杆影的指向
一天之内，随着太阳的东升西落，杆影的指向时刻改变。杆影的指向随时间变化的规律是怎样呢？能利用在水平面上竖直立的一根竿的竿影的指向来度量时间吗？本文利用矢量三角形简要地探讨这一问题，并利用所导出的结论简明地分析日昝记时的原理以及昼夜长短、日升日落方位等的变化规律。
如图1所示，以地球的球心为坐标轴的原点O，以地球的自转轴为Z轴，XOZ在自转轴和观测点A所确定的平面内，Y轴(未画出)垂直纸面向里。θ和α分别表示观测点和太阳直射点的纬度（规定北纬为正值，南纬为负值）。先推导一天之内杆影随时间变化的规律。因为一天之内α的变化很小，所以对于研究杆影的指向而言，忽略其在一天内的变化影响不大。用R表示由O点引向太阳中心的单位矢量，T表示一个太阳日，过A点的经线正对太阳即图1所示的时刻为零时刻。
以地球为参照物，由太阳绕Z轴自东向西旋转可得：
用G表示阳光传播的单位光矢，则由G与R方向相反可得：
（1）
若用N、D、B分别表示观察点A处的正南、正东、标杆（过A点与当地水平面垂直的直杆）的单位矢量，则
（2）
（3）
（4）
用Ｅ表示立于Ａ点的单位长度的标杆的杆影的影矢――为一以点Ａ为起点的矢量。由光沿直线传播即可得图2所示的矢量三角形。由此三角形可得：
将（1）、（4）两式代入上式整理可得：
（5）
又因为Ｅ在Ｎ、Ｄ所确定的平面内，所以
将（2）、（3）两式代入上式整理可得：
（6）
联立（5）、（6）两式求解可得：
（7）
（8）
（9）
（7）－（9）三式即杆影随时间变化的规律。
由（7）、（8）两式的比值可知，在不同日子的同一时刻（如春分日与夏至日的上午10点），由于太阳的直射纬度不同，杆影的指向一般并不相同。这表明，在地球的绝大部分地方，仅靠在水平面上竖直立的一根直竿的竿影的指向来度量时间是不可能的。
下面利用（7）－（9）三式，简明地分析正午杆影指向、日昝计时、极昼极夜、昼夜长短及日升日落方位变化等问题。
正午杆影的指向
将t＝0代入（7）、（8）两式可得
故若，则，杆影指南（即若直射纬度处在观察点的北边，则正午杆影指南）；反之，指北。；
昼夜长短的变化规律
较严格地讨论昼夜长短的变化需将直射纬度随时间的变化式代入（9）式后再分析，在此仅粗略讨论昼夜长短随变化规律。
由图2可知，时为白天，时为黑夜。将代入（9）式，可得在时：（10）
由上式的解不难导出，“春分秋分，全球昼夜平分（若地球是直着身体绕太阳公转，那全球全年都昼夜平分）；赤道，全年昼夜等长”；太阳直射北半球时，北半球昼长夜短，且昼长随纬度增大而增大，的区域出现极昼现象（若地球躺着身子绕地球公转，且自转轴的指向不变，则当直射点移至北极点时，整个北半球都出现极昼现象）；太阳直射南半球时，北半球昼短夜长，且昼长随纬度增大而减小，的区域出现极夜现象（昼夜长短随直射纬度变化而变化的规律以及南半球的情形在此就不讨论了）。
日昝计时的原理
为简洁起见，下面的推导过程省略了部分隐含条件和推导过程。
令β为杆影与正南向的夹角，将代入（7）、（8）两式，整理可得：
故：，即
（11）
（11）式表明在北极点，杆影如同机械表的指针一样是匀速转动的（严格地讲，北极点没有东西向，只有南向。本文的处理是假定将图1所示的方位沿经线慢慢滑移至北极点），此即日昝记时的原理――不在北极点时，只需将直杆指向北极星（也就是与自转轴平行――由刚体运动学可知，日月星辰绕自转轴如何旋转，绕此杆就如何旋转），观测此杆在与杆垂直的平面的影子的指向即可推断时间。
由影长：可知，日昝上的影长的日变化很小，几乎可以忽略，但季节变化还是比较大的。但这一点对计时没有影响。
日升日落的方位
在日升日落的瞬间，，代入9式整理可得：
（12）
（注：若，上式无解，表明观测点无日升日落现象，即有极昼或极夜现象发生。）
为简明起见，下面主要讨论时日升的方位。
由（12）式可知此种情形下日升后与日落前的瞬间。再结合时间的定义域可推知，日升后的瞬间，日落前的瞬间。将前两式代入（7）、（8）两式，可得，即日升后的瞬间，杆影指向西偏南的方位，这表明太阳是在东偏北的方位升起。同理可得，太阳是在西偏北的方位落下。
再看具体的方位：
将（12）式代入上式，并结合日升后的瞬间整理可得：
（13）
此即在的情形下，太阳升起的瞬间杆影与正南向夹角的数学表达式。由此式可知，越大，杆影与正南向的夹角的绝对值就越小――表明太阳就在愈靠近正北的方位升起（在刚好发生极昼的地方，可认为太阳正好在正北的方位升起）；反之，二者越小，太阳就在愈接近正东的方位升起。
5、太阳高度角的日变化
用表示太阳高度角，由图2所示的矢量三角形可得：
（14）
此即太阳高度角日变化的数学表达式。由此式可知，在忽略太阳直射点日变化的前提下，若，且，则，即在北极点太阳高度不随时间变化。利用此式也可讨论前述的昼夜长短、正午太阳高度角等的变化规律，在此从略。
后记：
几十年前6月份的一个傍晚，当时正在读初二的我无意中被路边的树影迷惑了――不是说太阳的直射点总是在温带（笔者的家乡在北纬30°线上）以南吗？为何树影不是指向东北却是指向东南呢？当时没有弄明白，也没深想。
十几年前课改，物理等学科被科学取代。笔者改教科学，科学书上讲了古人用日昝记时的事。而根据笔者个人的日常经验，不同季节的同一时刻（如3月1日早上10点与6月1日早上10点）杆影的指向一般是不同的。既如此，那为何又可用杆影的指向来记时呢？为此，我决定探寻杆影随时间的变化规律。刚开始分析之时，我以为这一问题会很难。动手后才发现整个的推导过程居然很简单。更没想到的是，由推导出来的规律居然很容易地就解答了日昝记时的原理、日升日落方位等一系列问题（当然也包括我个人几十年前的一点疑问）。这一切，现在回想起来，仍有一种“掬水月在手”的感觉。
有些事，不去做时会认为很难，做了后才发现原来它很简单。其实不论事情是真难还是假难，只要去做，就有收获，至少比无所事事强。
X
O
Z
α
A
X’
Z’
图1
Ｂ
Ｅ
Ｇ
图2
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