信号与系统（6）：离散Fourier变换（DFT）和z变换

        离散时间的Fourier变换(DTFT)是对离散信号的Fourier变换，其频谱是连续的。但实际上，我们在处理数字信号的时候，其频谱也通常需要离散。例如，我们做离散信号x(n)的傅里叶变换，你怎么用计算机来实现？公式是：

        

        你要用计算机实现，必须将连续的频率也离散吧，需要选择一个离散的频率间隔w0：

       

         如果用Matlab编程序，应该是：

         w0=0.5*2*pi;      %设置离散频率间隔

         N=500；   %频率从0到250Hz；

         for k=1:N

               tp=0;

               for n=1: length(x)

                         tp=tp+x(n)*exp(-j*n*k*Ts*w0);

                end

                X(k)=tp;

          end

       现在的问题是，频率离散的间隔w0取多少合适啊？取小点，保险而且精确，但是计算量太大了。取大了，会不会将其频谱变形导致其失真啊？也就是说，频率离散的时候，离散的间隔最大是多少其频谱的信息不丢失？是不是听着比较耳熟啊，没错，这是频率采样定理。也就是说频率采样和时间采样一样都是有讲究的。时间采样定理说，信号必须带限于[-pi. pi]，那么频率采样定理呢？

       我们现在需要把离散的信号变换为离散的频谱，怎么离散，怎么办？让我们来思考一下：离散信号的频谱是连续的，连续信号的频谱是离散的，那么离散且连续的频谱应该是什么样子的？例如有这样的一个离散的周期信号，其最小正周期为N，如图所示：

      

        这是一个周期函数，其周期为N*Ts（Ts为采样频率），那么其频谱应该是离散的，即频谱是基频的整数倍。基频w0=2*pi/(N*Ts)，在证书次谐波处，其频谱就是周期函数的傅里叶系数：

       

        通过上式我们可以看出，当频率离散的时候，等价于时域内信号的周期延拓。因此，同样道理，要想频率离散后信号不失真，要求信号必须是时限的。如果信号时限于[0,N]，那么离散频率的间隔必须小于等于2*pi/N，这称为频率采样定理。上式又称为离散的Fourier变换（DFT）。

        由此可见，离散傅里叶变换（DFT）实际上是时限信号的周期延拓的频谱。可是大家想想，这里面是不是有什么不对头？时域采样的时候，要求信号是带限的，可是频域采样的时候又要求信号是时限的，有什么信号既是时限又是带限的吗？没有啊，测不准原理说，世界上没那么多好事，时间窗和频率窗的乘积不小于1/2。这又怎么解释呢？实际上，我们在离散过程中，不可能不造成损失，所谓没有信息的损失不过是一种近似而已。更深层次的理解可以参考I.Daubechies 著的《ten lectures on wavelets》。

        大家观察离散傅里叶变换，这是一个二维的叠加，n、k两个整数变量。叠加的内容是x(n)和exp(-j2*pi*k *n/N)。随着k和n的变化，实际上这个因子在不断地重复。FFT就是观察到这个特点后构造的DFT的快速算法。

        当然无论是DTFT还是DFT，都对信号有较高的要求，即要求离散的信号是绝对值可和的：

       

        当然大多数工程中的实际信号并不满足这个条件，为了拓展离散傅里叶变换的范围，借鉴Laplace变换，设计了Z变换：将信号加上一个衰减因子，然后再进行Fourier变换

       

        同样道理，不仅拓展了Fourier变换的范围，同时，可以根据令Z变换有意义的r的取值范围（收敛域）来判断系统的稳定性。即如果收敛域的边界r>0, 即1>|Z|>exp(-r)，即收敛域包含单位圆，则说明，r必须为正，即必须给信号加上收敛因子后，傅里叶变换才有意义，这说明信号本身是发散的。但如果r边界为负，即收敛域|z|>exp(-r)>1，则说明把原信号放大了还收敛，说明信号本身就是收敛的。

       由此可见，联系信号的fourier变换、laplace变换，实际上都是一回事，他们的目的都是为了能够方便的分析和表征系统，只不过，Laplace变换拓展了fourier变换的范围，并增加了一个功能，判断系统稳定性。离散系统和连续系统之间的纽带就是香农采样定理，不难证明离散系统的频谱是其采样的连续系统频谱的周期延拓，Z变换是为了拓展离散傅里叶变换的范围，并能判断系统的稳定性。

        有了上述这些变换，我们就可以用系统的冲击响应的Laplace变换来表征一个系统，这就是传说中的传递函数。当然，我们也可以用离散系统的单位脉冲响应的z变换表征一个离散的系统。一个线性的系统其传递函数或z变换可以表示为有理多项式分式的形式，其零点和极点对于系统的特征具有重要意义，对于我们分析系统、设计系统也具有重要指导作用。那么线性系统的零极点又具有什么特征呢？请看下一讲。