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数学故事与数学真谛

2015-02-05  木马特工

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数学是什么,远远比数学怎么教更加重要。只有准确地把握数学学科的本质特点,才能有效地实施其教学。


我们知道数学有三大特性,即抽象性、严密性和应用的广泛性,但在学科培训、教学研究中一方面我们必须从数学三大特性的高度理性地认识数学,另一方面我们需要对数学的特点有着更具体、更鲜活、更有意蕴的理解。于是我们改编、新创了一组关于数学的精粹而有意蕴的故事,期望借助数学故事引导学生真切地感悟数学的真谛。


故事一:烧水的问题


有好事者提出这样一个问题:“假如你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴,你想烧些水应当怎样去做?”


被提问者答道:“在壶中放上水,点燃煤气,再把水壶放到煤气灶上。”


提问者肯定了这一回答,接着追问:“如其他条件不变,只是水壶中已有了足够的水,那你又应当怎样去做? ”


这时被提问者很有信心地答道:“点燃煤气,再把水壶放到煤气灶上。”


但是提问者说:“物理学家通常都这么做,而数学家们则会倒去壶中的水,并声称已把后一问题转化成先前的问题。”


感悟:

数学家“倒去壶中的水”似乎是多此一举,故事的编创者不是要我们去“倒去壶中的水”,而是引导我们感悟数学家独特的思维方式──转化。


学习数学不是问题解决方案的累积记忆,而是要学会把未知的问题转化成已知的问题,把复杂的问题转化成简单的问题,把抽象的问题转化成具体的问题。数学的转化思想简化了我们的思维状态,提升了我们的思维品质。转化不是就事论事、一事一策,而是发掘出问题中最本质的内核和原型,再把新问题转化成与已经能够解决的问题。


转化思想是数学的基本思想,它应贯穿在我们数学教学的始终。



故事二:两只羊的描述


草地上有两只羊,在艺术家、生物学家、物理学家、数学家看来却有不同的感受与理解,下面是他们的的描述。


艺术家:“蓝天、碧水、绿草、白羊,美哉自然。”


生物学家:“雄雌一对,生生不息。”


物理学家:“大羊静卧,小羊漫步。”


数学家:“1+1=2。”


感悟:

从故事中不同职业的人对两只羊的描述,我们感受到艺术家对自然美的关注,生物学家对生命的关注,物理学家对运动与静止的关注,而数学家从色彩、性别、状态中抽象出数量关系:1+1=2,这是数学高度抽象性的体现。


在数学教学中,学生的数学学习要经历具体—表象—抽象的过程,教学时要在直观物体和抽象概念之间构建桥梁,从而引导学生把握事物最主要、最本质的数学属性。


抽象有一个学生经历的过程,而不是直接告诉学生抽象的结果。数学抽象本身又是一个不断提高的过程,这一过程永无止境。


故事三:篱笆围面积


一位农夫请了工程师、物理学家和数学家,让他们用最少的篱笆围出最大的面积。


工程师用篱笆围出一个圆,宣称这是最优设计。


物理学家说:“将篱笆分解拉开,形成一条足够长的直线,当围起半个地球时,面积最大了。”


数学家好好嘲笑了他们一番。他用很少的篱笆把自己围起来,然后说:“我现在是在篱笆的外面。”


感悟:

工程师的设计是实用的、唯美的,不愧是“最优设计”。物理学家的思维具有奇特的想象力,篱笆可无限地分解拉开,似乎围成的面积已经是 “最大了”。数学家是用很少的篱笆把自己围起来,然后说:“我现在是在篱笆的外面。”工程师和物理学家力图围出最大的面积,而数学家是先围出最小的面积。人们说,退一步海阔天空,而数学家何止是退一步,是反其道而行之。“反其道”是一种逆向思维的品质。


逆向思维是创造思维的组成部分。在我们面对“山重水复”之时,逆向思考常常使我们找到“柳暗花明”之路。数学教学应使逆向思维成为学生应有的自觉意识和实践行为。



故事四:苏格兰的羊


三位科学家由伦敦去苏格兰参加会议,越过边境不久,发现了一只黑羊。


“啊,” 天文学家说,“原来苏格兰的羊是黑色的。”


“得了吧,仅凭一次观察你可不能这么说。” 物理学家道,“你只能说那只黑色的羊是在苏格兰边境发现的。”


“也不对,”数学家道,“由这次观察你只能说:在这一时刻,这只羊,从我们观察的角度看过去,有一侧表面上是黑色的。”


感悟:

著名的思想家培根说过:“数学使人精确。”故事中的数学家对苏格兰羊的描述充分体现出数学的严密性。


数学是思维的体操,语言是思维的外壳,数学的理性思维是建立在数学概念、数学定理等数学语言的严密界定之上的。数学语言的简洁、精炼、严密的特性需要我们在平时的数学教育教学中不断地锤炼教学语言,并进而通过数学语言的训练提升学生的思维品质。


故事五:三角形的内角和


美籍华人陈省身教授是当代举世闻名的数学家,他在北京大学的一次讲学中语惊四座:


“人们常说,三角形内角和等于180度。但是,这是不对的!”


大家愕然。怎么回事?三角形内角和是180度,这不是数学常识吗?


接着,这位老教授对大家的疑问作了精辟的解答:“说三角形内角和为180度不对,不是说这个事实不对,而是说这种看问题的方法不对,应当说三角形外角和是360度。”


“把眼光盯住内角,我们只能看到:


三角形内角和是180度;


四边形内角和是360度;


五边形内角和是540度;


……


n边形内角和是(n-2)×180度。


这就找到了一个计算内角和的公式。公式里出现了边数n。如果看外角呢?


三角形的外角和是360度;


四边形的外角和是360度;


五边形的外角和是360度;

……


任意n边形外角和都是360度。


这就把多种情形用一个十分简单的结论概括起来。用一个与n无关的常数代替了与n有关的公式,找到了更一般的规律。”


感悟:

读罢陈省身的故事,我们想起数学家波莱尔的一段话:“数学家的目的往往是寻求一般的解,他喜欢用几个一般的公式来解决许多特殊的问题。”


数学教学不是罗列更多的现象,也不是追求更妙的技巧,而是要从更普遍的、更一般的角度寻求规律和答案。


故事六:树上有几只鸟


某日,老师想看看学生的智商如何,于是有了下面的对话。

老师问:“树上有10只鸟,开枪打死1只,还剩几只?”

学生反问:“您确定那只鸟真的被打死了吗?”

“确定。”

“是无声手枪吗?”

“不是。”

“枪声有多大?”

“80~100分贝。”

“那就是说会震得耳朵疼?”

“是。”

老师已经不耐烦了,“拜托,你告诉我还剩几只就行,OK?”

“OK,树上的鸟有没有聋子?”

“没有。”

“有没有关在笼子里的?”

“没有。”

“边上还有没有其他的树?树上还有没有其他的鸟?”

“没有。”

“算不算怀在肚子里的小鸟?”

“不算。”

“打鸟的人眼有没有花?保证是10只?”

“没有花,就10只。”

老师已经满头是汗,且下课铃已响了,但学生还是追问。

“有没有傻到不怕死的?”

“都怕死。”

“会不会一枪打死2只?”

“不会。”

“所有的鸟都可以自由活动吗?”

“完全可以。”

“如果您的回答没有骗人,” 学生满怀信心地说,“打死的鸟要是挂在树上没掉下来,那么就剩下1只;如果掉下来,就1只不剩。”

老师当即晕倒……


感悟:

读完上述故事,我们似乎也有晕倒的感觉。树上有几只鸟,本是一道趣味数学题。数学需要趣味,那怕这种趣味带点幼稚,答案不够周密。“趣味数学”是激发学生数学想象、数学情趣及思维火化的有效素材。趣味数学题一旦“坐实”,就失去了生机与活力。故事中的学生似乎有点“走火入魔”,这会不会与我们刻板的教学有关呢?


如果开放题被肢解成一道道封闭题,就违背了开放的本意。数学需要开放,开放的目的是发散学生的思维,开放的本质是思维。数学教育教学中需要开放,开放包括教学组织及整个设计,不可狭隘地理解为一道数学题,而是一个贯穿教学过程的主题,开放题只是载体与素材,开放应上升为一种思想。


诸如“树上有几只鸟”之类的话题,您也许别有一番高见,智者见智、趣者见趣,最后还是让我们读读下面两段文字:“甚至在数学上也是需要幻想的,甚至没有它就不可能发明微积分。”(列宁语)“没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现。”(牛顿语)

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