傅里叶级数的几何意义 – 巧妙记忆公式的方法

 

 

        最近我在重新学习偏微分方程的时候又遇到“傅里叶级数”了，我曾经觉得这个公式非常繁琐，用到的时候就去翻书查看，没法自己信心满满的写出来。现在我找到诀窍了，可以不需要任何参考书，给我一个周期函数，我可以马上写出它的傅里叶级数。诀窍就在于从“几何”的角度来看待傅里叶级数。当我们把一个周期函数表达成傅里叶级数时，其实我们只是在做一个动作，那就是把函数“投影”到一系列由三角函数构成的“坐标轴”上。

 

1. 什么是投影

    我们先来复习什么是投影吧。考虑一个简单的二维平面的例子。如下图所示，给定两个向量 u 和 v ，我们从 u 的末端出发作到 v 所在直线的垂线，得到一个跟 v 同向的新向量 p 。这个过程就称作 u 到 v 所在直线的投影，得到的新向量 p 就是 u 沿 v 方向的分量。图中的系数 c 是 p 跟 v 的比例，也就是 u 在 v 轴上的“坐标”。我们可以用尺规作图来完成投影这个动作，问题是：如果给定的向量 u 和 v 都是代数形式的，我们怎么用代数的方法求 c ？

     

 

    我相信只要有基本线性代数知识的同学都可以轻松解决这个问题。我们知道 u-cv 这个向量是“正交”于 v 的，用数学语言表达就是 (u-cv)T v = 0。我们马上就可以得到 c 的表达式如下。

 

（1）

 

 

2. 向量在一组正交基上的展开

    在讲傅里叶级数之前，我们还需引进线性代数中“正交基”的概念。如果这个概念你觉得陌生，就把它想成是互相垂直的“坐标轴”。回到刚才这个例子，如下图所示，现在我们引进一组正交基 {v1，v2}，那么 u 可以展开成以下形式

 （2）

 

    从图上来看，(2) 式其实说的是我们可以把 u“投影”到 v1 和 v2 这两个坐标轴上，c1 和 c2 就是 u 的新“坐标”。问题是：我们怎么求 c1 和 c2 呢？你会说，我们可以 (2) 式两边同时乘以 v1 或 v2，然后利用它们正交的性质来求 c1，c2。没错，数学上是这么做的。但是利用之前关于投影的讨论，我们可以直接得出答案，直接利用 (1) 式就可以得到如下的表达式：

 （3）

 

3. 傅里叶级数的几何意义

    现在我们已经明白一件事情了：如果想把一个向量在一组正交基上展开，也就是找到这个向量沿每条新“坐标轴”的“坐标”，那么我们只要把它分别投影到每条坐标轴上就好了，也就是把 (1) 式中的 v 换成新坐标轴就好了。说了半天，这些东西跟傅里叶级数有什么关系？我们先回忆一下傅里叶级数的表达式。给定一个周期是 2l 的周期函数 f(x),它的傅里叶级数为：

 （4）

其中系数表达式如下：

 （5）

 

    我不喜欢记忆这些公式，有办法可以更好的理解他们来帮助记忆吗？答案是有的，那就是从几何的角度来看。傅里叶告诉我们，f(x) 可以用下面这组由无限多个三角函数（包括常数）组成的“正交基”来展开，

 （6）

 

    这里我们需要在广义上来理解“正交”。我们说两个向量，或两个函数之间是正交的，意思是它们的“内积”（inner product）为零。 “内积”在有限维的“向量空间”中的形式为“点积”(dot product)。在无限维的“函数空间”中，对于定义在区间 [a,b] 上的两个实函数 u(x),v(x) 来说，它们的内积定义为

 （7）

 

    正交基 (6) 中的每个函数都可以看做是一条独立的坐标轴，从几何角度来看，傅里叶级数展开其实只是在做一个动作，那就是把函数“投影”到一系列由三角函数构成的“坐标轴”上。上面 (5) 式中的系数则是函数在每条坐标轴上的坐标。

    现在的问题是我们不能直接用 (1) 式来求这些坐标了，因为它只适用于有限维的向量空间。在无限维的函数空间，我们需要把 (1) 式中分子分母的点积分别替换成 (7) 式。那么 (5) 式中的所有系数马上可以轻松的写出：

 （8）

 

   值得注意的是，(8) 式中所有积分可以在任意一个长度是2l的区间内进行。也就是说，不管是 [-l,l] 还是 [0,2l]，答案都是一样的。

   有同学会说，老师上课教的是对 (4) 式两边乘以1，cos(nπx/l)，或 sin(nπx/l), 然后积分，利用这些函数之间的正交性来得到 (5) 式。这些当然是对的，而且我们应该学会这种推导来加深对正交性的理解。但是在应用上，我更喜欢用几何的角度来看傅里叶级数，把函数看成是无限维的向量，把傅里叶级数跟几何中极其简单的“投影”的概念联系起来，这样学习新知识就变得简单了，而且可以毫无障碍的把公式记住，甚至一辈子都难忘。

   熟悉傅里叶级数的同学会问，那么对于复数形式的傅里叶级数，我们是否也能用几何投影的观点来看，然后写出级数中的所有系数呢？答案是肯定的。给定一个周期是 2l 的周期函数 f(x),它的傅里叶级数的复数形式为：

 （9）

其中系数表达式如下：

 （10）

 

这意味着我们用了下面这组“正交基”来展开原函数，

 （11）

 

   我们之前提到了两个函数正交，意思是它们的内积为零。对于定义在区间 [a,b] 上的两个复函数 u(x),v(x) 来说，它们的内积定义为

 （12）

其中v加上划线意思是它的共轭。(10) 中指数函数里的负号就是因为取了共轭的关系。

   现在我们同样可以把原函数分别投影到 (11) 中的每个函数所在的“坐标轴”来求出对应的“坐标”，也就是系数cn：

 （13）

 

   这里我想强调一下这个“正交基”的重要性。在一个有限维的向量空间，给定任何向量都可以被一组基展开，它可以不必是正交的，这个时候展开项中的系数（也就是沿这组基中任一坐标轴的坐标）需要求解一个线性方程组来得到。只有当这组基是正交的时候，这些系数才能从给定向量往各坐标轴上投影得出，也就是 (1) 式。同样的，在无限维的函数空间，我们可以把一个函数在某个“基”中展开，但是只有在“正交基”中，展开项中的系数才能看成是函数投影的结果。

   最后做一个总结，不管是向量 u 还是函数 u，他们都可以被一组正交基{vn：n=1,...,N}（有限个向量）或{vn：n=1,...,∞}(无限个函数）展开如下:

 （14）

   上式中的 cn 代表 u 在 vn 所在的坐标轴上投影产生的坐标。而 (14) 式中内积的定义视

情况而定，在有限维的向量空间（实数域），向量 u 和 v 的内积是点积 uTv；在无限维的函数空间，函数 u(x) 和 v(x) 的内积的通用形式是 (12)，如果它们是实函数，那么 (12) 就可以简化成 (7) 的形式。

   我们可以看到，用几何投影的观点来看待傅里叶级数，理解变得更加容易，因为我相信所有人都能理解投影的概念；同时，傅里叶级数所有的公式都可以轻松的记住，想要遗忘都难了。我们在学习不同学科的时候可以经常的去做联系，尝试着用不同的角度去看待同一个问题，我相信这么做是很有好处的。

 

 

 

陈宇航

写于2013年3月23号

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后记（写于2013年3月28号）：

这篇文章的核心思想其实是来自MIT的教授 Gilbert Strang 写的《Introduction to Linear Algebra》这本书（第三版）。我在好几个月前重新学了一遍线性代数，就是看 MIT的开放课程，授课老师是 Gilbert，他用的书就是上面提到这本。我从没有如此享受过数学课。以前学的数学课似乎老师更注重数学运算和推导，而不是讨论数学背后的本质。Gilbert 的讲课方式讲究原理，也就是 "why”，而不是 "how”，同时也有非常有趣的应用。有兴趣的同学可以去听听这门课。对于这篇文章提到的从几何观点来看傅里叶级数的思想，相关内容可以在书本最后关于傅里叶级数的讨论中找到。值得注意的是，Gilbert 默认函数周期是2PI，而且没有涉及复数形式。这篇文章主要是把几何投影与傅里叶级数的概念整合在了一起，考虑了一般的周期函数，同时涉及了傅里叶级数的复数形式，希望能对一些朋友有所帮助。