用放缩法证明不等式

用放缩法证明不等式 　　放缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。下面举几个例子说明这个问题。

   例 1  已知  ,求证：

 

　　分析 由可想到二项式系数的和为，由可想到二项式定理，利用放缩法把转化成构造出二项式定理公式，从而得出结论。

　　证明   设且。

　　对任意，有

 

　　 将上述各式叠加：

　　例 2 求证： 

　　分析  左式是n个因式连乘的形式，应把各因式化为分式，通过放缩，使之能交替消项，达到化简的目的。由于右式是，因此所放缩后的因式应与有关。 

　　证明

   　　

　　 例 3   

  　　分析  左式很难求和，可将右式拆成n项相加的形式，然后证明右式各项分别大于左式各项，叠加得出结论。

 　　证明   

　  　　
　　总之，如何确定放缩的尺度，是应用放缩法证明中最关键、最难把握的问题。但是，只要抓住了欲证命题的特点，勤于观察和思考，许多问题都能迎刃而解。