【转】类斐波那契数列的奇妙性质

1、1、2、3、5、8、13、21、……。这个数列称为斐波那契数列（Fibonacci Sequence）。

它有个奇妙的性质，记F_N为斐波那契数列的第N项，则当N比较大的时候

F_N/F_N+1≈0.618

 

斐波那契数列有两个常见的通项公式（具体的推导过程就忽略了）

1、

F_N=F_N-1+F_N-2（N>2），F₁=1，F₂=2

 

2、

 

这个数列的前两项F₁=1，F₂=1才称为斐波那契数列，如果这个数列的前两项是其他数字（正数），并且还有F_N=F_N-1+F_N-2（N>2）的递推关系，那么这样的数列，我称之为类斐波那契数列，它是否还有当N比较大的时候，F_N/F_N+1≈0.618这个奇妙的性质呢？

 

答案是肯定的，比方说前两项是2和7，这个数列就是

2、7、9、16、25、41、66、……

F₁₆=5024，F₁₇=8129，F₁₆/F₁₇=0.618034199

这不是巧合，你换什么数字（正数）都一样

 

下面就给出该性质的证明

假设数列为F_N=F_N-1+F_N-2（N>2），F₁=A，F₂=B，（A>0，B>0），证明：

 

1、利用特征方程求出该数列的通项公式

∵F_N=F_N-1+F_N-2

∴特征方程为X²=X+1

∴ 

∴该数列的通项公式为

，其中C₁和C₂是常数，可以利用F₁=A，F₂=B求出。不过和本证明没啥太大的关系，没必要求出

 

题外话：想当年在高中的时候，费了九牛二虎之力求出斐波那契数列的通项公式，欢欣雀跃了很久。现在却发现在线性代数里用特征方程很简单的就求出了通项公式，真是悲哀啊。回头看看，有些年的高考数学压轴题，其实用大学里的数学知识去求解是很简单的。然而在高考中，却要使考生费九牛二虎之力，这算不算一种悲哀呢。再回头看看，有些小学奥数班的内容，用高中的知识很容易解决，但是非得把小学生绕得云里雾里，这算不算是一种悲哀呢

 

2、利用通项公式求出比值的极限

∵

∴

得证

 

这就证明了类斐波那契数列也有当N比较大的时候，F_N/F_N+1≈0.618这个奇妙的性质

 

玩个游戏吧，现在你想两个正数，然后相加得到第三个数，第二个数和第三个数相加得到第四个数，第三个数和第四个数相加得到第五个数，以此类推。

然后告诉我第十个数是多少？是280？那我告诉你第十一个数是453。你仅仅告诉我第十个数，没有透露任何其他消息，你没透露第九个数，我是怎么知道第十一个数呢？这不是巧合，而是通过计算而来的，你想明白了么？不明白的话，看看上面的证明，呵呵。