红对钩教育－之－小学第十一册数学归类人教版
学习不怕跟基浅只要迈步总不迟-1-
小学第十一册数学归类小学第十一册数学归类小学第十一册数学归类
小学第十一册数学归类
分数乘法分数乘法分数乘法
分数乘法
一、概念：
⑴分数乘法的意义：分数乘以整数的意义与整数乘法的意义相同，就
是求几个相同加数的和的简便运算。
例：×2的意义（2个是多少？或的2倍是多少？）313131
⑵一个数乘以分数的意义：就是求这个数的几分之几是多少。
例：整数╳分数：2×的意义（2的是多少？）3131
分数╳分数：×的意义（的是多少？）21312131
⑶倒数：乘积是“1”的两个数叫做互为倒数。
注意：两个数的倒数积等于这两个数积的倒数。
※例：【a、b都不为“0”；a、b的倒数分别是、，×＝】a1b1a1b1ba?1
二、计算法则：
⑴分数乘以整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。
例：×3＝＝92932?32
⑵分数乘以分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。
例：×＝＝53323523??52
⑶带分数乘法：通常先把带分数化成假分数，然后再乘。
例：5＝＝878758??847
⑷求一个数（0除外）的倒数，只要把这个数的分子、分母调换位置。
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例：的倒数是；5的倒数是522587478
⑸求自然数（0除外）的倒数，就是。自然数1
三、估算：
⑴两个真分数相乘，积小于这两个数。
⑵一个数（0除外）乘以小于“1”的分数，积小于这个数。
⑶一个数（0除外）乘以大于“1”的分数，积大于这个数。
⑷分子是“1”，分母是连续的自然数（0除外）。两个分数的差等于这
两个分数的积。
例：（－＝×；A－B＝1，－＝×）21312131B1A1A1B1
⑸两个分数的分母相加的和等于这两个分数的分子，两个分数的和等
于两个分数的积。
例：（分母：2＋7＝分子：9，4＋1＝4×1）21722172
⑹三个连续的自然数a＜b＜c组成两个分数：、。求这两个分数bacb
之间分母最小的分数是多少？例：＜（）＜bacbba??cb
分数除法分数除法分数除法
分数除法
一、概念：
⑴分数除法的意义：分数除法的意义与整数除法的意义相同，都是已
知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
例：÷2的意义（已知两个因数的积是与其中一个因数2，求另7676
一个因数的运算）
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⑵比：两个数相除又叫做两个数的比。
注意：同单位名称的数量能进行比较。
（只有统一单位名称，才能进行比较）
长：宽＝3：2
不同单位名称的数量不能进行比较，但却有意义。
路程：时间＝速度
二、计算法则：
⑴分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数。
例：÷2＝×＝76762173
⑵一个数除以分数，等于这个数乘以除数的倒数。
例：18÷＝18×＝45；÷＝╳＝522515141031514310928
⑶甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。
例：分数除以整数：÷2＝×＝76762173
整数除以分数：18÷＝18×＝455225
分数除以分数：÷＝×＝15141031514310928
⑷带分数除法：通常先把带分数化成假分数，然后再除。
例：8÷3＝÷＝×＝101531081518108118549
三、估算：
⑴一个数（0除外）除以小于“1”的分数，积大于这个数。
⑵一个数（0除外）除以大于“1”的分数，积小于这个数。
⑶在分数除法里，如果被除数的分子是除数的平方，那么这两个数的
商等于它们的差。
例：4÷3＝4－3；5÷4＝5－4；8÷7＝8－7212131316161
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四、基本性质：
⑴除法的基本性质：被除数和除数同时乘以或者除以相同的数（0除
外），商不变。
⑵乘法的基本性质：被乘数（扩大或缩小）、乘数（缩小或扩大）相
同的倍数，它们的积不变。
⑶分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0
除外），分数值不变。
⑷比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），
比值不变。
⑸百分数的基本性质：
⑹比例的基本性质：
五、比、分数、除法的关系与区别：
注意：除法可以写成比，比可以写成分数形式。例注意：除法可以写成比，比可以写成分数形式。例注意：除法可以写成比，比可以写成分数形式。例
注意：除法可以写成比，比可以写成分数形式。例
3
3
÷÷÷
÷
2
2
＝＝＝
＝
3
3
∶∶∶
∶
2
2
；；；
；
3
3
∶∶∶
∶
2
2
＝＝＝
＝
。23
六、比的应用：
正方形的周长比等于边长比；正方形的面积比等于边长的平方比。
正方体的表面积比等于棱长的平方比；正方体的体积比等于棱长的立方比
分数、小数四则混合运算分数、小数四则混合运算分数、小数四则混合运算
分数、小数四则混合运算
一、基本方法：
加法、减法称为一级运算；乘法、除法称为二级运算。
在同一级运算中，将从左往右依次进行计算。
在不同级运算中，要先算二级运算，后算一级运算。
如果有括号，要先算括号内，在算括号外。
名称比、分数、除法的关系区别
比前项:后项比值两个数的关系
分数分子—分母分数值一种数值
除法被除数÷除数商一种运算
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二、简便运算：
⑴加法交换律：a+b=b+a
⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
⑶减法的意义：a-b-c=a-(b+c)；a-b+c=a-(b-c)
⑷乘法交换律：a×b=b×a
⑸乘法结合律：a×b×c=a×(b×c)
⑹乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c
⑺除法分配律：(b+c)÷a=b÷a+c÷a
⑻除法的意义：a÷b÷c=a÷(b×c)；a÷b×c=a÷(b÷c)
分数、百分数应用题分数、百分数应用题分数、百分数应用题
分数、百分数应用题
一、分数、百分数乘除法应用题种类和方法：
⑴求一个数是另一个数的几分之几或百分之几。
它与整数中求倍数的应用题解题规律相同。只是现在要求一个数是另
一个数的几分之几，这个倍数就用分数表示；要求一个数是另一个数的百
分之几，这个倍数就用百分数表示。
方法：方法：方法：
方法：
一个数÷另一个数＝＝几分之几或百分之几除数被除数
⑵求一个数比另一个数多（少）几分之几或多（少）百分之几。
方法：方法：方法：
方法：
（较大数－较小数）÷单位“1”＝几分之几或百分之几
⑶求一个数的几分之几或百分之几是多少。
它与整数中求几倍量的应用题解题规律也相同。只是这里的倍数不再
是整数，而是分数或百分数。
方法：方法：方法：
方法：
已知比后求比前，用乘法。（多1＋；少1－）
已知“单位1”求“单位1”的部分量用乘法。
⑷已知一个数的几分之几或百分之几是多少，求这个数。
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它与整数中求一倍量的应用题解题规律相同，不同的仍是倍数改成了
分数或百分数。
方法：方法：方法：
方法：
已知比前求比后，用除法。（多1＋；少1－）
对应量÷对应分率＝“单位1”；对应分率的分母就是单位1的份数。
⑸百分数求（）率应用题：求（什么）率＝×100%实际参与总量率前面的量?""
⑹其它：工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量之间相互关
系的问题。这种问题的特点是工作总量没有给出具体的数量，通常要把全
部工作量看作单位“1”，把各单位的工作效率用：
来表示。工作时间“各单位”单独完成的1
工作总量÷工作效率＝工作时间
工作总量÷工作时间＝工作效率
工作效率×工作时间＝工作总量
二、分率转换的几种方式：
分率：量与量之间不带单位名称的分数。
如何判断“单位1”？
判断词“比”“占”“是”“相当于”的后面，分率的前面就是“单位单位单位
单位
1
1
”””
”
。。。
。
（简便记法：分率前面的量就是（简便记法：分率前面的量就是（简便记法：分率前面的量就是
（简便记法：分率前面的量就是
“““
“
单位单位单位
单位
1
1
”””
”
）））
）
⑴M的相当于N的，M占N的几分之几？badc
方法：方法：方法：
方法：
用“单位1”的几分之几除以“比较量”的几分之几。
用N的除以M的，求出M占N的几分之几？（N是“单位1”）dcba
⑵－①M比N多，N比M少几分之几？ba
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－②M比N少，N比M多几分之几？ba
方法：方法：方法：
方法：
①÷（1＋）或1－1÷（1＋）或babababaa?
②÷（1－）或1÷（1－）－1或bababaaba?
⑶已知总量M（或剩下量N），第一次用去，第二次用去余下的badc
方法：方法：方法：
方法：
①已知总量M，求剩下量N？M×（1－）×（1－）badc
②已知剩下量N，求总量M？N÷（1－）÷（1－）dcba
⑷－①M比N的多X千克，求N是多少？M是多少？ba
－②M比N的少X千克，求N是多少？M是多少？ba
方法：方法：方法：
方法：
①（M－X）÷N×＋Xbaba
②（M＋X）÷N×－Xbaba
注意：谁比谁的几分之几多多少？
要想求“单位1”或比较量是多少？
掌握：1.已知比后求比前，多就“＋”；少就“－”
2.已知比前求比后，多就“－”；少就“＋”
（在括号内进行加、减之后，再除。）
圆圆圆
圆
一、概念：
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⑴圆心：折痕相交于圆中心的一点叫做圆心。圆心用字母o
o
表示。（圆
心确定圆的位置）
⑵半径：从圆心到圆上任意一点间的线段叫做半径。半径用字母r
r
表
示。（半径确定圆的大小）
⑶直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径用字母d
d
表示。（直径确定圆的大小）
⑷周长：围成圆的曲线的长叫做圆的周长。周长用字母c
c
表示。
⑸圆周率：圆的周长和直径的比值叫做圆周率。圆周率用字母πππ
π
表
示。（圆周率是一个无限不循环的小数）
⑹圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。（圆心角＝）on360
⑺轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完
全重合，这个图形就是轴对称图形。
⑻对称轴：折痕所在的这条直线叫做对称轴。
二、半径和直径的关系：
⑴在同一个圆里，直径的长度是半径的2倍；半径的长度是直径的。21
⑵在同一个圆里，有无数条半径，所有的半径都相等。
⑶在同一个圆里，有无数条直径，所有的直径都相等。
三、半径、直径和周长的关系：
⑴圆的周长公式：C
C
＝＝＝
＝
πππ
π
d
d
＝＝＝
＝
2
2
πππ
π
r
r
⑵半圆的周长公式：C
C
＝＝＝
＝
d
d
＋＋＋
＋
d
d
＝＝＝
＝
πππ
π
r
r
＋＋＋
＋
2r
2r
?21
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⑶圆拼成长方形的周长：C
C
＝＝＝
＝
πππ
π
d+d
d+d
＝＝＝
＝
2
2
πππ
π
r+2r
r+2r
⑷圆的周长比＝半径比＝直径比
四、半径和直径及周长和面积的关系：
⑴圆的面积公式：S
S
＝＝＝
＝
＝＝＝
＝
＝＝＝
＝
2r?2)
2(
d?2)
2(??
C
⑵环形面积公式：S
S
＝＝＝
＝
－－－
－
＝＝＝
＝
〔〔〔
〔
－－－
－
〕〕〕
〕
2(R?)2r?2)
2(
D2)
2(
r
⑶扇形的面积公式：S
S
＝＝＝
＝
o
n
360
2r?
⑷圆的面积比＝半径的平方比＝直径的平方比
五、其它
⑴⑴⑴
⑴
在同一个圆里在同一个圆里在同一个圆里
在同一个圆里
??
??
??
??
??
??
?
?
??
??
?
?
?
???
???
??
??
?
?
?
???
???
倍面积：缩小
倍周长：缩小倍缩小
倍面积：扩大
倍周长：扩大倍扩大
直径
倍面积：缩小倍周长：缩小倍缩小
倍面积：扩大
倍周长：扩大倍扩大
半径
2
2
2
2
n
nn
n
nn
n
nn
n
nn
⑵轴对称图形：圆（无数条）正方形（4条）等边三角形（3条）长
方形（2条）等腰三角形、等腰直角三角形、等腰梯形、扇形（1条）
六、πππ
π
表表表
表
14.31??28.62??42.93??56.124??7.155??
84.186??98.217??12.258??26.289??4.3110??
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百分数百分数百分数
百分数
一、概念：
⑴百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百
分数也叫做百分率或百分比。（百分数是分率，不带单位名称）
⑵应纳税额：缴纳的税款叫应纳税额
⑶税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。
⑷本金：存入银行的钱叫做本金。
⑸利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。
⑹利率：利息与本金的比值叫做利率。
二、百分数和分数、小数的互化：
⑴小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百
分号。
⑵百分数化成小数：只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。
⑶分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三
位小数），再把小数化成百分数。（例≈0.333＝33.3%或＝0.3≈33.3%）3131
⑷百分数化成分数：先把百分数改写成分母是100的特殊分数，能约
分的要约成最简分数。（最简分数：分子和分母互为质数）
三、纳税和利息
⑴纳税：①税率＝税款÷营业额②营业额＝税款÷税率
③税款＝营业额×税率
⑵利息：①利息＝本金×利率×时间
②本息＝本金×利率×时间＋本金
③税后利息＝本金×利率×时间×（1－20%）
④税后本息＝本金×利率×时间×（1－20%）＋本金
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