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不定方程是指未知数的个数多于方程个数,且未知数受到某些限制(如要求是有理数、整数或正整数等等)的方程或方程组。要想求解就不能用中学时候的方法了,需要用一些比较巧妙的办法。
1、利用奇偶性求解 自然数分为奇数和偶数,而加和、做差和乘积也存在一定规律: 奇数+奇数=偶数;偶数+偶数=偶数;奇数+偶数=奇数; 奇数×奇数=奇数;偶数×偶数=偶数;奇数×偶数=偶数。 例题1:x,y为自然数,2x+3y=22,求y=? A.1 B.2 C.3 D.5 【答案】B。 解析:22是偶数,2x是偶数,偶数加偶数才能得到偶数,所以3y一定是偶数,又因为3是奇数,所以只能是y为偶数,答案选B。 2、利用尾数法求解 适用环境:一个未知数系数尾数是5或0。 例题2:现有139个同样大小的苹果往大、小两个袋子中装,已知大袋每袋装17个苹果,小袋每袋装10个苹果。每个袋子都必须装满,则需要大袋子的个数是? A.5B.6C.7D.8 【答案】C。 解析:设需要大袋子x个,小袋子y个,得到17x+10y=139,由于小袋子每袋装10个苹果,所以无论有多少个小袋子,所能装的苹果数的尾数永远为0,即10y的尾数为0;而大袋每袋装17个苹果,17x的尾数为9,所以x的尾数为7,选C。 3、利用整除特性求解 适用环境:等式右边的常数和某个未知数系数能被同一个数整除(1除外),即有除了1以外的公约数。 例3:x,y为自然数,3x+4y=129,求y=? A.11 B.12 C.13 D.14 【答案】B。 解析:发现129和x的系数3都能被3整除,所以4y也必定被3整除,而4不能被3整除,所以只能y被3整除,答案选B。
1、利用奇偶性求解
自然数分为奇数和偶数,而加和、做差和乘积也存在一定规律:
奇数+奇数=偶数;偶数+偶数=偶数;奇数+偶数=奇数;
奇数×奇数=奇数;偶数×偶数=偶数;奇数×偶数=偶数。
例题1:x,y为自然数,2x+3y=22,求y=?
A.1 B.2 C.3 D.5
【答案】B。
解析:22是偶数,2x是偶数,偶数加偶数才能得到偶数,所以3y一定是偶数,又因为3是奇数,所以只能是y为偶数,答案选B。
2、利用尾数法求解
适用环境:一个未知数系数尾数是5或0。
例题2:现有139个同样大小的苹果往大、小两个袋子中装,已知大袋每袋装17个苹果,小袋每袋装10个苹果。每个袋子都必须装满,则需要大袋子的个数是?
A.5B.6C.7D.8
【答案】C。
解析:设需要大袋子x个,小袋子y个,得到17x+10y=139,由于小袋子每袋装10个苹果,所以无论有多少个小袋子,所能装的苹果数的尾数永远为0,即10y的尾数为0;而大袋每袋装17个苹果,17x的尾数为9,所以x的尾数为7,选C。
3、利用整除特性求解
适用环境:等式右边的常数和某个未知数系数能被同一个数整除(1除外),即有除了1以外的公约数。
例3:x,y为自然数,3x+4y=129,求y=?
A.11 B.12 C.13 D.14
解析:发现129和x的系数3都能被3整除,所以4y也必定被3整除,而4不能被3整除,所以只能y被3整除,答案选B。
1、超市将99个苹果装进两种包装盒,大包装盒每个装12个苹果,小包装盒每个装5个苹果,共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个? A.3B.4C.7D.13 【答案】D。 解析:此题条件比较单一,没有直接可以利用的数量关系。因此,要优先考虑方程法,利用方程来理清数量间的特殊关系。 设大包装盒有x个,小包装盒有y个,则12x+5y=99,其中x、y之和为十多个。对于这个不定方程,我们注意到:y的系数为5,5y的尾数只能是5、0,那么对应的12x的尾数只能为4或者9,而12x为偶数,故尾数只能为4。此时 ,只有当 x=2或者x =7时才能满足这一条件。 当x=2时 ,y=15 ,x+y=17 ,正好满足条件,所以y-x=13; 当x=7时 ,y=3 ,x+y=10 ,不符合条件。 综上所述,只能选择D。 2、某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师,培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带领,刚好能够分完,且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少,培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师,但每名教师所带的学生数量不变,那么目前培训中心还剩下学员多少人? A. 36B. 37C. 39D. 41 【答案】D。 解析:此题初看无处入手,条件仅仅有每位教师所带学生数量为质数,条件较少,无法直接利用数量关系来推断,需利用方程法。 设每位钢琴教师带x名学生,每位拉丁舞教师带y名学生,则x、y为质数,且5x+6y=76。对于这个不定方程,需要从整除性、奇偶性或质合性来解题。 很明显,6y是偶数,76是偶数,则5x为偶数,x为偶数。然而x又为质数,根据“2是唯一的偶质数”可知,x=2,代入原式则y=11。 现有4名钢琴教师和3名拉丁舞教师,则剩下学员4×2+3×11=41人。因此选择D。
1、超市将99个苹果装进两种包装盒,大包装盒每个装12个苹果,小包装盒每个装5个苹果,共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个?
A.3B.4C.7D.13
【答案】D。
解析:此题条件比较单一,没有直接可以利用的数量关系。因此,要优先考虑方程法,利用方程来理清数量间的特殊关系。
设大包装盒有x个,小包装盒有y个,则12x+5y=99,其中x、y之和为十多个。对于这个不定方程,我们注意到:y的系数为5,5y的尾数只能是5、0,那么对应的12x的尾数只能为4或者9,而12x为偶数,故尾数只能为4。此时 ,只有当 x=2或者x =7时才能满足这一条件。
当x=2时 ,y=15 ,x+y=17 ,正好满足条件,所以y-x=13;
当x=7时 ,y=3 ,x+y=10 ,不符合条件。
综上所述,只能选择D。
2、某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师,培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带领,刚好能够分完,且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少,培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师,但每名教师所带的学生数量不变,那么目前培训中心还剩下学员多少人?
A. 36B. 37C. 39D. 41
解析:此题初看无处入手,条件仅仅有每位教师所带学生数量为质数,条件较少,无法直接利用数量关系来推断,需利用方程法。
设每位钢琴教师带x名学生,每位拉丁舞教师带y名学生,则x、y为质数,且5x+6y=76。对于这个不定方程,需要从整除性、奇偶性或质合性来解题。
很明显,6y是偶数,76是偶数,则5x为偶数,x为偶数。然而x又为质数,根据“2是唯一的偶质数”可知,x=2,代入原式则y=11。
现有4名钢琴教师和3名拉丁舞教师,则剩下学员4×2+3×11=41人。因此选择D。
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