数学，科学的语言
英国著名的科技史专家W.C.丹皮尔在其名著《科学史》中写道：“伽利略想要发现的不是物体为什么降落，而是怎样降落，即是依照怎样的数学关系而降落；这是科学方法上的一个大发展。”
初次读到这段文字时，甚为震惊，因为它颠覆了我对科学的认识。一直以来，我都觉得科学的主要目的是为了揭示为什么。虽然事物是怎样的是很重要，但事物为什么会是这样或那样的，无疑更为重要。不是有一本非常著名的科普著作的书名就叫《十万个为什么》吗？转而想想，科学解释，也就是回答为什么的实质，其实就是用一些事实或假设去论证另一些事实或假设。从这样的一个角度来看，事物是怎样的又反而比事物为什么是这样的或那样的更为重要。
譬如，在现代遗传学建立之前，生物学家就已经知道很多遗传和变异的事实。在发现DNA、RNA以及它们与蛋白质各种关系后，生物学家才能较为合理地解释许许多多以前所熟知遗传和变异的事实。也就是说，前面的一个个的为什么会那样，其实是蕴含在后面的一个个的是怎样之中。再如，至十九世纪末，人们已经发现了元素周期律，已经认识了元素的化合价，已经积累了大量的原子分子光谱资料。然而，这些事实在人们发现原子是由电子和原子核组成，电子在核外的绕核运动所遵从的量子力学规律之后，才最终得到科学意义上的合理的解释。虽然现代物理学家大多倾向于将量子力学的基本规律视作一种假设，但不论怎么看，那些规律都可视作是对微观领域内各相关物理量之间的关系的一种数学描述，或者说是对事物是怎样的一种描述。这样，与刚刚所举的生物学方面的例子一样，这里所举的化学和物理学方面的一个个的为什么，其实也是蕴含在后面的物理和化学中的一个个的是怎样的之中。
科学不仅仅是探究事物为什么会是这样或那样的，而且也是探究事物是怎样的。科学的这两种目的，不仅有时难以分清彼此，而且也常常难以说清哪一个更加重要。
从人类对事物认识的一般发展规律来看，人们对事物的认识也往往可以分为两个密不可分的阶段。第一阶段探讨“事物是怎样的”，第二阶段研究“事物为什么是那样的”。不论是在哪一个阶段，人们的结论、人们的解释都是“描述性的”。
因为在认识到了更进一步的“事物是怎样的”之后，人们又会提出“事物为什么是那样的”，所以科学的追求探究是永无止境的。虽然从某一个角度上讲，数学公理化方法在物理上的应用在一定程度上禁止人们对某些基本规律如中学生熟知的惯性定律，提“事物为什么是那样的”之类的问题，但新的实验发现也会不停地向人们提出“事物是怎样的”、“事物为什么是这样的或那样的”之类的问题。近代科学的勃起和发展，在很大程度上是因为有一群人一直在那里，永无止境地追问事物是怎样的和事物为什么是那样的。
几年后再看《科学史》，突然意识到丹皮尔对伽利略的评述有很值得商榷的地方。
按照丹皮尔的说法，人类在伽利略之前就没有科学了。事实上，从有人类开始，人们就已经开始慢慢地积累事物是怎样的的各种各样的事实，人们也认识到了许许多多事物之间存在的关联。没有这种积淀，近代科学就不可能产生。别的不说，古希腊人对潮汐的认识就远比伽利略的认识要科学。古希腊人不仅观察到一天大约涨两次潮，而且还认识到潮汐与月亮有关。但是伽利略却认为潮汐不是由月亮引起的，他认为潮汐是由地球的自转等引起的。按照伽利略的说法，一天只涨一次潮。尽管他的理论与事实严重不符，但我们的伽老先生仍然固执己见。伽老先生的固执，不仅明明白白地昭示出了近代科学之来之不易，而且也明明白白地告诉了我们，再伟大的人物，有时也会犯一些小儿科的错误。所以，我们不要被别人的名气吓倒，凡事都要独立思考，不要盲目相信，更不能盲目追随。
我个人觉得，伽利略的成功之处，并不在于他想发现“物体是怎样下落的”，而在于他力图定量地描述“物体是怎样下落的”。伽利略认为，不仅天体的运动可以像第谷和开普勒等所做的那样用数学方式精确地描述，地球上的物体的运动也是可以用数学方式精确地描述的。伽利略首先作了尝试，并且他也在一定的程度上成功地定量化地描述了地球上物体的运动。而在他之前，人们不是没有去发现“物体是怎样降落的”，而是人们对这一问题的探讨仅仅停留在“定性的粗略地描述”上。伽利略的这种重视量以及量与量之间的关系的做法，大大地促进了物理学的发展。在伽利略的成功的激励下，追求定量化，努力揭示物理量之间定量的关系，成为物理学家们的一致的追求。一个多世纪后，拉瓦锡在化学科学方面也做了同样的事，从而也大大地促进了化学这一学科的发展。
二十世纪中叶以来电子计算机的迅猛发展，更是将数学描述的神奇展现在普通大众的眼前。在电子计算机中，一切都用0和1来表示。计算机专家们用0和1这两个数字的各种各样的组合，“定量”地描述了各种各样的文字、图像、声音、视频，再通过几种输出设备就将它们完美呈现出来。套用一句俗话“林子大了，什么鸟都有”，电子计算机的发展表明“0和1多了，什么鸟都可以表示出来”。
很多人在论述近代科学的起源时，往往喜欢强调政治经济等方面的影响，往往忽视了数学的作用。一个非常明显的事实是近代科学的勃兴是以物理学的发展为基础的，17世纪的科学革命是以物理学的革命为主导的。然而，如果没有15、16、17世纪代数学、对数、解析几何和微积分等的发明和发展，就不可能有牛顿的伟大的综合，也就不可能有物理学的革命。而上述进展中的主要部分，与其说是受当时政治经济活动推动的结果，不如说受数学或科学自身和人类的好奇心推动的结果。正是借助数学的力量，近代科学才得以迅猛地发展。可以说，数学为近代科学革命立了首功。
从另一个角度看，在十五、十六和十七三个世纪，除了数学学科的飞速发展和个别关键性的信息记录传播信息的变革之外，近代欧洲在其它方面为科学所提供的条件与中世纪相差并不是很大。一个很明确的事实是，从十五世纪直至十八世纪末，物理学研究的主要动力并不是来自经济发展的需要，物理学研究的主要成果对当时的社会生产力的发展也几乎没有产生什么影响。
近代科学的奠基人伽利略曾说过：“没有它们（指数学语言），人就只能在黑暗的迷宫里劳而无功地游荡。”美国国产的最著名的物理学家费曼，在《数学同物理学的关系》的演讲中也说：“对那些不懂数学的人说来，的确难于使他们理解对大自然的美﹑那深层的美的一种真正的感觉。”“如果你想学习自然界的情况，欣赏自然界之美，那就必须懂得她所说的语言。她只以一种形式提供她的信息；我们不会狂妄到要求大自然做出改变来迎合我们的意愿。”正是在精密的数学的指引下，伽利略才提出了对后世影响极其深远的时间、空间、速度、加速度等概念，牛顿才得以完成其划时代的巨著《自然哲学的数学原理》（看一眼书名就多多少少知道数学在自然研究中的重要性了）。
数学为什么会成为科学的语言呢？我想根本原因应当是科学在本质上是描述性的，科学解释的实质是一种逻辑推理。科学的历史表明，人们对事实的“描述”愈形象、愈细致、愈精确，就愈有启发性，就愈有参考价值。因为定性的东西，往往“公说公有理，婆说婆有理”，很难辩出个是非曲直（用波普尔的话来说，即是很难被“证伪”）；而定量的东西，因其明确的“说一不二”而易被证实或被推翻，故而才能有条不紊地推动科学向前发展。著名物理学家费曼在《引力定律——物理定律的一个例子》的演讲中说：“在哥白尼之后的岁月，是对于行星事实上是同地球一起环绕太阳运行，还是地球处于宇宙的中心等问题展开激烈争论的年代。后来有一个名叫第谷·布拉埃的人发展了一种方法来回答这个问题。他想到一个可能是很好的主意：非常非常仔细地观察，把天空中出现的行星的位置精确地记录下来，然后就可以根据这些资料，把各种不同的理论一一区分开来了。这正是跨入现代科学的钥匙，它是对自然界理解的真正开始——这就是观察事物、详尽记录，并且希望如此得到的资料会成为检验这样或那样的理论解释的线索的概念。”没有定量的描述，近代科学就不可能产生。而数学，在很大程度上就是研究量的科学，是精确的代名词。正因如此，数学也就自然而然地成为了科学的语言。
数学对于科学之所以重要，不仅在于作为科学语言的数学的精确（因为它精确，所以便于实验检验）与简洁（其简洁性在很大程度上要归功于数学语言的高度概括性和抽象性），而且还在于数学的强大的逻辑力量。通过数学推理，我们不仅可以就事物是怎样的作出精确的推定（这种推定，在科学上有时也被称之为解释），甚至还可以预言一些以前从未想到过或观察过的事实。科学史上这样的例子太多，这里就不一一列举了。在这里，仅举一个英国二十世纪最伟大的理论物理学家狄拉克的趣闻故事。
据说大约一百年前的某一天，当时还在读大学的狄拉克不知何故突然被他姑姑打毛衣的针法吸引住了。仔细观察之后，他用群论描述出了他姑姑打毛衣的针法（狄拉克可是一位驾驭数学语言的高手）。通过摆弄描述打毛衣针法的群论，狄拉克推测出了另外一种打毛衣的方法。他立即跑去地告诉他姑姑毛衣还可以怎样织。她姑姑听了他介绍的方法后，笑着对他说，人们早就知道那种织法了。
狄拉克在晚年对他人谈论他自己的工作时说：“我主要的工作是摆弄方程，看它最终能给出什么。”通过摆弄方程，狄拉克预言了正电子的存在。科学界传言，狄拉克上了天国见到上帝后，他非常自豪地对上帝说是他最早预言了正电子存在。上帝听后笑了笑，说：“我在几十亿年前就知道正电子的存在了。”
数学对于科学的重要性，不仅在于一个科学理论数学化之后所具有的强大的解释和预言能力，而且还在于它对科学的启发与指导作用。从牛顿的《自然哲学的数学原理》、拉格朗日的《分析力学》、麦克斯韦的麦克斯韦方程组、爱因斯坦的相对论到海森堡薛定谔狄拉克的量子力学，我们都能发现，“理论物理的创造性原则寓于数学之中”，“理论物理学家越来越不得不服从于数学的形式考虑的支配”（爱因斯坦语），“数学感兴趣的规则也正是自然界所选择的规则”（狄拉克语）。按照爱因斯坦和狄拉克数的说法，数学不仅仅是科学的语言，数学也不仅仅是科学的皇后（高斯说：“数学，科学的皇后”），它是科学的女皇。
若单从理论的精妙程度上来讲，那科学无法与数学媲美，但科学有科学之独特之美。与数学相比，科学之美胜在它与实际的较直接的关联之上，胜在它所囊括的经验事实之中（数学往往要通过科学才与经验事实挂上钩），胜在一些精妙的实验（包含理想实验）之中。费曼在《数学同物理学的关系》的演讲中说：“物理不是数学，数学也不是物理学。两者是相辅相成的。但在物理学里你要理解词语同现实世界的联系。你最终必须把脑子里所想的东西转换为语言文字，转换为同现实世界的联系，以及你正在那里做实验时所用到的黄铜和玻璃等部件的联系。只有通过这种方式你才能发现你的结果是否正确。这是一个单凭数学完全无能为力去解决的问题。”费曼的这一段关于数学、物理、实验间关系的通俗而又精彩的论述，对于我们认识科学，对于我们学习科学，对于我们发展应用科学，都有重要的指导意义。
首届诺贝尔物理学奖获得者，德国著名物理学家伦琴说：“实验是最有力、可靠的手段，它能使我们揭开自然界的奥秘；实验也是判断假说应当保留还是应当放弃的最后鉴定。”正因为理论的取舍由实验来决定，所以如果说数学是科学的皇后，那实验可就称得上是科学的国王了。（通常人们认为物理学是科学的国王，这样说显然是就从学科之间的相互依存的关系而言的。若从科学发展的历史来看，物理、化学与生物在科学发展的进程中，常常是轮流坐庄（有较专业一点的术语讲，即成为“中心学科”），或者说三者常常是“各领风骚几十年”。）
然而做实验也离不开数学，所以我们也不能把实验凌驾在数学之上。
数学和实验，是科学的左右脚。没有实验，科学难以前行；没有数学，科学也寸步难行。
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