爱因斯坦场方程

刻上真空场方程式的纪念硬币。

从等效原理（1907年）开始，到后来（1912年前后）发展出“宇宙中一切物质的运动都可以用曲率来描述，引力场实际上是弯曲时空的表现”的思想，爱因斯坦历经漫长的试误过程，于1916年11月25日写下了引力场方程而完成广义相对论。这条方程称作爱因斯坦场方程（Einstein field equations (EFE)）：

G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu} R = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu}

其中

$G_{\mu\nu}\,$ 称为爱因斯坦张量，
$R_{\mu\nu}\,$ 是从黎曼张量缩并而成的里奇张量，代表曲率项；
$R\,$ 是从里奇张量缩并而成的标量曲率(或里奇数量)；
$g_{\mu\nu}\,$ 是从(3+1)维时空的度量张量；
$T_{\mu\nu}\,$ 是能量-动量-应力张量，
$G\,$ 是引力常数，
$c\,$ 是真空中光速。

该方程是一个以时空为自变量、以度规为因变量的带有椭圆型约束的二阶双曲型偏微分方程。球面对称的准确解称史瓦西解。

爱因斯坦场方程的性质[编辑]

能量与动量守恒[编辑]

场方程的一个重要结果是遵守局域的（local）能量与动量守恒，透过应力-能量张量（代表能量密度、动量密度以及应力）可写出：

\nabla_\nu T^{\mu \nu}= T^{\mu \nu}{}_{;\nu}=0

场方程左边（弯曲几何部份）因为和场方程右边（物质状态部份）仅成比例关系，物质状态部份所遵守的守恒律因而要求弯曲几何部份也有相似的数学结果。透过微分比安基恒等式，以描述时空曲率的里奇张量 $R^{\mu \nu} \,$ （以及张量缩并后的里奇标量 $R \equiv R^\mu_\mu \,$ ）之代数关系所设计出来的爱因斯坦张量 $G^{\mu \nu} \equiv R^{\mu \nu} - {1\over 2} g^{\mu \nu} R$ 可以满足这项要求：

\nabla_\nu G^{\mu \nu}=G^{\mu \nu}{}_{;\nu}=0

场方程为非线性的[编辑]

爱因斯坦场方程的非线性特质使得广义相对论与其他物理学理论迥异。举例来说，电磁学的麦克斯韦方程组跟电场、磁场以及电荷、电流的分布是呈线性关系（亦即两个解的线性叠加仍然是一个解）。另个例子是量子力学中的薛定谔方程，对于概率波函数也是线性的。

对应原理[编辑]

透过弱场近似以及慢速近似，可以从爱因斯坦场方程退化为牛顿引力定律。事实上，场方程中的比例常数是经过这两个近似，以跟牛顿引力理论做连结后所得出。

添加宇宙常数项[编辑]

爱因斯坦为了使宇宙能呈现为静态宇宙（不动态变化的宇宙，既不膨胀也不收缩），在后来又尝试加入了一个常数 $\Lambda\,$ 相关的项 $\Lambda g_{\mu\nu} \,$ 于场方程中，使得场方程形式变为：

R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu} R + \Lambda g_{\mu\nu}= {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu}

可以注意到 $\Lambda g_{\mu\nu} \,$ 这一项正比于度规张量，而维持住守恒律：

\nabla_\nu (\Lambda g_{\mu \nu})= \Lambda \nabla_\nu (g_{\mu \nu}) = 0

此一常数 $\Lambda$ 被称为宇宙常数。

这个尝试后来因为两个原因而显得不正确且多此一举：

此一理论所描述的静态宇宙是不稳定的。
十年后，由爱德温·哈伯对于远处星系所作观测的结果证实我们的宇宙正在膨胀，而非静态。

因此， $\Lambda$ 项在之后被舍弃掉，且爱因斯坦称之为“一生中最大的错误”("biggest blunder [he] ever made")^[1]。之后许多年，学界普遍设宇宙常数为0。

尽管最初爱因斯坦引入宇宙常数项的动机有误，将这样的项放入场方程中并不会导致任何的不一致性。事实上，近年来天文学研究技术上的进步发现，要是存在不为零的 $\Lambda$ 确实可以解释一些观测结果。^[2] ^[3]

爱因斯坦当初将宇宙常数视为一个独立参数，不过宇宙常数项可以透过代数运算移动到场方程的另一边，而将这一项写成应力-能量张量的一部分：

R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu} R = {8 \pi G \over c^4} \left( T_{\mu\nu} - \frac{c^4\Lambda g_{\mu\nu}}{8 \pi G} \right)

刚才提到的项即可定义为：

T_{\mu \nu}^{\mathrm{(vac)}} \equiv -\frac{c^4\Lambda g_{\mu\nu}}{8 \pi G}

而另外又可以定义常数

\rho_{\mathrm{vac}} \equiv \frac{c^2\Lambda}{8 \pi G}

为“真空能量”密度。宇宙常数的存在等同于非零真空能量的存在；这些名词前在广义相对论中常交替使用。也就是说可以将 $T_{\mu \nu}^{\mathrm{(vac)}} \equiv -\frac{c^4\Lambda g_{\mu\nu}}{8 \pi G}$ 看成和 $T_{\mu\nu} \,$ 是一样类型的量，只是 $T_{\mu\nu} \,$ 的来源是物质与辐射，而 $-\frac{c^4\Lambda g_{\mu\nu}}{8 \pi G}$ 的来源则是真空能量。物质、辐射与真空能量三者在物理宇宙学中扮演要角。

真空场方程[编辑]

宇宙常数为零[编辑]

若能量-动量张量 $T_{\mu \nu}$ 在所关注的区域中为零，则场方程被称作真空场方程。在完整的场方程中设定 $T_{\mu \nu}=0$ ，则真空场方程可写为：

R_{\mu \nu} = {1 \over 2} g_{\mu \nu} R\

对此式做张量缩并，亦即使指标μ跟ν相同：

R \equiv R^\mu_\mu = g^{\mu \nu} R_{\mu \nu} = g^{\mu \nu} {1 \over 2} g_{\mu \nu} R

由于 $g^{\mu \nu}g_{\mu \nu} = \delta^\mu_\mu$ ，整理可得：

R = \delta^\mu_\mu {1 \over 2}R

而克罗内克尔δ在四维空间（时空）下取迹数为4，所以式子可写作：

R = 4 \cdot {1 \over 2} R = 2R

是故 $R=0\,$ 。

因此可以得到此一更常见、等价的迹数反转（trace-reversed）式：

R_{\mu \nu} = 0\

宇宙常数不为零[编辑]

若宇宙常数不为零，则方程为

R_{\mu \nu} = {1 \over 2} g_{\mu \nu} R - \Lambda g_{\mu \nu},\

若同上面宇宙常数为零的例子，其迹数反转（trace-reversed）形式为

R_{\mu \nu} = \Lambda g_{\mu \nu}\

真空场方程的解顾名思义称作真空解。平直闵可夫斯基时空是最简单的真空解范例。不寻常的真空解范例包括了史瓦西解与克尔解。

附带一提的是：微分几何中，里奇张量为零（即： $R_{\mu \nu}=0$ ）的流形称作里奇平坦流形，另外里奇张量与度规成比例关系的流形，称为爱因斯坦流形（Einstein manifold）。

参见[编辑]

广义相对论资源

参考文献[编辑]

^ Gamow, George. My World Line : An Informal Autobiography. Viking Adult date = April 28, 1970. [3-14-2007]. ISBN-10: 0670503762.
^ Wahl, Nicolle. Was Einstein's 'biggest blunder' a stellar success?. November 22, 2005 [2007-03-14].
^ Turner, Michael S. A Spacetime Odyssey. Int.J.Mod.Phys. A17S1. May 2001: 180–196 [2007-03-14].

Aczel, Amir D., 1999. God's Equation: Einstein, Relativity, and the Expanding Universe. Delta Science. A popular account.
Charles Misner, Kip Thorne, and John Wheeler, 1973. Gravitation. W H Freeman.