x坐标表示的焦半径公式椭圆（一类）由代入整理得,同理，可以假想点P在y轴右边，且x>0帮助，显然总有符合椭圆定义。公式常见应用：椭圆上
点到焦点最远距离a+c,最近距离a-c椭圆上三点A,B,C，若成等差数列，则到同一个焦点的焦半径也成等差数列。定义直线为椭圆
的左右准线。由焦半径公式，椭圆上任意一点P(x,y)到对应焦点和对应准线的距离之比总等于离心率e.2.双曲线由代入整理得
,由双曲线上点,若点P在右支上，同理，.总有.若点P在左支上，同理，.总有.公示的应用：（1）若双曲线上同一支上
的三点A,B,C，有成等差数列，则它们到同一个焦点的焦半径也成等差数列。（2）定义直线为双曲线的左右准线。由焦半径公式，双曲
线上任意一点P(x,y)到对应焦点和对应准线的距离之比总等于离心率e.3.抛物线公式的应用：抛物线上三点A,B,C，若，
则。圆锥曲线统一定义及方向角表示的焦半径公式统一定义：平面上到定点F与定直线l距离之比等于常数e的点轨迹。若0椭圆。若e=1，则轨迹为抛物线。若e>1，则轨迹为双曲线。2.方向角焦半径公式（1）方向角定义如图：将Fx当始边，FM当终边所成角
定义为点M的方向角。方向角范围将焦准距离统一表示为P。对于椭圆，双曲线(要求记忆)（2）公式：e:离心率，对于椭圆，双曲线
，.（3）公式的应用：焦点弦长公式说明：（1）焦点弦长公式中，方向角以平方形式出现，不影响计算，可将方向角改为焦点弦和对称轴夹
角：.（2）有对称性改为夹角，公式对椭圆，双曲线的左右焦点弦都成立。（3）对于双曲线当所决定的焦点弦与渐近线平行，在实际上不存在
。若较小，使时，此时公式应表为，此时焦点弦的两个端点分在两支上。（4）对于抛物线，∵e=1,.为焦点弦与对称轴夹角
。（5）通径：垂直对称轴的焦点弦称通径，在，令得通径的统一表示2eP.对于椭圆，双曲线:；对于抛物线:2eP=2P.（6
）以上结论容易推广到二类圆锥曲线，比如焦点弦与对称轴夹角，则有.三．相交弦长公式将直线y=Kx+d代入椭圆存在相交弦在
中，由求根公式，在具体问题，只要已知直线斜率和求得的代入后方程可直接写出相交弦长表达式，完全可以略去中间过程。上面的观点对于双
曲线，抛物线和直线产生的相交弦长也完全用类似的方法推导。只是对于双曲线，直线不能与渐近线平行；对于抛物线，直线不能与对称轴平行。焦
点三角形问题对于椭圆和双曲线存在焦点三角形对于焦点三角形问题，应注意两条：一是用定义：椭圆：；双曲线：。二是用正余弦定理：举例
：已知椭圆，点P位其上一点，点P对张角（即∠），试求表示式。解：由余弦定理：移项，消去4：又说明：上面这个例子完全适用双曲
线中的焦点三角形。请你推导右面双曲线的图，若∠，求。其他有关知识点：椭圆中的基本令∠可以通过三角函数对椭圆中的a,b,c,e进
行相互转换。比如：由.椭圆的方程便可以假设为：双曲线中的基本矩形：称为是相互共轭两条双曲线，作,四条直线构成一个矩形，称作是
这两条双曲线的基本矩形（如图）：基本矩形的对角线定是这两条双曲线的渐近线。基本矩形中是的一个基本：OA=a,AD=b,OD=c
.令∠DOA=,则就是其一条渐近线的倾斜角。设斜率K，则可以利用三角函数在双曲线的a,b,c,e,K之间进行过渡。对于，则
是它的基本：.令∠BOD。互余，在共轭双曲线之间e与有关系.双曲线渐近线m>0为一类双曲线，m<0为二类双曲线，不论一类
，二类，令m=0得到的两条直线定为双曲线的渐近线，具体运作时，移项，开方：。这一结果可以使双曲线方程和它的渐近线方程，两者相互反
馈。例：已知双曲线以坐标轴为对称轴，一条渐近线的方程为，且过点（6，4）。试求该双曲线方程。由可得得.有关抛物线的知识点：（1
）四类抛物线：可以简化为两大类：.焦点。（2）焦点弦端点坐标公式如图，为的焦点弦，则有：y练习
题：由焦点弦的一个端点B做准线的垂线，垂足E。证明：A,O,E三点共线。E
上面的性质可以推广到其他类型的抛物线。（3）抛物线上两点连线斜率公式对于一类抛物线上两点关于圆锥曲线的切线椭圆若点为椭圆上一
点，则椭圆过点P的切线方程为同一法证明：由（1）知点为椭圆与直线的公共点，若椭圆与直线还有一个公共点，则（2
）（3）（1）+（2）－2（3）：即，直线与椭圆仅有一个公共点，故为切线。椭圆切线的一般表示点为椭圆上点的一般表示，
代入上面的切点公式得.此为椭圆切线的一般表示。练习题：求椭圆上点与直线距离的最大值。设椭圆切线，令其斜率切点弦直线点为椭圆
外一点，由P可向椭圆引两条切线PA，PB，切点A,B。直线AB称为切点弦直线。容易证明点的切点弦直线方程为。设切点，则切线
PA:，由切线过，则。（1）切线PB:，由切线过，则。（2）由（1），（2），直线过。故为切点弦直线。双曲线（1）
若点为双曲线上一点，则双曲线过点P的切线方程为。（2）若点为双曲线拱形外一点，则由P可引双曲线的两条切线PA，PB，切点A,B
，切点弦直线AB方程为。3.抛物线（1）若点为抛物线上一点，则抛物线在点处的切线方程为.完全类似于椭圆时情形，用同一方
法进行证明。若抛物线方程为，其上一点，则点P处切线方程为。若抛物线方程为，其上一点，则点P处切线方程为（2）若点为抛物线拱形外一
点，则由P可引抛物线的两条切线PA，PB，切点A,B，则切点弦AB所在直线方程为。练习题：（08山东理）
yM为上任意一点，MA,MB为的两条切线。求证：A,M
,B三点横坐标成等差。证明：设，由求导公式得过点A的抛物线切线为,同理点处切线为若这两条直线是由点所引的两切线，
A.这一结果表明直线B过点，点，故直线即为直线AB
xM圆若点为圆上一点，则方程为圆在点P
处的切线。若点为圆上一点，则方程为圆在点P处的切线。若点或上一点，则方程或为切点弦直线。练习题：由P（3,4）向圆引两条切
线PA，PB，切点A,B，求△PAB外接圆方程。解：由P（3,4）向圆所引切点弦直线方程为方程为过A,B两点的圆系方程，代入P
（3,4），，外接圆方程为.2.（09山东）圆在椭圆内部，求t使圆上任意一点处的切线与椭圆交于点A,B两点，都有OA⊥OB。解
：设为圆上一点，此点切线为.取代入椭圆得，得.再将切线写成，代入椭圆得，得.由OA⊥OB知.5.有关切点弦直线的统一结
论：在准线上任一点的切点弦直线必过对应的焦点。椭圆，左准线上一点的切点弦直线代入左焦点,方程成立。对于双曲线，抛物线同样证
明。抛物线准线上一点的切点弦直线，不仅过焦点，且两条切线垂直。可以直接证明：设过点M()的直线代入，得一代入后方程：（请自己写
结果）由这一方程的得一斜率为K的二次关系式，视为K的一元二次方程。由韦达定理.间接证明：先证切点弦直线必过焦点，再由焦点弦端点
坐标公式，证明所引的两条切线必定垂直。y关于圆锥曲线焦点弦一个有关角度的结论：如图，AB为圆锥曲线任意一条焦点弦，点E
CB为准线和对称轴焦点（亦称准点），则定有∠AEF=∠BEF。证明：设点C,D为点B,A在准线上的射影，
由圆锥EFx曲线统一定义：。由.D
A练习题：椭圆，过点P(4,0)做斜率K直线交椭圆于A,B两点，再过P做斜率－K直线交椭圆于C，D两点。
（如图）求证：AB与CD交于定点。y证明：利用上面定理（要先证明引理），用同一法证明：∵点P(4,0)为准点，设椭圆右焦点F。连接DF角椭圆与，则为焦点弦。A∴.又由假设知。∵A与同为椭圆上一点，∴只能是A=.也即AD连线过右焦点F，同理，BC连线过右焦点F。∴AB与CD交于定点F。圆锥曲线知识提要 |
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