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数学是什么，远远比数学怎么教更加重要。只有准确地把握数学学科的本质特点，才能有效地实施其教学。 我们知道数学有三大特性，即抽象性、严密性和应用的广泛性，但在学科培训、教学研究中一方面我们必须从数学三大特性的高度理性地认识数学，另一方面我们需要对数学的特点有着更具体、更鲜活、更有意蕴的理解。于是我们改编、新创了一组关于数学的精粹而有意蕴的故事，期望借助数学故事引导学生真切地感悟数学的真谛。 故事一：烧水的问题 有好事者提出这样一个问题：“假如你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧些水应当怎样去做？” 被提问者答道：“在壶中放上水，点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。” 提问者肯定了这一回答，接着追问：“如其他条件不变，只是水壶中已有了足够的水，那你又应当怎样去做？ ” 这时被提问者很有信心地答道：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。” 但是提问者说：“物理学家通常都这么做，而数学家们则会倒去壶中的水，并声称已把后一问题转化成先前的问题。” 感悟： 数学家“倒去壶中的水”似乎是多此一举，故事的编创者不是要我们去“倒去壶中的水”，而是引导我们感悟数学家独特的思维方式──转化。 学习数学不是问题解决方案的累积记忆，而是要学会把未知的问题转化成已知的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化成具体的问题。数学的转化思想简化了我们的思维状态，提升了我们的思维品质。转化不是就事论事、一事一策，而是发掘出问题中最本质的内核和原型，再把新问题转化成与已经能够解决的问题。 转化思想是数学的基本思想，它应贯穿在我们数学教学的始终。 故事二：两只羊的描述 草地上有两只羊，在艺术家、生物学家、物理学家、数学家看来却有不同的感受与理解，下面是他们的的描述。 艺术家：“蓝天、碧水、绿草、白羊，美哉自然。” 生物学家：“雄雌一对，生生不息。” 物理学家：“大羊静卧，小羊漫步。” 数学家：“1+1=2。” 感悟： 从故事中不同职业的人对两只羊的描述，我们感受到艺术家对自然美的关注，生物学家对生命的关注，物理学家对运动与静止的关注，而数学家从色彩、性别、状态中抽象出数量关系：1+1=2，这是数学高度抽象性的体现。 在数学教学中，学生的数学学习要经历具体—表象—抽象的过程，教学时要在直观物体和抽象概念之间构建桥梁，从而引导学生把握事物最主要、最本质的数学属性。 抽象有一个学生经历的过程，而不是直接告诉学生抽象的结果。数学抽象本身又是一个不断提高的过程，这一过程永无止境。 故事三：篱笆围面积 一位农夫请了工程师、物理学家和数学家，让他们用最少的篱笆围出最大的面积。 工程师用篱笆围出一个圆，宣称这是最优设计。 物理学家说：“将篱笆分解拉开，形成一条足够长的直线，当围起半个地球时，面积最大了。” 数学家好好嘲笑了他们一番。他用很少的篱笆把自己围起来，然后说：“我现在是在篱笆的外面。” 感悟： 工程师的设计是实用的、唯美的，不愧是“最优设计”。物理学家的思维具有奇特的想象力，篱笆可无限地分解拉开，似乎围成的面积已经是 “最大了”。数学家是用很少的篱笆把自己围起来，然后说：“我现在是在篱笆的外面。”工程师和物理学家力图围出最大的面积，而数学家是先围出最小的面积。人们说，退一步海阔天空，而数学家何止是退一步，是反其道而行之。“反其道”是一种逆向思维的品质。 逆向思维是创造思维的组成部分。在我们面对“山重水复”之时，逆向思考常常使我们找到“柳暗花明”之路。数学教学应使逆向思维成为学生应有的自觉意识和实践行为。 故事四：苏格兰的羊 三位科学家由伦敦去苏格兰参加会议，越过边境不久，发现了一只黑羊。 “啊，” 天文学家说，“原来苏格兰的羊是黑色的。” “得了吧，仅凭一次观察你可不能这么说。” 物理学家道，“你只能说那只黑色的羊是在苏格兰边境发现的。” “也不对，”数学家道，“由这次观察你只能说：在这一时刻，这只羊，从我们观察的角度看过去，有一侧表面上是黑色的。” 感悟： 著名的思想家培根说过：“数学使人精确。”故事中的数学家对苏格兰羊的描述充分体现出数学的严密性。 数学是思维的体操，语言是思维的外壳，数学的理性思维是建立在数学概念、数学定理等数学语言的严密界定之上的。数学语言的简洁、精炼、严密的特性需要我们在平时的数学教育教学中不断地锤炼教学语言，并进而通过数学语言的训练提升学生的思维品质。 故事五：三角形的内角和 美籍华人陈省身教授是当代举世闻名的数学家，他在北京大学的一次讲学中语惊四座： “人们常说，三角形内角和等于180度。但是，这是不对的!” 大家愕然。怎么回事?三角形内角和是180度，这不是数学常识吗? 接着，这位老教授对大家的疑问作了精辟的解答：“说三角形内角和为180度不对，不是说这个事实不对，而是说这种看问题的方法不对，应当说三角形外角和是360度。” “把眼光盯住内角，我们只能看到： 三角形内角和是180度； 四边形内角和是360度； 五边形内角和是540度； …… n边形内角和是(n－2)×180度。 这就找到了一个计算内角和的公式。公式里出现了边数n。如果看外角呢? 三角形的外角和是360度； 四边形的外角和是360度； 五边形的外角和是360度； …… 任意n边形外角和都是360度。 这就把多种情形用一个十分简单的结论概括起来。用一个与n无关的常数代替了与n有关的公式，找到了更一般的规律。” 感悟： 读罢陈省身的故事，我们想起数学家波莱尔的一段话：“数学家的目的往往是寻求一般的解，他喜欢用几个一般的公式来解决许多特殊的问题。” 数学教学不是罗列更多的现象，也不是追求更妙的技巧，而是要从更普遍的、更一般的角度寻求规律和答案。 故事六：树上有几只鸟 某日，老师想看看学生的智商如何，于是有了下面的对话。 老师问：“树上有10只鸟，开枪打死1只，还剩几只?” 学生反问：“您确定那只鸟真的被打死了吗?” “确定。” “是无声手枪吗?” “不是。” “枪声有多大?” “80～100分贝。” “那就是说会震得耳朵疼?” “是。” 老师已经不耐烦了，“拜托，你告诉我还剩几只就行，OK?” “OK，树上的鸟有没有聋子？” “没有。” “有没有关在笼子里的?” “没有。” “边上还有没有其他的树？树上还有没有其他的鸟?” “没有。” “算不算怀在肚子里的小鸟？” “不算。” “打鸟的人眼有没有花？保证是10只？” “没有花，就10只。” 老师已经满头是汗，且下课铃已响了，但学生还是追问。 “有没有傻到不怕死的？” “都怕死。” “会不会一枪打死2只？” “不会。” “所有的鸟都可以自由活动吗？” “完全可以。” “如果您的回答没有骗人，” 学生满怀信心地说，“打死的鸟要是挂在树上没掉下来，那么就剩下1只；如果掉下来，就1只不剩。” 老师当即晕倒…… 感悟： 读完上述故事，我们似乎也有晕倒的感觉。树上有几只鸟，本是一道趣味数学题。数学需要趣味，那怕这种趣味带点幼稚，答案不够周密。“趣味数学”是激发学生数学想象、数学情趣及思维火化的有效素材。趣味数学题一旦“坐实”，就失去了生机与活力。故事中的学生似乎有点“走火入魔”，这会不会与我们刻板的教学有关呢？ 如果开放题被肢解成一道道封闭题，就违背了开放的本意。数学需要开放，开放的目的是发散学生的思维，开放的本质是思维。数学教育教学中需要开放，开放包括教学组织及整个设计，不可狭隘地理解为一道数学题，而是一个贯穿教学过程的主题，开放题只是载体与素材，开放应上升为一种思想。 诸如“树上有几只鸟”之类的话题，您也许别有一番高见，智者见智、趣者见趣，最后还是让我们读读下面两段文字：“甚至在数学上也是需要幻想的，甚至没有它就不可能发明微积分。”（列宁语）“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”（牛顿语）
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