德州市近四年中考数学压轴题综观
山东省庆云县渤海中学（253700）
德州市中考数学从2006年到2009年连续四年的压轴题都是在初中数学主干知识的交汇处进行命题。命题起点低，而后在问题的纵向延伸上进行探索，突出对考生的发散思维能力、探究能力、创新能力、综合运用知识能力等方面的考查。从试题的设计和命题上看，不同年度又各有差异，独具特色。
1.2006年压轴题
如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标分别为，动点分别从同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点沿向终点运动，点沿向终点运动，过点作，交于，连结，已知动点运动了秒．
（1）点的坐标为（ ， ）（用含的代数式表示）；
（2）试求面积的表达式，并求出面积的最大值及相应的值；
（3）当为何值时，是一个等腰三角形？简要说明理由．
解：（1）由题意可知，，，
点坐标为．
（2）设的面积为，在中，，边上的高为，其中．
．
的最大值为，此时
（3）延长交于，则有．
①若，
．
，．
②若，则，
．
③若，则．
，
在中，．
．
综上所述，，或，或．
评注：本题以直平面直角坐标系为依托，结合函数、方程、图形的面积及勾股定理进行设计，考查的知识多，综合性强，特别突出了对函数、方程、数形结合、分类讨论等数学思想和方法的考查。第（3）问既要注意探究和讨论的全面性，又要注意其合理性。实为一道难得的好题。
2.2007年压轴题
根据以下10个乘积，回答问题：
（1）试将以上各乘积分别写成一个“”（两数平方差）的形式，并将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；
（2）若乘积的两个因数分别用字母表示（为正数），请观察给出与的关系式．（不要求证明）
（3）若用，，，表示个乘积，其中，，，为正数．请根据（1）中乘积的大小顺序猜测出一个一般结论．（不要求证明）
解：（1）；；
；；
；．
这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：
（2）（注：①若，则．②）
（3）若，
且，则，
（注：若且，
则．）
评注：本题先有10个乘积式入手，让学生观察、猜想、归纳，写出乘法的平方差形式，而后依次增加难度，进一步归纳、概括。本题由浅入深，由简单到复杂，意在考查学生由特殊到一般，由具体到抽象的归纳概括能力，能够从具体的事物中得出一般性结论。在第（2）、（3）问中，根据学生的概括归纳水平不同，所给的分值也不同，从而达到考查不同层次的学生的创新意识和概括思维能力，这为选拔性考试设置了一道好题。
3.2008年压轴题
在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙，在⊙．令AM＝x．（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积；（2）当x为何值时，⊙与直线BC相切？（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
（）∵MN∥BC∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．∴△AMN∽△ABC．
∴，即．∴AN＝x．
∴．＜＜4（）如图，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO=OD=MN．
在Rt△ABC中，BC＝=5．
△AMN∽△ABC．
∴，即．
∴，∴．过M点作MQ⊥BC于，则．
在Rt△BM与Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴△BMQ∽△BCA．∴．
∴，．∴x＝．∴当x＝．
（3）M的运动，当P点在直线BC上时，连结AP，O点AP的中点．
∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B∠AOM＝∠APC．
∴△AMO∽△ABP．∴．AM＝MB＝2．以下分两种情况讨论：①当0＜2时，．∴当2时，②当2＜＜4时，设PMPN分别BC于E，F．
∵四边形AMPN是矩形∴PN∥AM，PN＝AM＝．又MN∥BC，
∴四边形MBFN是平行四边形．N＝BM＝4－．∴．△PEF∽△ACB．∴．∴．＝当2＜＜4时，．∴当时，2＜＜4，．综上所述，当时，值最大，最大值是2．已知正方形ABCD中，E为BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
求证：EG=CG△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图，取DF中点G，连接EGCG．问（1）中的结论是否仍然成立．△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
解：（1）证明：在中，∵G为DF的中点，∴CG=FD．同理，在中，G=FD．
∴CG=EG．
（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点在△DAG与△DCG中AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴AG=CG．
在△DMG与△FNG中，
△DMG≌△FNG．
∴MG=NG
在矩形AENM中，AM=EN
在△AMG与△ENG中AM=EN，MG=NG，△AMG≌△ENG．
∴AG=EG．
∴EG=CG．
（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG的结论:EG⊥CG．
评注：本题将“运动”设置成三角形绕着定点旋转，新颖、富有创意，这种考题起点低，综合性强。本题主要考查的知识有直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形及旋转的知识。在第（3）问中考查了学生的理解能力、动手操作能力、想象能力和探索创新能力。
纵观德州市连续四年数学压轴题，都以探究问题的形式出现，以考查学生的探究创新能力作为切入点，由简单到复杂，由特殊到一般，层层深入，体现“运动”变化的思想，在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”的规律。解这类题要求学生具备较扎实的数学基本功，较强的观察能力、丰富的想象力及综合分析能力，具有选拔性，能够引导学生学会探究、学会研究问题。
F
图②
N
N
M
G
E
C
D
A
B
F
第23题图③
E
C
A
B
F
D
第23题图①
G
E
C
D
A
B
F
第23题图②
G
E
C
D
A
B
F
Ｑ
O
C
P
M
A
B
Ｎ
O
C
P
M
A
B
Ｎ
O
图3
P
N
M
C
B
A
Q
O
图2
D
N
M
C
B
A
O
图1
P
N
M
C
B
A
O
图2
D
N
M
C
B
A
O
图3
P
N
M
C
B
A
B
A
D
C
E
图③
G
A
B
C
M
N
P
图4
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E
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