的半径为2.5；
当三边的单位长度分别为4，4，4．三角形为等边三角形，此时外接圆的半径为，
当三条线段分别为3，4，5时其外接圆周长为：2π×2.5=5π；
当三条线段分别为4，4，4时其外接圆周长为：2π×=π．
点评： 此题主要考查了三角形外接圆的作法和三角形三边关系等知识，得出符合题意的三角形是解题关键． 2014?甘肃白银、临夏,第21题8分）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
（1）用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）连接BD，求证：BD平分∠CBA．
考点： 作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质． 专题： 作图题；证明题；压轴题． 分析： （1）分别以A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，过两弧的交点作直线，交AC于点D，AB于点E，直线DE就是所要作的AB边上的中垂线；
（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，再根据等边对等角的性质求出∠ABD=∠A=30°，然后求出∠CBD=30°，从而得到BD平分∠CBA． 解答： （1）解：如图所示，DE就是要求作的AB边上的中垂线；（2）证明：∵DE是AB边上的中垂线，∠A=30°，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=30°，
∵∠C=90°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，
∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=60°﹣30°=30°，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠CBA．
点评： 本题考查了线段垂直平分线的作法以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，难度不大，需熟练掌握． （2014?）ABC中，先作∠BAC的角平分线AD交BC于点D，再以AC边上的一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）
考点： 作图—复杂作图． 分析： 先作出角平分线AD，再作AD的中垂线交AC于点O，O就是⊙O的圆心，作出⊙O， 解答：
解：作出角平分线AD，
作AD的中垂线交AC于点O，
作出⊙O，
∴⊙O为所求作的圆． 点评： 本题考查了复杂的尺规作图，角平分线，线段中垂线及圆，解题的关键是找准圆周心作出圆． 6、（2014?）如图6，中，，．
（1）动手操作：利用尺规作以为直径的，并标出与的交点，与的交点
（保留作图痕迹，不写作法）：
①求证：；
②求点到的距离．
【考点】（1）尺规作图；（2）①圆周角、圆心角定理；②勾股定理，等面积法
【分析】（1）先做出中点，再以为圆心，为半径画圆.
（2）①要求，根据圆心角定理，同圆中圆心角相等所对的弧也相等，只需证出即可，再根据等腰三角形中的边角关系转化.
②首先根据已知条件可求出，依题意作出高，求高则用勾股定理或面积法，注意到为直径，所以想到连接，构造直角三角形，进而用勾股定理可求出，的长度，那么在中，求其高，就只需用面积法即可求出高.
【答案】（1）如图所示，圆为所求
（2）①如图连接，设,
又
则
②连接,过作于,过作于
cosC=,又
,
又为直径
设，则，
在和中，
有
即
解得：
即
又
即
．2014?广东梅州,第16题7分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE，则：
（1）∠ADE=90°；
（2）AE=EC；（填“=”“＞”或“＜”）
（3）当AB=3，AC=5时，△ABE的周长=7．
考点： 作图—基本作图；线段垂直平分线的性质． 分析： （1）由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，故可得出结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质即可得出结论；
（3）先根据勾股定理求出BC的长，进而可得出结论． 解答： 解：（1）∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴∠ADE=90°．
故答案为：90°；
（2）∵MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE=EC．
故答案为：=；
（3）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，
∴BC==4，
∵AE=CE，
∴△ABE的周长=AB+BC=3+4=7．
故答案为：7． 点评： 本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．
尺规作图
（2014?河北3分）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是（）
A． B． C． D．
考点： 作图—复杂作图 分析： 要使PA+PC=BC，必有PA=PB，所以选项中只有作AB的中垂线才能满足这个条件，故D正确． 解答： 解：D选项中作的是AB的中垂线，
∴PA=PB，
∵PB+PC=BC，
∴PA+PC=BC
故选：D． 点评： 本题主要考查了作图知识，解题的关键是根据作图得出PA=PB． （2014?丽水）如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是（）
A． 矩形 B． 菱形 C． 正方形 D． 等腰梯形
考点： 菱形的判定；作图—基本作图．. 分析： 根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形． 解答： 解：∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，
∴AC=AD=BD=BC，
∴四边形ADBC一定是菱形，
故选：B． 点评： 此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及菱形的判定，得出四边形四边关系是解决问题的关键． (2014年贵州安顺)用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）
A． （SAS） B． （SSS） C． （ASA） D． （AAS）
考点： 作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．.
分析： 我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．
解答： 解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；
④过点D′作射线O′B′．
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；
作图完毕．
在△OCD与△O′C′D′，
，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
∴∠A′O′B′=∠AOB，
显然运用的判定方法是SSS．
故选：B．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．
（2014?无锡8分）（1）如图1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E．求证：=．（这个比值叫做AE与AB的黄金比．）
（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC．
（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）
考点： 作图—应用与设计作图；黄金分割． 分析： （1）利用位置数表示出AB，AC，BC的长，进而得出AE的长，进而得出答案；
（2）根据底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，画图即可． 解答： （1）证明：∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，
∴设AB=2x，BC=x，则AC=x，
∴AD=AE=（﹣1）x，
∴==．
（2）解：底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，如图：
． 点评： 此题主要考查了黄金三角形的作法以及黄金三角形的性质，根据已知得出底边作法是解题关键． 【答案】
【考点】【】
【解答】（2014?绍兴用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AC=b，∠B=35°，若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是sin35°=或b≥a．
考点： 作图—复杂作图；切线的性质；解直角三角形 分析： 首先画BC=a，再以B为顶点，作∠ABC=35°，然后再以点C为圆心b为半径交AB于点A，然后连接AC即可，①当AC⊥BC时，②当b≥a时三角形只能作一个． 解答： 解：如图所示：
若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是：①当AC⊥BC时，即sin35°=②当b≥a时．
故答案为：sin35°=或b≥a． 点评： 此题主要考查了复杂作图，关键是掌握作一角等于已知角的方法． （2014?青岛）已知：线段a，∠α．
求作：△ABC，使AB=AC=a，∠B=∠α．
考点： 作图—复杂作图．. 分析： 首先作∠ABC=α，进而以B为圆心a的长为半径画弧，再以A为圆心a为半径画弧即可得出C的位置． 解答： 解：如图所示：△ABC即为所求．
点评： 此题主要考查了复杂作图，得出正确的作图顺序是解题关键．
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