信号与系统（3）：连续系统和离散系统的纽带，香农采样定理

        世界上不存在绝对的离散系统，正如辩证唯物主义里面说的，连续是绝对的，离散是相对的（纯属屁话，跟没说一样）。离散的信号通常是对连续信号的采样，这里就不可避免的产生了一些问题：采样后的数字信号能够完全表征原来的连续信号吗（系统亦如此，只不过表达系统的冲击响应跟信号没有区别）？或者说，在采样的过程中信息有没有丢失？要想信息不丢失，需要什么条件？在设计离散的数字系统时跟相对应的连续系统之间是什么关系？如果采样的信号没有丢失信息，如何根据采样的离散信号恢复原来的信号？

        所有这些问题，都由Shannon采样定理给出了答案。我们先从离散时间信号的傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform, DTFT）。离散信号的傅里叶变换不是随便定义的，它的定义与连续信号的傅里叶变换有着密切的联系，实际上，离散Fourier变换（DTFT）是从连续傅里叶变换中推导出来的。

        1. 离散时间的Fourier变换

       一个离散的数字信号，可以放在时间轴上，用一组位移的的冲击函数的叠加来表示，构成离散信号的连续时间表示。听起来，很绕口。其实就是用一个函数来表示这个离散的数字信号，如下图所示：

       

        虚线表示的是被采样的连续信号，用x(t)表示，实线为采样后的离散信号，用x1(t)表示。数字信号{x(nTs)}为一系列的采样值。很显然，这组离散的数字信号可以看作是若干个“位移”的冲击函数与该位置数字信号相乘后的叠加：

       

        上式实际上就是用连续时间来表示离散的信号，因此又称x1(t)为连续时间的离散信号（Continuous Time Discrete signal）。然后代入连续傅里叶变换定义，就可以得到离散时间的傅里叶变换（DTFT）的定义：

       

        通常对于一组数字信号，我们可以当它的采样间隔是1，这成为归一化的频率。如果采样频率不是1，只需将w换成wTs即可，即令w'=wTs。

        因此，离散信号{x(n)}的DTFT定义为：

       

        由此可见，离散系统的傅里叶变换是从连续系统的傅里叶变换推导而来的。

        那么连续系统和离散系统之间到底是什么关系？

        2. 连续信号和离散信号在频域内关系

       利用时域内的卷积等价于频域内的相乘，频域内的卷积等价于时域内的相乘这个特点，很容易证明出，离散信号的频谱是被采样的连续信号频谱的“周期延拓”。这个证明很简单，离散信号在时域内又可以看做是连续信号和一系列间隔为Ts的冲击序列的乘积。

        根据时域内相乘等价于频域内卷积的特点，很容易证明出离散信号与连续信号的关系为：

       

        其中，Ns=1/Ts为采样频率。离散信号的频谱与连续信号的频谱如下图所示：

       

        图中，横坐标为角频率，数值乘以pi（归一化采样频率，如果不归一化，则在-1*pi和1*pi处则为Ns*pi）。实线是连续信号的频谱，而虚线（向两边无限周期延拓）为离散信号的频谱。可见，如果连续信号的带宽超过了[-pi, pi]（归一化采样频率，如果不归一化为[-Ns*pi, Ns*pi]，后面我不再罗嗦了），变为数字信号后，以2*pi为周期延拓的时候，产生了频率混叠，把原来的连续信号在重叠的频率处的信息给丢失了。因此，为了保证信息不丢失，条件是信号带限于[-Ns*pi,Ns*pi]。因此信号的最高频率fH<="" p="">

       我们通常只关注信号采样频率大于2倍的最高频率的事实，而忽略了另一个更有用的信息：离散信号的频谱是其采样的连续信号的周期延拓。这个信息对于我们构造数字滤波器有至关重要的意义。因为我们构造数字滤波器通常先构造满足要求的连续滤波器，然后将其频谱周期延拓，就可以得到离散滤波器的频率响应。可是如何从离散滤波器的频谱得到滤波器的单位脉冲响应呢？这需要用到Poission求和公式。

        Poission求和公式实际上是傅里叶级数的另外一种形式。傅里叶级数是把周期的时域信号转化为若干正弦函数的叠加：

       

        比较一下离散信号的傅里叶变换，可见傅里叶级数和DTFT是互相对偶的关系。时域内的周期对应于频域内的离散，而时域内的离散对应于频域的周期。所以，当已知一个连续系统的冲击响应频谱时（通常是按照我们的要求设计的），将其周期延拓就得到了相应的离散系统的频谱。然后，转化为傅里叶系数即为其单位脉冲响应（俗称滤波器系数）。Poission求和公式：

       

        可以用一个Hilbert滤波器的例子。Hilbert变换，其实就是把信号位移了90度，幅频特性不变。其连续系统的响应：

               

        大家思考一下，为什么在频率的负半轴为-j？ 其实道理很简单，在时域内是实信号，频域内相频特性必然是斜对称的。要想得到数字滤波器，剩下的问题大家自己就能搞定了，只需将其看作是周期函数的一个周期，代入到Poission求和公式中就能得到其滤波器的响应了。但是，没有那么简单，仔细想想，其滤波器的长度是有讲究的。为什么？同学们自己思考一下。

       说到这里，香农定理没有结束，香农定理作为伟大的定理，香农作为信息论的创始人，不可能那么肤浅。还有一个问题没搞定：如何回复原来的信号？回复原信号的方法是唯一的吗？由此，我们推广了采样定理，将信号分析推进到了函数空间的高度，多分辨分析就源于此，这竟然是通往小波分析的路径之一（通往小波分析的路径还有，从Gabor变换到小波；还有从Fourier级数到小波级数。殊途同归啊）。请听下回。