△是标准的改变量记号,使用最广。 △x就是说新的x减去旧的x。 d是微分符号,表示了一个函数的局部线性近似。 对于自变量或恒等函数而言,d与△一样; 对于函数而言,d与△在自变量趋于0时是等价无穷小,一般未必相等。
如图所示,x从第一根灰线变化到第二根灰线,红线的长度就是dx=△x,蓝线的长度则是△y,绿线的长度是dy.如图所示,x从第一根灰线变化到第二根灰线,红线的长度就是dx=△x,蓝线的长度则是△y,绿线的长度是dy. 如果把第一根灰线的x位置记作x0,那么dy又可以看作x0和△x的函数,并且对△x是线性的。 δ通常用于变分,这个涉及泛函。 泛函是函数的一种推广,是以函数为自变量(不是以函数的值为自变量,而是以函数本身为自变量,比如一个函数在某个区间上的积分)的映射J=J[y]。 函数本身也可以当作特别的泛函。 泛函的变分类似于函数的微分,具体地说: 对于自变量(注意这个自变量本身就是函数)或恒等泛函而言,它的变分就是它的改变。 但是注意,这时的自变量本身就是函数,我们不是说函数的值发生改变,而是说整个函数本身发生改变,比如从sin变成tan之类。
如图,函数发生变化,从蓝线变化为绿线,差额的红线表示变分δy,是一个函数,绘制于右图。如图,函数发生变化,从蓝线变化为绿线,差额的红线表示变分δy,是一个函数,绘制于右图。 对更一般的泛函,其变分就是自变量的变分的一个线性映射,在自变量的变分趋于0的情况下与泛函的变化量为等价无穷小。 若y从某个y0(注意是函数)变化了δy,那么泛函J=J[y]的变分δJ是y0和δy的泛函,并且对于δy是线性的。 由于δ作用于泛函类似于d作用于函数,δ与d的运算规律大体上是类似的。 在热力学中,把内能、焓、熵等看作系统状态(压强、体积、温度等等足以完全描述之)的函数,微元采用微分号。 而热与功属于过程量,不能由系统的状态直接确定,把考察的系统的状态的变化过程看成时间的函数,那么热和功就是这样的函数的泛函。 对这些量采用变分符号,有的书籍也采取d上一横的写法。 |
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