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难点突破第三节反比例函数及其应用第三章函数考点特训营考点梳理反比例函数及其应用三种表达式1.y＝①
（k为常数，k≠0）2.y＝kx-1（k为常数，k≠0）3.xy=k（k为常数，k≠0）特别注意：当判断某点是否
在反比例函数图象上时，只需判断该点的横、纵坐标之积是否等于k，即xy＝kkk>0k<0图象所在象限第一、三象
限第_______象限增碱性在每个象限内，y随x的增大而_______在每个象限内，y随x的增大而_______对称性
关于直线y=x，y=-x成轴对称；关于原点成中心对称图象：反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线性质反比例函数及其应
用二、四减小增大反比例函数及其应用反比例函数中比例系数k的几何意义待定系数法求反比例函数解析式的步骤反比例函数的
实际应用解题步骤重难点突破高频命题点反比例函数的图象与性质1.若求解因变量y随自变量x的取值的变化规律、确定函数的图象，
一般利用k的取值范围；2.若已知函数表达式，求未知点中的字母时，一般是将未知点的横纵坐标代入函数表达式中来求解.反之，若已知点，
求函数表达式，则可以设出函数表达式，将已知点代入函数表达式，从而得解；3.根据几何关系列反比例函数解析式并确定其大致图象时，一般
利用的是面积公式，在确定其图象时一定要注意其受到自变量和因变量的双重限制，只能取在第一象限的图象；4.若比较两个未知点中横坐标或
者纵坐标的大小，一般利用函数的增减性结合图象来求解.例1（2014天水）已知函数的图象如图，以下结论：
①m＜0；②在每个分支上y随x的增大而增大；③若点A（-1，a）、点B（2，b）在图象上，则a＜b；④若点P（x，y）在图
象上，则点P1（-x，-y）也在图象上．其中正确的个数是（）A.4个B.3个C.2个D.
1个B例1题图【思路点拨】由反比例函数的图象与性质逐一判断即可.【解析】①根据反比例函数图象的两个分支分别位于二、四象限，
可得m＜0，故正确；②在每个分支上y随x的增大而增大，故正确；③若点A（-1，a）、点B（2，b）在图象上，则a>b，故错误；④若
点P（x，y）在图象上，则点P1（-x，-y）也在图象上，正确，故选B．1.已知一点在反比例函数图象上，可直接利用待定系数法求反
比例函数解析式，具体步骤见考点梳理；2.与一次函数结合求函数解析式时，一般先通过一个已知点求得反比例函数解析式，再由反比例函数解
析式求得另一交点坐标，从而有了两个交点坐标，再将这两点坐标代入即可求得一次函数解析式.例2（2014武汉）如图，若双曲线
与边长为5的等边△AOB的边OA，AB分别相交于C，D两点，且OC=3BD，则实数k的值为________
.【思路点拨】过C、D分别作x轴的垂线可以得到两个相似三角形，再根据C、D在反比例函数上，列方
程组求解.【解析】本题考查相似三角形和反比例函数的综合运用.如解图，过点C、D作x轴的垂线，垂足分别为M、N.∵△OAB是边长
为5的等边三角形，∴∠AOB=∠ABO=60°，∴△COM∽△DBN.∴根据题意列方程组：∵OC=3BD,∴CM=3DN.设D
N=a，那么CM=3a,∴OM=a，BN=a，∴C（a，3a），D（5－a，
a）.∵点C、D都在反比例函数y=kx的图象上，组：解得对于一次函数与反比例函数综合题，常涉及以下几个方面：求交点坐标：
如图①，当已知函数y=ax+b及的解析式，求它们的交点A、B的坐标时，可以根据函数与方程
的关系，将两个函数关系式联立方程组求解即可.2.确定函数解析式：当已知函数y=ax+b及的图象上的一个交
点A的坐标及交点B的横（纵）坐标，确定两个函数的解析式时，可先将A的坐标代入反比例函数解析式，从而得到k值，再将点B的横（纵）坐标
代入得到点B的坐标，然后利用A、B的坐标（两点式）确定直线y=ax+b的解析式.3.利用函数图象确定
不等式或的解集时，首先过它们图象的交点A、B分别作y轴的平行线，连同y轴，将平面分为四部分，
如图②.（1）对于不等式的解集，从函数图象上反映为一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，
即过点A的虚线的右侧及过点B的虚线右侧与y轴的左侧部分（尤其注意y轴的取舍），从而可得其解集为x>xA或xB；（2）对于不等式的解集，从函数图象上反映为一次函数图象在反比例函数图象下方的部分，即
过B点虚线的左侧及y轴与过A点虚线之间的部分，从而其解集为00>k2，则
函数y＝k1x和的图象在同一平面直角坐标系中大致是（）C【思路点拨】根据反比例函数
（k≠0），当k＜0时，图象分布在第二、四象限和一次函数图象与系数的关系进行判断.【解析】∵k1＞0＞k2
，∴函数y=k1x的图象在第一、三象限，反比例函数的图象分布在第二、四象限．故选C．例4（201
3攀枝花6分）直线y=k1x+b(k1≠0)与双曲线(k2≠0)相交于A（1,2）,B(m,-1)
两点.（1）求直线和双曲线的解析式；（2）若A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)为双曲线上的三点，且x1
＜0＜x2＜x3，请直接写出y1,y2,y3的大小关系式；（3）观察图象，直接写出不等式k1x+b＜的解集.例4题图（1
）【思路点拨】将点A坐标代入反比例函数解析式中求出k2的值，确定出双曲线解析式，将点B坐标代入反比例函数解析式求出m的值，确定出点
B坐标，将点A与点B坐标代入一次函数解析式中求出k1与b的值，即可确定出直线解析式；【自主解答】解：由A（1,2）在双曲线
(k2≠0)上得：k2=2，∴双曲线的解析式为y=.∵点B（m，-1）在双曲线y=
上，∴m＝-2.由A（1,2）、B（-2，-1）在直线y=k1x+b(k1≠0)上得：k1+b=2
解得k1=1-2k1+b=-1，b=1，∴直线的解
析式为y=x+1.（2）【思路点拨】根据三点横坐标的正负，得出A2与A3位于第一象限，对应函数值大于0，A1位于第三象限，对应函
数值小于0，再结合反比例函数在第一象限为减函数，即可得到大小关系式；【自主解答】y2>y3>y1.（3）【思路点拨】由两函数
交点坐标，利用图象即可得出所求不等式的解集.【自主解答】x＜－2或0＜x＜1.命题点反比例函数与几何图形结合（难点）
例5（2014遂宁10分）已知：如图，反比例函数的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1,4）、点B（-4，n）.（1
）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△OAB的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围.例5
题图（1）【思路点拨】因为反比例函数的图象与一次函数y=x+b的图象交于点A（1，4），将点A的坐标分
别代入y＝kx，y=x+b可求k，b的值.【自主解答】解：∵A（1,4）在y=，y=x
+b上，∴4=,4=1+b，∴k=4,b=3，∴一次函数的解析式为y=x+3，反比例函数的解析式为y=4x；
（2）【思路点拨】设AB与y轴交于点C，所以△OAB的面积等于△BCO与△ACO的面积之和.过A、B两点作y轴垂线交y轴于E、F
点，得△BCO与△ACO的面积分别为OC·BF,OC·AE，代入可得△OAB的面积.【自主解答】∵点
B在y=x+3上，∴n=-4+3=-1，∴点B的坐标为（-4，-1），设y=x+3与y轴交于点C（0，y），令x=0，则y
=3，∴点C的坐标为（0,3），∴OC=3，如解图，过点A、B分别作y轴垂线AE、BF，交y轴于E、F点，由A（1,4），B
（-4，-1）可知AE=1，BF=4，∴△OAB的面积为（3）【思路点拨】通过观察：在x＝-4和y轴之间，一次函数值大于
反比例函数值，在x＝1右侧，一次函数值大于反比例函数值，由此可得x的取值范围.【自主解答】x的取值范围是-41
【难点突破】涉及与面积有关的问题时：①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积,往往可分割为较好求的图形面积进行相关转化;②要注意系数k的几何意义的应用：过反比例函数图象上任意一点分别作x轴、y轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为|k|（或过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为）.四川2012～2014中考真题精选考点梳理2015备考猜押末页目录首页http://www.wanweiedu.com重难点突破 |
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