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学高数之函数极限秘籍

2015-02-27  昵称iAM5G

    翻开2015年的日历,映入你眼帘的是今天的日期。这个日子本身没有什么特别之处,可对于考研的同学们,却有不一样的定义,它意味着考研时间已过三分之一之多,复习的脚步还要继续马不停蹄,继续前进;它意味着一阶复习已完成三分之二之多,不知道看文章的你可有完成三分之二的复习任务呢?为帮助考研复习的你对前面知识的回顾,现在跨考教育数学教研室佟老师针对第一章函数极限连续内容作如下总结:

  第一点函数。函数的概念和性质这些都是高中已经学过的内容,这里主要是以复习的形式来回顾一下,但要提醒考生注意函数的有界性和复合函数运算,要认真理解,因为函数的有界性是新知识,并且对后面知识点的学习起到铺垫的作用,复合函数运算对后面函数的求导、积分等都一定的关系,所以请同学们认真理解。

  第二点极限。说起极限,大家都会想起什么呢?是不是想起现阶段极限计算有几种,我们来复习一下:

  1)四则运算。在这里要强调一点:什么时候运用四则运算,四则运算要求每个极限都存在,才能有两个函数的极限等于分别求极限之和,否则不能应用四则运算。

  2)等价无穷小替换。等价无穷小替换公式可以将极限的计算化简,使得我们更快的求解结果,但这要注意几个问题,第一,什么情况下可以应用等价无穷小替换公式,并不是任何情况下都可以等价替换的,只有在乘法和除法时可以应用的,这一点请同学们注意,有很多同学不记得这一点,上来就替换,最后算错了。第二,牢记等价无穷小替换公式,掌握它的广义化形式,不要记错公式和没有任何前提的应用广义化形式。

  3)洛必达法则。说起这个法则,大家应该都很熟悉,没事“导”两下,但是这个可不是什么情况都能使用洛必达法则的,它是有条件的,三条,你还记得么?另外,洛必达法则并不是上来一个极限就用的,一般情况下是先利用等价无穷替换公式和四则运算等将极限表达式化简,最后再用洛必达法则,前提要验证是不是满足洛必达法则的三个条件,只要是想利用,就必须验证条件,而且这三个条件在历年考研真题中也考察过,请同学们注意。

  4)重要极限。重要极限两个公式要牢记,也要掌握它们的广义化形式,灵活应用,会计算幂指函数极限的计算处理方法。

  5)单侧极限。单侧极限这里要求在什么情况下要分侧求极限,比如分段函数,指数函数,反正切函数等这都是要分测计算极限的。

  6)夹逼准则。一阶复习只需要掌握夹逼准则的内容,会简单的应用。

  7)单调有界收敛定理。这个定理直接就说明了定理的内容,多是应用对数列极限存在的证明中,数一的部分题目中也会应用到。这里要掌握数列极限存在的证明思路:在草稿纸上,假设数列极限存在为 ,对 两边求极限,得到 的具体值,其次,通过 与数列的前几项比较,判断数列是有上界还是下界,再根据定理,判断数列是单增还是单减的,最后,得出结论,并且在答题纸上写出做题步骤。

  第三点连续。根据连续的定义可以知道连续的本质就是极限的计算,所以极限没有问题,连续也就不会有太大的问题,要注意连续的定义、充要条件和间断点的定义、分类。给出一个函数,找出间断点并判断其类型,只需要先找“可疑点”(分段函数的分界点和没有意义的点),计算每一可疑点的左右极限,按照间断点的分类对号入座即可。

  最后提醒同学们,对于考研数学特别是高数,很多同学一般抱有两种态度。一是恐惧数学,认为自己数学考高分没啥希望,只要不扯后腿就行。二是轻视数学,认为自己数学基础好,随便看看就能得高分。这两种心态都是不正确的,考研数学要想得高分只有一条路,就是踏踏实实进行复习,不抛弃,不放弃。

  现在我们有的学生比较浮躁,数学考研复习不重视基础,走马观花的把教材浏览一遍,就开始做历年真题,钻研高难度试题。其实,分析一下考研数学的历年真题大家就会发现占分值最多的不是那些高难度的试题,恰恰是一些考察基础知识的题目。所以,建议同学们一定要有一个正确的心态对待考研数学。


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