由一道数学竞赛题而引发的思考

由一道数学竞赛题而引发的思考

安徽省宁国水泥厂 吴忠群

　　原题：如图1所示，AOB是单位圆的四分之一，半圆O₁的圆心在OA上且与弧AB内切于点A，半圆O₂的圆心在OB上且与弧AB内切于点B，半圆O₁和半圆O₂相外切，设两半圆的半径之和为x，面积之和为y。

 

〈1〉试建立以x为自变量的函数y的解析式；

 

〈2〉求函数y的最小值。

 

（2000年山西省太原市数学竞赛试题）

 

　　　　　　

 

  解：〈1〉设两圆的半径分别为R、r，由题设可知x = R + r，而y =π（R² + r²）/2 …（1）

 

  在图1中，显然有（R + r）² =（1-R）² +（1 - r）²→x² = 2-2x + R² + r²，结合（1）得：y =π（x² + 2x - 2）/2

 

〈2〉将y =π（x² + 2x - 2）/2变形为y =π[（x+1）²  - 3]/2  …（2）

 

下面我们来探讨R + r（即x）的取值范围：

 

（i）如图2所示，当R最大（即R_max=0.5）时，r则最小，此时由勾股定理可得：

 

（0.5 + r）² =（1-0.5）²  +（1 - r）²→r=1/3 ， 即r_min=1/3，

 

那么这时所得x=0.5+1/3 =5/6

 

而当r最大（即r_max=0.5）时，R则最小，R_min=1/3，这和上面所得x的值是一样的，即此时x=5/6；

 

（ii）R=r时，此时由勾股定理可得：（2R）² =2（1-R）² →R=

 

那么这时所得x=2（）

 

因为5/6大于0.83，而2（）小于0.829，所以5/6比2（）要大，于是，我们初步判断当x=2（）时，函数y取得最小值，那么将x=2（）代入解析式（2）就可以得到函数y的最小值y_min=π（）

 

接下来，我们来证明x的最小值是2（）：我们已经知道x² = 2-2x + R² + r²，再结合r = x- R 可得：R²–xR–xR+1=0，对于这个关于R的二次方程，显然有△≥0，即x² +4x–4≥0 → （x+2）² ≥8   →x≥（因为x为非负数），即x的最小值是2（）。

 

当然，我们也可以运用比较法来迅速地判断出“x≥”：

 

首先，我们把上面的“R²–xR–xR+1=0”变形为x=（R² +1）/（R+1）……（Ⅰ）

 

而（R² +1）/（R+1）-（）=[R² -2（）R+3-]/（R+1）

 

                                =[R² -2（）R+（）²]/（R+1）

 

                                =[R-（）]²/（R+1）

 

我们也可以将上述变形作如下处理：

 

（R² +1）/（R+1）-（）=（R² +2R+1-2R-+2）/（R+1）

 

                                =[（R+1）² -2（R+1）+2]/（R+1）

 

                                =（R+1-） ²/（R+1）

 

=[R-（）]²/（R+1）

 

考虑到（R+1）＞0可以知道：[R-（）]²/（R+1）≥0，再结合（Ⅰ）可知x-（）≥0，即x≥ x≥

 

解罢本题，不禁引发了我们的以下思考：

 

第一，   如何仅运用直尺（无刻度）和圆规正确地作出图1？

 

第二，   对于本题，函数y是否存在最大值？若存在，则如何求得该最大值？若不存在请说明理由。

 

     针对第一问，笔者给出这样的作图方法：如图3所示，先以O为圆心作出四分之一单位圆OAB，在OB上取适当[ 因为由（i）可知1/3≤r≤1/2]的点O₂，以O₂为圆心画⊙O₂，过O₂作OB的垂线交⊙O₂于点K，连结AK交⊙O₂于点M，则直线O₂M与OA的交点就是⊙O₁的圆心O₁，最后以O₁为圆心、以A O₁（或MO₁）长为半径画半圆O₁即可。

 

     简单说明：不难知道△O₂MK是以O₂为顶点的等腰三角形，而△O₂MK∽△O₁MA，所以我们就知道△O₁MA是以O₁为顶点的等腰三角形，那么所作出的图形是满足题意的。

 

针对第二问，我们的回答是肯定的。其实，我们从上述解答〈2〉中已经知道x₁=5/6及x₂=2（）是R在两种特殊情况下所取得的x的值，并且又很容易判断出5/6大于2（），而当x=2（）时，函数y取得了最小值，那么我们有理由相信当x=5/6时，函数y取得最大值。简证如下：

 

同样，我们把上面的“R²–xR–xR+1=0”变形为x=（R² +1）/（R+1）……（Ⅰ）

 

因为由（i）可知1/3≤R≤1/2，所以有（2R-1）（3R-1）≤0 →6R²–5R+1≤0 →

 

6+6R² -5–5R≤0 →6（R² +1）–5（R+1）≤0 → （R² +1）/（R+1）≤5/6，结合（Ⅰ）可得：x≤5/6，所以当x=5/6时，函数y取得最大值，于是将x=5/6代入解析式（2）就可以得到函数y的最大值y_max=13π/72。

 

另外，关于x≤5/6，我们仍然可以运用比较法来迅速地给出证明：

 

因为（R² +1）/（R+1）-5/6 =（6R² -5 R +1）/6（R+1）

 

=（2R-1）（3R-1）/6（R+1）

 

 而由1/3≤R≤1/2可知（2R-1）（3R-1）≤0，而6（R+1）＞0，所以我们可以得到：（2R-1）（3R-1）/6（R+1）≤0，结合（Ⅰ）可得：x-5/6≤0，即x≤5/6