logo
搜索
我的图书馆

发文章

发文工具

其他工具

留言交流
搜索
分享

卢卡斯数列

 pphsy 2015-02-16

卢卡斯数列

Antistub.svg
本条目需要扩充。（2013年2月14日） 
请协助改善这篇条目，更进一步的信息可能会在讨论页或扩充请求中找到。请在扩充条目后将此模板移除。
Confusion grey.svg
提示：本条目的主题不是卢卡斯数。

卢卡斯数列是斐波那契数和卢卡斯数的推广，以法国数学家爱德华·卢卡斯命名。

递推关系

给定两个整数P和Q，满足：

  • P^2 - 4Q \neq 0

则第一类卢卡斯数列Un(P,Q)和第二类卢卡斯数列Vn(P,Q)由以下递推关系定义：

  • U_0(P,Q)=0 \,

  • U_1(P,Q)=1 \,

  • U_n(P,Q)=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q) \,\, , \, n>1 \,

以及

  • V_0(P,Q)=2 \,

  • V_1(P,Q)=P \,

  • V_n(P,Q)=P\cdot V_{n-1}(P,Q)-Q\cdot V_{n-2}(P,Q) \,\, , \, n>1 \,

代数关系

卢卡斯数列的特征方程是：

  • x^2 - Px + Q=0 \,

它的判别式是D=P^2 - 4Q，它的根是：

  • a = \frac{P+\sqrt{D}}2\quad , \quad b = \frac{P-\sqrt{D}}2. \,

注意a和b是不同的，因为D\ne 0.

卢卡斯数列的项可以用a和b的项定义如下：

  • U_n(P,Q)= \frac{a^n-b^n}{a-b} = \frac{a^n-b^n}{ \sqrt{D}}

  • V_n(P,Q)=a^n+b^n \,

从中我们可以推出以下关系：

  • a^n = \frac{V_n + U_n \sqrt{D}}{2}

  • b^n = \frac{V_n - U_n \sqrt{D}}{2}

其他关系

不少斐波那契数和卢卡斯数所满足的关系，在卢卡斯数列中也有类似的形式。例如：

一般P=1, Q=-1
U_n = \frac{V_{n+1} - Q V_{n-1}}{P^2-4Q}U_n = \frac{V_{n+1} + V_{n-1}}{5}
V_n = U_{n+1} - Q U_{n-1}V_n = U_{n+1} + U_{n-1}
U_{2n} = U_n V_nU_{2n} = U_n V_n
V_{2n} = V_n^2 - 2Q^nV_{2n} = V_n^2 - 2(-1)^n
U_{n+m} = U_n U_{m+1} - Q U_m U_{n-1}U_{n+m} = U_n U_{m+1} + U_m U_{n-1}
V_{n+m} = V_n V_m - Q^m V_{n-m} \,V_{n+m} = V_n V_m - (-1)^m V_{n-m} \,

特殊名称

对于某些P和Q的值，卢卡斯数列有特殊名称：

应用

参考文献

    本站是提供个人知识管理的网络存储空间，所有内容均由用户发布，不代表本站观点。请注意甄别内容中的联系方式、诱导购买等信息，谨防诈骗。如发现有害或侵权内容，请点击一键举报。
    转藏 分享 献花（0）

    来自： pphsy > 《待分类1》

    举报/认领

    0条评论

    发表

    请遵守用户 评论公约

    类似文章 更多