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一个新课型案例:《解析几何序言》的教学设计

2015-03-25  lmzxxwhua...

任念兵发表于《数学教学》2014年第11期

        笔者参加了第六届全国高中青年数学教师优秀课观摩与展示活动的上海赛区的选拔,比赛课题是一种新课型——序言课,包括立体几何序言和解析几何序言两个课题.笔者通过上海赛区选拔后,就以《解析几何序言》的课例参加全国评比.现行的各种版本教材中,都没有《解析几何序言》这节课,笔者想通过自己的教学设计抛砖引玉,就如何设计数学分支序言课求教于方家.

       一、教学内容解析

        1.解析几何的诞生是近代数学的第一个里程碑.笛卡儿创造性地提出了两个基本观念──用坐标表示点、用方程表示曲线;费马洞察了数量方法的深远意义,用变量代数来系统研究曲线. 笛卡儿和费马创立解析几何的原动力是他们对研究几何问题的普适性方法的追求;把代数的知识和方法系统地用于研究几何,不但使代数、几何获得了前所未有的进展,而且还使微积分的发明水到渠成.因此,解析几何既是沟通代数与几何的桥梁,也是从初等数学过渡到高等数学的桥梁.

       2.解析几何以数形结合思想为指导,以坐标法为核心,以几何图形为研究对象,用代数方法研究几何;中学阶段的平面解析几何与函数知识紧密联系,是初等数学通向高等数学的桥梁.

通过解析几何学习,学生可以将已学知识融会贯通,把数和形的研究紧密地结合起来,提高综合运用数学知识解决问题的能力.同时,系统地掌握解析几何的基础知识,也为今后学习高等数学奠定了坚实的基础.

        3.作为数学分支的起始课,本节课的定位是:介绍中学阶段平面解析几何的重点研究内容;介绍解析几何的核心方法——坐标法.以策略性知识为主,构建解析几何的研究框架.

本节课的教学重点是:理解利用坐标法将几何问题转化为代数问题的理论依据(坐标表示点、方程表示曲线);了解利用坐标法解决几何问题的基本过程(翻译──代数讨论──翻译).

        二、学生学情分析

        本节课的学习主体为华东师范大学第二附属中学高二学生,他们是基础知识扎实、思维活跃、敢于创新的学生群体.

        学生在初中和高一阶段已经掌握了平面几何的基本知识(直线、圆、三角形等),具备了一定的演绎推理能力;熟悉平面直角坐标系、平面向量和基本初等函数(变量数学)的重要性质,具备了一定的分析、转化问题的能力.而解析几何的本质上是点与坐标对应、曲线与方程对应、用代数方法解决几何问题,这就要求学生能够选取适当的坐标系,并能熟练地进行数、形转化,这种能力是学生尚未具备的.

        本节课将通过对一系列问题的剖析,引导学生体会解析几何的核心是坐标法,初步培养在坐标系下数形转化的能力.

        本节课的教学难点是:体会平面解析几何两大问题“由曲线得方程、由方程研究曲线”中所体现的数与形的相互转化.

        三、教学目标设置

        1. 了解解析几何的研究对象和中学阶段平面解析几何的重点研究内容;

        2. 初步理解解析几何的研究方法——坐标法,具体包括利用坐标法将几何问题转化为代数问题的理论依据和利用坐标法解决几何问题的基本过程;会运用坐标法解决典型的几何问题;

       3. 了解解析几何的发展史,体会解析几何的研究意义,培养学习解析几何的兴趣.

        四、教学策略分析

       1.对本节课的框架设计:

是什么——解析几何的研究对象是什么,研究方法是什么?中学阶段平面解析几何的重点研究内容是什么?

为什么——为什么要学习解析几何?为什么会产生解析几何这门学科?

还有什么——解析几何创立后给数学和科学研究带来的意义还有什么?

       2.对教学过程各环节的教学材料分析

        为了具体体现框架设计意图,本节课以“为什么要用方程表示曲线——什么情况下方程可以表示曲线——如何通过方程研究曲线”为主线来组织教学材料.

        环节1:“为什么要用方程表示曲线”.“形缺数时难入微”,通过研究“如何判断点在直线上”这个几何问题引出解析几何的概念和学习解析几何的必要性,第一次回答“是什么”(解析几何的研究对象是什么?)和“为什么”(为什么要学习解析几何?).在此环节中,学生已经掌握的知识“坐标表示点,一次函数表示直线”是良好的认知基础.

        环节2:“什么情况下方程可以表示曲线”.解析几何的研究方法是坐标法,坐标法将几何问题转化为代数问题的理论依据是“坐标表示点、方程表示曲线”,“坐标表示点”是学生初中时就熟悉的,而“方程表示曲线”是需要着力阐述的,但又不能过多严密论证方程的纯粹性与完备性,否则冲淡本节课的主题.圆与圆弧是学生熟悉的曲线,两点距离坐标公式是学生熟悉的公式,所以对比这两个曲线的代数关系式,可以让学生体会到“方程表示曲线”的前提是“曲线上的点与方程的解一一对应”;而用二元一次方程(一次函数)表示直线,在学生的认知中已是显然的事实,以直线为例反而不易体现“曲线上的点与方程的解”的对应关系.

        环节3:“如何通过方程研究曲线”. “方程表示曲线”的目的是利用方程研究曲线的性质、解决几何问题.“到两定点距离相等的点的轨迹是直线”是学生熟悉的几何结论,用方程表示这个轨迹后,通过方程可以发现轨迹显然是直线.由此自然地提出问题“到两定点距离之比为2的点的轨迹是什么图形?”,这是学生未知的轨迹图形(阿波罗尼斯圆),“用方程表示曲线、通过方程研究曲线”的价值就呼之欲出了.通过这个问题可以提炼出坐标法解决几何问题的基本过程:将几何问题转化为代数问题(用方程表示曲线),用代数方法研究出代数结果,再将代数结果转化为几何结论(通过方程研究曲线性质).这个过程可以通俗的简化为“翻译——代数讨论——翻译”.环节2、3是第二次回答“是什么”(解析几何的研究方法是什么?).

        最后,通过数学史介绍,指出解析几何的创立是由于实际的需要和数学家对研究几何问题普适性方法的追求,第二次回答“为什么”(为什么会产生解析几何这门学科?);顺势介绍中学阶段平面解析几何的重点研究内容是直线和二次曲线,第三次回答“是什么”(中学阶段平面解析几何的重点研究内容是什么?).解析几何的创立不仅提供了统一处理数学问题的工具,还促进了微积分的发明,是数学史上的一次划时代变革.

       3.对教学方法和手段的分析

        为了激发学生的兴趣,本节课通过数学游戏和数学文化两大模块将问题主线“为什么要用方程表示曲线——什么情况下方程可以表示曲线——如何通过方程研究曲线”有机串联起来;不同认知基础的同学都可以参与到相应的游戏环节中. 通过多媒体和板书结合,呈现知识的发生和发展过程;通过师生共同探讨,对学生的课堂反馈及时加以引导.

        本节课的教学手段是多媒体(图片、动画等)和板书结合;教学方法是师生共同探讨.

      五、教学过程设计

    1. 情景引入,回顾坐标

师:假期老师去你家家访,如何简捷地描述你家的位置,让一个不熟悉上海的人也能准确地找到你家?

生1:告诉家庭地址(门牌号),如××路××号, ××路与××路交叉口附近.

师:日常生活中我们用门牌号确定建筑位置,数学中如何确定平面上点的位置?

生2:用坐标,平面上的点和坐标一一对应.

师:用坐标,就要有参照系,我们熟悉的是平面直角坐标系.

        2. 课堂游戏,理解方程

一个新课型案例:《解析几何序言》的教学设计

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一个新课型案例:《解析几何序言》的教学设计

一个新课型案例:《解析几何序言》的教学设计
       4. 了解历史,感悟文化

       17世纪,天文学、力学等有一系列的新发现.开普勒发现行星绕太阳的运动轨道是椭圆;伽利略发现抛出去的物体是沿着抛物线的轨道运动的.因为天文、航海、军事(比如炮弹轨迹)等方面的实际需要,对这些曲线(椭圆、抛物线、双曲线等)进行计算成了必需(定量研究).

       其实这些曲线在古希腊时期就有人研究过(定性研究),但几乎每一个问题都需要某种新的、技巧性很强的想法,比如“问题研讨”实际上是古希腊数学家阿波罗尼斯研究过的问题,后人将该圆称为阿波罗尼斯圆,该问题的证明就需要一定的技巧.因此,数学家们都在追求研究几何问题的普适性方法.

       “时势造英雄”!

        17世纪法国的两位数学家笛卡尔和费马创造性地将代数与几何结合起来,创立了解析几何.解析几何将点、曲线转化为坐标、方程,从而能够实现代数运算;费马利用斜坐标系系统研究了直线和二次曲线的方程和性质, 这些曲线的性质也正是中学阶段平面解析几何的重点研究内容.观察环节3和“问题研讨”的解决过程,发现坐标法处理几何问题是普适性的方法.解析几何不仅研究直线和二次曲线,还研究阿基米德螺线等有用、美丽的曲线……

        解析几何的意义不仅限于此,《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》薄薄的一本书的附录,却深刻地改变了人类的历史.解析几何的发明促进了微积分的发明,数学和科学的面貌从此发生了翻天覆地的变化……

一个新课型案例:《解析几何序言》的教学设计

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