6天通吃树结构－伸展树

豆芽爱尚阅 2015-03-18

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我们知道AVL树为了保持严格的平衡，所以在数据插入上会呈现过多的旋转，影响了插入和删除的性能，此时AVL的一个变种

伸展树（Splay）就应运而生了，我们知道万事万物都遵循一个“八二原则“，也就是说80%的人只会用到20%的数据，比如说我们

的“QQ输入法”，平常打的字也就那么多，或许还没有20%呢。

一：伸展树

1：思想

伸展树的原理就是这样的一个”八二原则”，比如我要查询树中的“节点7”，如果我们是AVL的思路，每次都查询“节点7”，那么当这

棵树中的节点越来越多的情况下就会呈现下旋，所以复杂度只会递增，伸展树的想法就是在第一次查询时树里面会经过一阵痉挛把

“节点7”顶成“根节点”，操作类似AVL的双旋转，比如下图:

当我们再次查询同样的”数字7“时，直接在根节点处O（1）取出，当然这算是一个最理想的情况，有时痉挛过度，会出现糟糕的”链表“，

也就退化了到O(N)，所以伸展树讲究的是”摊还时间“，意思就是说在”连续的一系列操作中的平均时间“，当然可以保证是log（N）。

2：伸展方式

不知道大家可否记得，在AVL中的旋转要分4个情况，同样伸展树中的伸展需要考虑6种情况，当然不考虑镜像的话也就是3种情况，

从树的伸展方向上来说有“自下而上”和“自上而下"的两种方式，考虑到代码实现简洁，我还是说下后者。

<1> 自上而下的伸展

这种伸展方式会把树切成三份，L树，M树，R树，考虑的情况有：单旋转，“一字型”旋转，“之字形”旋转。

①：单旋转

从图中我们可以看到，要将“节点2”插入到根上，需要将接近于“节点2”的数插入到根上，也就是这里的“节点7”，首先树被分成了3份，

初始情况，L和R树是“空节点”，M是整棵树，现在需要我们一步一步拆分，当我们将“节点2”试插入到“节点7”的左孩子时，发现“节点7”

就是父节点，满足“单旋转”情况，然后我们将整棵树放到“R树”中的left节点上，M此时是一个逻辑上的空节点，然后我们将R树追加到

M树中。L树追加到M的左子树中，最后我们将“节点2”插入到根节点上。说这么多有点拗口，伸展树比较难懂，需要大家仔细品味一下。

②：一字型

一字型旋转方式与我们AVL中的“单旋转”类似，首先同样我们切成了三份，当我们"预插入20时”，发现20的“父节点”是根的右孩子，

而我们要插入的数字又在父节点的右边，此时满足”一字型“旋转，我们将7，10两个节点按照”右右情况”旋转，旋转后“节点10"的

左孩子放入到L树的right节点，"节点10”作为中间树M，最后将20插入根节点。

③：之字形

之字形有点类似AVL中的“双旋转”，不过人家采取的策略是不一样的，当我们试插入“节点9”，同样发现“父节点”是根的右儿子，并且

“节点9”要插入到父节点的内侧，根据规则，需要将“父节点10”作为M树中的根节点，“节点7”作为L树中的right节点，然后M拼接L和R，

最后将节点9插入到根上。

3：基本操作

①：节点定义

我们还是采用普通二叉树中的节点定义，也就没有了AVL那么烦人的高度信息。

 1     public class BinaryNode<T>
 2     {
 3         // Constructors
 4         public BinaryNode(T theElement) : this(theElement, null, null) { }
 5 
 6         public BinaryNode(T theElement, BinaryNode<T> lt, BinaryNode<T> rt)
 7         {
 8             element = theElement;
 9             left = lt;
10             right = rt;
11         }
12 
13         public T element;
14 
15         public BinaryNode<T> left;
16 
17         public BinaryNode<T> right;
18     }

②：伸展

这里为了编写代码方便，我采用的是逻辑nullNode节点，具体伸展逻辑大家可以看上面的图。

 1         #region 伸展
 2         /// <summary>
 3         /// 伸展
 4         /// </summary>
 5         /// <param name="Key"></param>
 6         /// <param name="tree"></param>
 7         /// <returns></returns>
 8         public BinaryNode<T> Splay(T Key, BinaryNode<T> tree)
 9         {
10             BinaryNode<T> leftTreeMax, rightTreeMin;
11 
12             header.left = header.right = nullNode;
13 
14             leftTreeMax = rightTreeMin = header;
15 
16             nullNode.element = Key;
17 
18             while (true)
19             {
20                 int compareResult = Key.CompareTo(tree.element);
21 
22                 if (compareResult < 0)
23                 {
24                     //如果成立，说明是”一字型“旋转
25                     if (Key.CompareTo(tree.left.element) < 0)
26                         tree = rotateWithLeftChild(tree);
27 
28                     if (tree.left == nullNode)
29                         break;
30 
31                     //动态的将中间树的”当前节点“追加到 R 树中，同时备份在header中
32                     rightTreeMin.left = tree;
33 
34                     rightTreeMin = tree;
35 
36                     tree = tree.left;
37                 }
38                 else if (compareResult > 0)
39                 {
40                     //如果成立，说明是”一字型“旋转
41                     if (Key.CompareTo(tree.right.element) > 0)
42                         tree = rotateWithRightChild(tree);
43 
44                     if (tree.right == nullNode)
45                         break;
46 
47                     //动态的将中间树的”当前节点“追加到 L 树中，同时备份在header中
48                     leftTreeMax.right = tree;
49 
50                     leftTreeMax = tree;
51 
52                     tree = tree.right;
53                 }
54                 else
55                 {
56                     break;
57                 }
58             }
59 
60             /* 剥到最后一层，来最后一次切分 */
61             //把中间树的左孩子给“左树”
62             leftTreeMax.right = tree.left;
63 
64             //把中间树的右孩子给“右树”
65             rightTreeMin.left = tree.right;
66 
67             /* 合并操作 */
68             //将头节点的左树作为中间树的左孩子
69             tree.left = header.right;
70 
71             //将头结点的右树作为中间树的右孩子
72             tree.right = header.left;
73 
74             return tree;
75         }
76         #endregion

③：插入

插入操作关键在于我们要找到接近于”要插入点“的节点，然后顶成“根节点”，也就是上面三分图中的最后一分。

 1 #region 插入
 2         /// <summary>
 3         /// 插入
 4         /// </summary>
 5         /// <param name="Key"></param>
 6         public void Insert(T Key)
 7         {
 8             if (newNode == null)
 9                 newNode = new BinaryNode<T>(default(T));
10 
11             newNode.element = Key;
12 
13             if (root == nullNode)
14             {
15                 newNode.left = newNode.right = nullNode;
16 
17                 root = newNode;
18             }
19             else
20             {
21                 root = Splay(Key, root);
22 
23                 int compareResult = Key.CompareTo(root.element);
24 
25                 if (compareResult < 0)
26                 {
27                     newNode.left = root.left;
28 
29                     newNode.right = root;
30 
31                     root.left = nullNode;
32 
33                     root = newNode;
34                 }
35                 else
36                     if (compareResult > 0)
37                     {
38                         newNode.right = root.right;
39 
40                         newNode.left = root;
41 
42                         root.right = nullNode;
43 
44                         root = newNode;
45                     }
46                     else
47                         return;
48             }
49 
50             newNode = null;
51         }
52         #endregion

④：删除

删除操作也要将节点伸展到根上，然后进行删除，逻辑很简单。

 1  #region 删除
 2         /// <summary>
 3         /// 删除
 4         /// </summary>
 5         /// <param name="Key"></param>
 6         public void Remove(T Key)
 7         {
 8             BinaryNode<T> newTree;
 9 
10             //将删除结点顶到根节点
11             root = Splay(Key, root);
12 
13             //不等于说明没有找到
14             if (root.element.CompareTo(Key) != 0)
15                 return;
16 
17             //如果左边为空，则直接用root的右孩子接上去
18             if (root.left == nullNode)
19             {
20                 newTree = root.right;
21             }
22             else
23             {
24                 newTree = root.left;
25 
26                 newTree = Splay(Key, newTree);
27 
28                 newTree.right = root.right;
29             }
30             root = newTree;
31         }
32         #endregion