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一、弗赖登塔尔的数学教育理论
（一）“数学现实”原则
弗赖登塔尔认为，数学来源于现实，存在于现实，并且应用于现实，而且每个学生有各自不同的“数学现实”。数学教师的任务之一是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实。因此，在教学过程中，教师应该充分利用学生的认知规律，已有的生活经验和数学的实际。在运用“现实的数学” 进行教学时，必须明确认识以下几点：
第一，数学教学内容来自于现实世界．把那些最能反映现代生产、现代社会生活需要的最基本、最核心的数学知识和技能作为数学教育的内容．
第二，数学教育的内容不能仅仅局限于数学内部的内在联系，还应该研究数学与现实世界各种不同领域的外部关系和联系。这样才能使学生一方面获得既丰富多彩而又错综复杂的“现实的数学”内容，掌握比较完整的数学体系．另一方面，学生也有可能把学到的数学知识应用于现实世界中去．
第三，数学教育应该为所有的人服务，应该满足全社会各种领域的不同层次的人对数学的不同水平的需求。
（二）“数学化”原则
弗赖登塔尔认为，数学教学必须通过数学化来进行。
现实数学教育所说的数学化有两种形式：一是实际问题转化为数学问题的数学化，即发现实际问题中的数学成分，并对这些成分做符号化处理；二是从符号到概念的数学化，即在数学范畴之内对已经符号化了的问题作进一步抽象化处理。
对于前者，基本流程是：
1、确定一个具体问题中包含的数学成分；
2、建立这些数学成分与学生已知的数学模型之间的联系；
3、通过不同方法使这些数学成分形象化、符号化和公式化；
4、找出蕴含其中的关系和规则；
5、考虑相同数学成分在其他数学知识领域方面的体现；
6、作出形式化的表述。
对于后者，基本流程是：
1、用数学公式表示关系；
2、对有关规则作出证明；
3、尝试建立和使用不同的数学模型；
4、对得出的数学模型进行调整和加工；
5、综合不同数学模型的共性，形成功能更强的新模型；
6、用已知数学公式和语言尽量准确的描述得到的新概念和新方法；
7、作一般化的处理、推广。
（三）“再创造”原则
弗赖登塔尔说的“再创造”，其核心是数学过程再现。学生“再创造”来学习数学的过程实际上就是一个“做数学”(doing mathematics)的过程，这也是目前数学教育的一个重要观点。
需要特别注意的是，弗赖登塔尔的数学教育理论不是“教育学+ 数学例子”式的论述， 而是抓住数学教育的特征，紧扣数学教育的特殊过程，因而有“数学现实”、“数学化”、“数学反思”、“思辩数学”等诸多特有的概念。他的著作多数根据自己研究数学的体会，以及观察儿童学习数学的经历，思辩性的论述比较多。于是有人批评说弗赖登塔尔的数学教育理论缺乏实践背景和实验数据。其实，他的许多研究成果尚未被大家仔细研究，有兴趣的读者不妨阅读他的著作。
二、波利亚的解题理论
（一）波利亚对数学教育的基本看法
波利亚认为：中学数学教育的根本目的就是“教会年轻人思考”，这种思考既是有目的的思考，产生式的思考，也包括形式的和非形式的思维。数学教育中注重培养学生的兴趣、好奇心、毅力、情感
体验等非智力品质的重要性。
要成为一个好的解题者，如果“头脑不活动起来,是很难学到什么东西的,也肯定学不到更多的东西”。“学东西的最好途径是亲自去发现它”, 最富有成效的学习是学生自己去探索、去“发现”。
教学是一门艺术。教学过程本身应该遵循一些规律性的东西,并尤其强调兴趣对学生学习数学的重要性。
（二）波利亚关于解题的研究
波利亚专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张“怎样解题”表，并以例题表明这张表的实际应用。书中各部分基本上是配合这张表，是对该表的进一步阐述和注释。
《怎样解题》表包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四个阶段。“弄清问题”是认识、并对问题进行表征的过程，应成为成功解决问题的一个必要前提；“拟定计划”是关键环节和核心内容；“实现计划”较为容易，是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑配置；“回顾”是最容易被忽视的阶段，波利亚将其作为解题的必要环节而固定下来。其中，他对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。
他指出寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求解计划。”他还把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和23个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着。
三、 建构主义的数学教育理论
（一）建构主义概述
建构主义(constructivism)有时候也译作结构主义，理论根源可追溯到2500多年前。现代建构主义主要是吸收了杜威的经验主义和皮亚杰的结构主义与发生认识论等思想，并在总结60年代以来的各种教育改革方案的经验基础上演变和发展起来的。
在教育领域中常常谈论的建构主义具有认知理论和方法论的双重身份。
构主义理论关于数学教育的一些基本认识
1、数学知识是什么
·数学知识不是对现实的纯粹客观的反映，任何一种传载知识的符号系统也不是绝对真实的表征，它只不过是人们对客观世界的一种
解释、假设或假说。它不是问题的最终答案，它必将随着人们认识程度的深入而不断地变革、升华和改写，出现新的解释和假设。
·数学知识不可能以实体的形式存在于个体之外，真正的理解只能是由学习者自身基于自己的经验背景而建构起来的，取决于特定情况下的学习活动过程。否则，就不叫理解，而是叫死记硬背或生吞活剥，是被动的复制式的学习。
2、学生如何学习数学
·学习不是由教师把知识简单地传递给学生，而是由学生自己建构知识的过程。学生不是简单被动地接收信息，而是主动地建构知识的意义，这种建构是无法由他人来代替的。
·学习不是被动接收信息刺激，而是主动地建构意义，是根据自己的经验背景,对外部信息进行主动地选择、加工和处理，从而获得自己的意义。外部信息本身没有什么意义，意义是学习者通过新旧知识经验间的反复的、双向的相互作用过程而建构成的。因此，学习不是象行为主义所描述的“刺激—反应”那样。
·学习意义的获得，是每个学习者以自己原有的知识经验为基础，对新信息重新认识和编码，建构自己的理解。在这一过程中，学习者原有的知识经验因为新知识经验的进入而发生调整和改变。
3、教师如何开展课堂教学
与传统教学的三个假设相对应的是，建构主义指导下的课堂教学是基于如下三个基本假设：
·教师必须建立学生理解数学的模式。教师应该建立反映每个同学建构状况的“卷宗”，以便判定每个学生建构能力的强弱；
·教学是师生、生生之间的互动；
·学生自己决定建构是否合理。
根据上述教学目的和假设，一个数学教师在建构主义的课堂上就需要做以下六件事：
·加强学生的自我管理和激励他们为自己的学习负责；
·发展学生的反省思维；
·建立学生建构数学的“卷宗”；
·观察与参与学生尝试、辨认与选择解题途径的活动；
·反思与回顾解题途径；
·明确活动、学习材料的目的。
需要强调的是：对于建构主义学说， 我们应当吸取精华，拒绝一些“极端的”、“唯心”的成分， 以便真正有助于我国的教育改革。
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